Predecir una nota dentro de los datos

Una clase anotó las horas de estudio ($x$, de 1 a 8 horas) y las notas de un examen ($y$, sobre 100). La recta de regresión es $\hat{y} = 5x + 52$. Predice la nota de una alumna que estudia $6{,}5$ horas.

Comprueba dónde está el valor de x: Los datos van de $1$ a $8$ horas, y $1 \le 6{,}5 \le 8$ = Dentro de los datos: interpolación

Sustituye x = 6,5 en la ecuación: $\hat{y} = 5(6{,}5) + 52$ = $\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52$

Multiplica: $5 \times 6{,}5 = 32{,}5$ = $32{,}5$

Suma la ordenada en el origen: $32{,}5 + 52 = 84{,}5$ = $\hat{y} = 84{,}5$

Answer: La nota predicha es $84{,}5$, es decir, unos $85$ puntos. Como $6{,}5$ horas está dentro de los datos, es una interpolación y la predicción es razonable.

Calcular hacia atrás hasta un objetivo

Con $\hat{y} = 5x + 52$, Lena quiere sacar un $80$. ¿Cuántas horas debería estudiar, aproximadamente?

Pon el objetivo en lugar de ŷ: $80 = 5x + 52$ = Una ecuación en $x$

Resta la ordenada en el origen en ambos lados: $80 - 52 = 5x$ = $28 = 5x$

Divide entre la pendiente: $x = \frac{28}{5} = 5{,}6$ = $x = 5{,}6$ horas

Redondea en la dirección que pide el objetivo: Con $5$ horas: $5(5) + 52 = 77 < 80$. Con $6$ horas: $5(6) + 52 = 82 \ge 80$ = Planificar unas $6$ horas

Answer: La recta da $x = 5{,}6$ horas (unas 5 horas y 36 minutos). Para asegurar un objetivo se redondea hacia arriba: Lena debería planificar unas $6$ horas.

¿Interpolación o extrapolación?

Con la misma recta $\hat{y} = 5x + 52$ (datos de 1 a 8 horas), predice la nota para $3{,}5$ horas y para $12$ horas. ¿De qué predicción puedes fiarte?

Escribe el rango de los datos: Menor $x = 1$, mayor $x = 8$ = Rango: de $1$ a $8$ horas

Predice para 3,5 horas (dentro del rango): $\hat{y} = 5(3{,}5) + 52 = 17{,}5 + 52 = 69{,}5$ = Interpolación: unos $70$ puntos

Predice para 12 horas (fuera del rango): $\hat{y} = 5(12) + 52 = 60 + 52 = 112$ = Extrapolación: $112$ puntos

Compara con la realidad: El examen es sobre $100$, así que $112$ es imposible. El patrón en línea recta no puede seguir para siempre. = Solo la primera predicción es fiable

Answer: Para $3{,}5$ horas la predicción es de unos $70$ puntos (interpolación, razonable). Para $12$ horas la recta da $112$, que es imposible: extrapolar lejos de los datos es arriesgado.

Redondear una predicción con sentido

En una feria escolar, los visitantes siguen $\hat{y} = 14{,}6x + 23$, donde $x$ es el número de carteles colgados (datos de 2 a 10 carteles). Este año han colgado $4$ carteles. ¿Cuántos visitantes deben esperar y cuántas sillas deben colocar?

Comprueba el rango de los datos: $2 \le 4 \le 10$ = Interpolación

Multiplica la pendiente por x: $14{,}6 \times 4 = 58{,}4$ = $58{,}4$

Suma la ordenada en el origen: $58{,}4 + 23 = 81{,}4$ = $\hat{y} = 81{,}4$

Redondea según la situación: Las personas se cuentan en números enteros: unos $81$ visitantes. Para las sillas, redondea hacia arriba para que nadie se quede de pie. = Unos $81$ visitantes, al menos $82$ sillas

Answer: Hay que esperar unos $81$ visitantes. Como la predicción es solo una estimación y todos necesitan asiento, coloca al menos $82$ sillas (unas cuantas más es aún más seguro).

Fuerte o débil: ¿cuánto puedes fiarte?

La misma clase tiene dos modelos. Horas de estudio: $\hat{y} = 5x + 52$ con $r \approx 0{,}99$. Horas de sueño: $\hat{y} = 2x + 59$ con $r \approx 0{,}21$. Predice la nota para $7$ horas en cada modelo y compárala con las notas reales.

