¿La recta tiene que pasar por el origen?

No. La recta va hacia donde apuntan los datos. Solo oblígala a pasar por $(0, 0)$ si la situación de verdad empieza en cero y los datos lo confirman.

¿Cuento los puntos que están justo sobre la recta?

Los puntos sobre la recta no cuentan para ningún lado. Equilibra los puntos de arriba con los de abajo.

¿Cuándo no debo trazar una recta de mejor ajuste?

Cuando el diagrama de dispersión no muestra ninguna tendencia o cuando los puntos siguen una curva clara. Una recta solo tiene sentido para un patrón lineal.

Recursos para profesores

Recta de mejor ajuste

Aprende a trazar a ojo una recta de mejor ajuste en un diagrama de dispersión, a hallar su ecuación a partir de dos puntos y a interpretar su pendiente y su ordenada en el origen.

Intermedio25 minLección

Ficha imprimible

Definición

Una recta de mejor ajuste (también llamada línea de tendencia) es una recta trazada en un diagrama de dispersión que muestra la tendencia general de los datos. No tiene que pasar por ninguno de los puntos.

Una buena recta de mejor ajuste trazada a ojo:

tiene más o menos la mitad de los puntos por encima y la mitad por debajo
sigue la dirección de los puntos (sube, baja, cuánta inclinación)
tiene los puntos repartidos a lo largo de toda su longitud, no todos por encima en un extremo y todos por debajo en el otro

Cuando la recta está trazada, elige dos puntos de la recta (no puntos de datos), alejados y en cruces de la cuadrícula, y halla su ecuación

y = mx + b

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad b = y_1 - m x_1

El centro de gravedad (o punto de las medias)

(\bar{x}, \bar{y})

es una buena guía: la recta de regresión por mínimos cuadrados siempre pasa por él, así que una buena recta trazada a ojo debe pasar por él o muy cerca.

Pruébalo ahora

¿Qué descripción corresponde a una buena recta de mejor ajuste trazada a ojo?

Ejemplos resueltos

Mia cuenta sus flexiones en un minuto después de cada semana de entrenamiento. Semanas 1 a 8:

6, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19

. Tres estudiantes trazan una recta a ojo: - Recta A:

y = 2x + 3

- Recta B:

y = 2x + 7

- Recta C:

y = 0{,}5x + 9

¿Cuál es la mejor recta de mejor ajuste?

Comprueba la recta B

La recta B da

9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23

para las semanas 1 a 8. Cada punto de datos está más abajo. → Los 8 puntos están por debajo de la recta B: está demasiado alta

Comprueba la recta C

La recta C da

9{,}5; 10; 10{,}5; 11; 11{,}5; 12; 12{,}5; 13

. Las semanas 1 a 3 quedan por debajo y las semanas 4 a 8 por encima. → Puntos por debajo a la izquierda y por encima a la derecha: la recta C es demasiado plana

Comprueba la recta A

La recta A da

5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

. Por encima: semanas 1, 4, 6. Por debajo: semanas 2, 5, 7. Sobre la recta: semanas 3, 8. → 3 por encima, 3 por debajo, repartidos a lo largo de toda la recta

Decide

Solo la recta A tiene los puntos equilibrados a ambos lados en toda su longitud y sigue la tendencia creciente. → La recta A es la que mejor se ajusta

Respuesta: La recta A, $y = 2x + 3$ , es la mejor recta de mejor ajuste. La recta B está demasiado alta y la recta C es demasiado plana.

Errores comunes

Trazar la recta desde el primer punto de datos hasta el último

Por qué está mal: El primer y el último punto pueden ser poco habituales. Una recta que pasa por ellos suele dejar la mayoría de los puntos a un solo lado.

Correcto: No te fijes en puntos sueltos, sino en toda la nube: más o menos la mitad de los puntos por encima y la mitad por debajo. La recta puede no pasar por ningún punto.

Equilibrar el número de puntos sin seguir la tendencia

Por qué está mal: Una recta demasiado plana puede tener 4 puntos por encima y 4 por debajo, pero todos los bajos están a la izquierda y todos los altos a la derecha.

Correcto: Revisa los dos extremos: cerca de cada extremo de la recta debe haber puntos por encima y por debajo.

Calcular la pendiente con dos puntos de datos en lugar de dos puntos de la recta

Por qué está mal: Los puntos de datos casi nunca están sobre la recta, así que su pendiente no es la pendiente de tu recta.

Correcto: Lee dos puntos que estén sobre la recta que trazaste, alejados y en cruces de la cuadrícula, y luego usa $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Leer la pendiente como un valor de y en lugar de un cambio

Por qué está mal: En $y = 2x + 3$ para semanas y flexiones, $2$ no significa "2 flexiones". Es el cambio por semana.

Correcto: Di la pendiente con las dos unidades: unas 2 flexiones más por cada semana de entrenamiento.

Visual interactivo

Diagrama de dispersión

Semanas de entrenamiento y flexiones

ŷ = 1,93x + 3,32

r = 0,982 · correlación positiva fuerte

Toca un punto para ver sus coordenadas.

Gráfica de la función

Toca la cuadrícula para colocar un punto. Tócalo otra vez para quitarlo.Coloca al menos 2 puntos para ver la recta que pasa por ellos.

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 3

m=2, b=3

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Qué descripción corresponde a una buena recta de mejor ajuste trazada a ojo?

Problemas de práctica: Recta de mejor ajuste

1. ¿Qué descripción corresponde a una buena recta de mejor ajuste trazada a ojo?
2. Una recta de mejor ajuste pasa por los puntos (0, 4) y (5, 14). ¿Cuál es su pendiente?
3. Una recta de mejor ajuste pasa por (0, 2) y (4, 10). Halla su ecuación y = mx + b.
4. La recta de mejor ajuste de Mia es y = 2x + 3, donde x es el número de semanas de entrenamiento e y el número de flexiones en un minuto. ¿Qué significa la pendiente 2?
5. Una recta de mejor ajuste trazada a ojo pasa por (0, 12) y (4, 4). ¿Cuál es su ordenada en el origen b?
6. ¿Es la recta y = x + 1 una buena recta de mejor ajuste para los puntos (1, 3), (2, 2), (3, 5), (4, 4), (5, 7), (6, 6)? Cuenta los puntos por encima y por debajo.
7. Un estudiante traza una recta en un diagrama de dispersión de 8 puntos. 7 puntos están por encima de la recta y 1 por debajo, repartidos de forma regular de izquierda a derecha. ¿Cómo debe corregir la recta?
8. Una línea de tendencia pasa por (2, 9) y (6, 21). ¿Cuál es su pendiente?
9. Una recta de mejor ajuste pasa por (10, 80) y (30, 40). Halla su ecuación y = mx + b.
10. El centro de gravedad de un conjunto de datos es (4, 10). ¿Cuál de estas rectas pasa por él?
11. Un diagrama de dispersión tiene los puntos (2, 5), (4, 9), (6, 10), (8, 16). ¿Cuánto vale \bar{y}, la coordenada y del centro de gravedad?
12. Datos: (1, 3), (2, 6), (3, 6), (4, 9), (5, 11). Una recta de mejor ajuste con pendiente 2 debe pasar por el centro de gravedad. Halla su ordenada en el origen b.
13. La recta de mejor ajuste del nivel de batería y (%) de un móvil después de x horas de uso es y = -12x + 100. Interprétala.
14. Para estudiantes de entre 150 cm y 190 cm de estatura, la recta de mejor ajuste entre la estatura x (cm) y la envergadura de brazos y (cm) es y = 1,1x - 18. ¿Qué te dice la ordenada en el origen -18?
15. Una recta de mejor ajuste tiene pendiente -4 y pasa por el centro de gravedad (5, 30). ¿Cuál es su ordenada en el origen b?
16. En un diagrama de dispersión se traza una recta de mejor ajuste por los puntos (1, 7) y (9, 3) de la recta. Halla su pendiente y su ordenada en el origen, y luego el valor de la recta en x = 5.
17. El centro de gravedad de un conjunto de datos es (6, 20). La recta de mejor ajuste de un estudiante pasa por (0, 5) y (10, 30). ¿Pasa por el centro de gravedad?
18. La recta de mejor ajuste de una cafetería para el precio x (en dólares) y las porciones de pastel vendidas al día y pasa por el centro de gravedad (4, 18) y por (8, 10). Halla su ecuación y el número de porciones que predice para un precio de 6 dólares.

Por qué es importante

Los datos reales nunca están exactamente en una recta, pero a menudo siguen una tendencia clara:

Deporte: una entrenadora ve cuánto mejora una atleta por cada semana de entrenamiento
Comercio: una cafetería ve cuántas bebidas calientes menos vende cada día más caluroso
Ciencias: un estudiante descubre, a partir de medidas dispersas, cuánto crece una planta por día
Dinero: un comprador ve cuánto valor pierde una bicicleta usada cada año

Una recta de mejor ajuste convierte una nube de puntos en una regla sencilla

y = mx + b

. La pendiente dice cuánto cambia

y

por cada unidad de

x

; la ordenada en el origen dice dónde empieza la tendencia. Es el primer paso antes de hacer predicciones, estudiar residuos y medir lo bien que se ajusta una recta.