Predice con el modelo de estudio: $\hat{y} = 5(7) + 52 = 35 + 52 = 87$ = Quien estudió 7 horas sacó de verdad un $87$

Predice con el modelo de sueño: $\hat{y} = 2(7) + 59 = 14 + 59 = 73$ = Quienes durmieron 7 horas sacaron de verdad $62$ y $88$

Mide cuánto falla la predicción del sueño: $73 - 62 = 11$ y $88 - 73 = 15$ = Falla hasta por $15$ puntos

Relaciona la precisión con r: $r \approx 0{,}99$: los puntos se pegan a la recta. $r \approx 0{,}21$: los puntos están muy dispersos alrededor de la recta. = Correlación fuerte, predicción fiable

Answer: Las dos predicciones usan el mismo método, pero solo el modelo de estudio es fiable. Con $r \approx 0{,}21$, la recta del sueño da una estimación aproximada que puede fallar por $15$ puntos o más.

Mistake: Poner el valor objetivo de y en lugar de x: para una nota objetivo de $80$, calcular $5(80) + 52 = 452$

Why: $80$ es una nota, así que es un valor de $y$. Sustituirlo por $x$ responde a otra pregunta (la nota tras 80 horas de estudio).

Correct: Iguala la ecuación al objetivo y despeja $x$: $80 = 5x + 52$, así que $x = 5{,}6$.

Mistake: Fiarse de la extrapolación: predecir $112$ puntos para $12$ horas de estudio

Why: El patrón solo se observó entre 1 y 8 horas. Fuera de ese rango puede cambiar, y aquí la nota ni siquiera puede pasar de 100.

Correct: Comprueba siempre primero el rango de los datos. Marca las predicciones fuera de él como extrapolación y trátalas con cuidado.

Mistake: Redondear sin pensar en la situación: dar $84{,}5$ puntos como exacto, o redondear $5{,}6$ horas a $5$

Why: Una predicción es una estimación, y los decimales de más sugieren una precisión que no tiene. Redondear hacia abajo un objetivo puede dejarte corto (5 horas predicen solo 77 puntos).

Correct: Redondea a la precisión de los datos, y redondea hacia arriba cuando tengas que alcanzar un objetivo o cubrir a todos (tiempo, sillas, autobuses).

Mistake: Tratar todas las predicciones como igual de fiables

Why: Siempre se puede calcular una recta, incluso con datos dispersos. Con $r \approx 0{,}21$, los valores reales pueden estar lejos de $\hat{y}$.

Correct: Mira primero el diagrama de dispersión o $r$: $|r|$ cerca de 1 significa una predicción fiable, $|r|$ cerca de 0 solo una estimación aproximada.

Curvas de crecimiento infantil

Los médicos comparan la estatura de un niño con modelos de crecimiento. Un modelo sencillo para edades de 2 a 10 años es $\hat{y} = 6x + 77$, donde $x$ es la edad en años y $\hat{y}$ la estatura en cm. El modelo solo vale para esas edades: para un adulto de 40 años predeciría $317$ cm.

A los 5 años el modelo predice $6(5) + 77 = 107$ cm.

Estimar tiempos de entrega

Las apps de comida a domicilio ajustan rectas a pedidos anteriores para estimar los tiempos de entrega. Una app encontró $\hat{y} = 3x + 8$, donde $x$ es la distancia en km (pedidos de 1 a 12 km) e $\hat{y}$ el tiempo en minutos.

Para un restaurante a 5 km la app predice $3(5) + 8 = 23$ minutos.

Previsiones de batería del móvil

Los móviles estiman la batería que queda según lo rápido que se gasta. Las mediciones viendo vídeos dieron $\hat{y} = 100 - 8x$, donde $x$ son las horas de vídeo (datos de 0 a 10 horas) e $\hat{y}$ el nivel de batería en porcentaje.

Tras 6 horas de vídeo el modelo predice $100 - 8(6) = 52\%$.

Q: ¿Por qué escribimos $\hat{y}$ en lugar de $y$?

A: El gorro indica que el valor sale de la recta y es una predicción. El valor real, medido, es $y$. Separarlos te recuerda que un resultado real puede quedar por encima o por debajo de la predicción.

Q: ¿La extrapolación siempre está mal?

A: No siempre. Un poco fuera de los datos (por ejemplo $x = 0$ o $x = 9$ cuando los datos van de 1 a 8) la estimación todavía puede ser aceptable. Cuanto más te alejas, más probable es que el patrón cambie, así que di claramente que estás extrapolando.

Q: ¿Cuánto debe acercarse $r$ a 1 para una buena predicción?

A: Una regla práctica habitual: $|r| \ge 0{,}7$ es fuerte, de $0{,}4$ a $0{,}7$ es moderada y por debajo de $0{,}4$ es débil. Incluso con una correlación fuerte, una predicción concreta puede fallar por unos puntos.

Q: ¿Puedo usar la misma recta para predecir $x$ a partir de $y$?

A: Despejar $x$ en $y = mx + b$ da una buena estimación para planificar, como en el ejemplo de las horas de estudio. Quien en estadística quiera predecir solo $x$ calcularía otra recta con $x$ como variable respuesta, así que toma el resultado como una estimación.