Aplicaciones del mundo real

Entrenar para una carrera

Los entrenadores trazan una línea de tendencia sobre los tiempos de una atleta para ver cuánto más rápida es cada semana.

Ejemplo:

Los tiempos de una corredora en 5 km bajan de unos 30 minutos a unos 22 minutos en pocas semanas. La línea de tendencia muestra la mejora constante, incluso en los días malos.

1Inténtalo tú mismo

La recta de mejor ajuste del tiempo $y$ (minutos) de una corredora en 5 km después de $x$ semanas pasa por $(2, 30)$ y $(6, 22)$ .

¿Cuál es la pendiente de la recta, en minutos por semana?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Pendiente = cambio en y dividido entre cambio en x:

Puesto de limonada

Los pequeños vendedores representan la temperatura frente a las ventas para planificar cuánto preparar.

Ejemplo:

En los días de calor, un puesto vende muchos más vasos. Una línea de tendencia sobre los datos de un verano muestra cuántos vasos extra trae cada grado, más o menos.

2Inténtalo tú mismo

La recta de mejor ajuste de un puesto de limonada para la temperatura $x$ (°C) y los vasos vendidos $y$ pasa por $(20, 30)$ y $(30, 50)$ .

¿Cuál es la ordenada en el origen $b$ de esta recta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Halla la pendiente y luego usa $b = y_1 - m x_1$ :

Experimento de crecimiento de una planta

En clase de ciencias, los estudiantes miden una planta cada pocos días y describen su ritmo de crecimiento con una línea de tendencia.

Ejemplo:

Las medidas nunca son perfectas, así que las alturas se dispersan un poco. La recta de mejor ajuste da un único ritmo de crecimiento en centímetros por día.

3Inténtalo tú mismo

Se mide una planta los días $2, 4, 6, 8$ , con alturas de $3, 6, 8, 11$ cm. La recta de mejor ajuste tiene pendiente $1{,}3$ y pasa por el centro de gravedad.

¿Cuál es la ordenada en el origen $b$ de la recta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa el centro de gravedad en $b = \bar{y} - m\bar{x}$ :

Puntos clave

1Una recta de mejor ajuste es una recta que muestra la tendencia general de los puntos de un diagrama de dispersión
2Trázala a ojo de modo que más o menos la mitad de los puntos quede por encima y la mitad por debajo, a lo largo de toda su longitud
3La recta sigue la dirección de los datos y puede no pasar por ningún punto de datos
4Halla su ecuación con dos puntos de la recta: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ y después $b = y_1 - m x_1$
5La pendiente es el cambio de $y$ por cada unidad de $x$ ; la ordenada en el origen es el valor previsto de $y$ para $x = 0$ , que puede no tener sentido real
6La recta de mínimos cuadrados siempre pasa por el centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ , así que una buena recta trazada a ojo pasa cerca de él

Preguntas frecuentes

A ojo, no. Dos estudiantes pueden trazar rectas un poco distintas y ambas ser buenas. Sus pendientes y ordenadas en el origen serán parecidas. Solo la recta de mínimos cuadrados, de la lección Regresión lineal, es una única recta exacta.

Glosario

Recta de mejor ajuste: Una recta trazada en un diagrama de dispersión que muestra la tendencia general de los datos (también llamada línea de tendencia)
Pendiente: El cambio de $y$ cuando $x$ aumenta 1; a lo largo de la recta, $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Ordenada en el origen: El valor de $y$ donde la recta corta el eje y, es decir, para $x = 0$
Centro de gravedad: El punto $(\bar{x}, \bar{y})$ formado por la media de todos los valores de x y la media de todos los valores de y (también llamado punto de las medias)
Recta de regresión: La recta de mejor ajuste exacta que se obtiene por mínimos cuadrados; siempre pasa por el centro de gravedad

Tarjeta de fórmulas

Pendiente con dos puntos

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Usa dos puntos de la recta trazada, no puntos de datos

Ordenada en el origen

b = y_1 - m x_1

Sustituye un punto de la recta y la pendiente en $y = mx + b$

Recta de mejor ajuste

y = mx + b

La ecuación de la línea de tendencia

Centro de gravedad

\bar{y} = m\bar{x} + b

La recta de mínimos cuadrados pasa por $(\bar{x}, \bar{y})$

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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Semanas de entrenamiento y flexiones

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Tarjeta de fórmulas

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Ordenada en el origen

Recta de mejor ajuste

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