¿La extrapolación siempre está mal?

No siempre. Un poco fuera de los datos (por ejemplo $x = 0$ o $x = 9$ cuando los datos van de 1 a 8) la estimación todavía puede ser aceptable. Cuanto más te alejas, más probable es que el patrón cambie, así que di claramente que estás extrapolando.

¿Cuánto debe acercarse $r$ a 1 para una buena predicción?

Una regla práctica habitual: $|r| \ge 0{,}7$ es fuerte, de $0{,}4$ a $0{,}7$ es moderada y por debajo de $0{,}4$ es débil. Incluso con una correlación fuerte, una predicción concreta puede fallar por unos puntos.

¿Puedo usar la misma recta para predecir $x$ a partir de $y$?

Despejar $x$ en $y = mx + b$ da una buena estimación para planificar, como en el ejemplo de las horas de estudio. Quien en estadística quiera predecir solo $x$ calcularía otra recta con $x$ como variable respuesta, así que toma el resultado como una estimación.

Recursos para profesores

Hacer predicciones a partir de datos

Usa una recta de regresión para predecir valores, calcular hacia atrás hasta un objetivo y juzgar cuándo puedes fiarte de una predicción.

Intermedio25 minLección

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Definición

Cuando tienes una recta de regresión

\hat{y} = mx + b

, puedes usarla para hacer predicciones. El símbolo

\hat{y}

(se lee "y gorro") es el valor predicho: el valor que espera la recta, no un valor medido.

Hay dos tipos de preguntas:

**Predecir $y$ a partir de $x$ **: sustituye el valor de $x$ y calcula $\hat{y} = mx + b$ .
**Hallar $x$ para un objetivo $y$ **: iguala $mx + b$ al objetivo y despeja: $x = \frac{y - b}{m}$ .

Importa dónde está el valor de

x

Interpolación: $x$ está dentro del rango de los datos. La predicción suele ser razonable.
Extrapolación: $x$ está fuera del rango de los datos. El patrón puede no continuar, así que la predicción es arriesgada.

Cuánto puedes fiarte de una predicción depende de la fuerza de la correlación: cuando

r

está cerca de

1

o de

-1

, los puntos se pegan a la recta y las predicciones son fiables; cuando

r

está cerca de

0

, solo son estimaciones aproximadas.

Pruébalo ahora

Una recta de regresión es

\hat{y} = 4x + 10

. ¿Cuál es el valor predicho cuando

x = 5

Ejemplos resueltos

Una clase anotó las horas de estudio (

x

, de 1 a 8 horas) y las notas de un examen (

y

, sobre 100). La recta de regresión es

\hat{y} = 5x + 52

. Predice la nota de una alumna que estudia

6{,}5

horas.

Comprueba dónde está el valor de x

Los datos van de

1

8

horas, y

1 \le 6{,}5 \le 8

→ Dentro de los datos: interpolación

Sustituye x = 6,5 en la ecuación

\hat{y} = 5(6{,}5) + 52

→

\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52

Multiplica

5 \times 6{,}5 = 32{,}5

Suma la ordenada en el origen

32{,}5 + 52 = 84{,}5

→

\hat{y} = 84{,}5

Respuesta: La nota predicha es $84{,}5$ , es decir, unos $85$ puntos. Como $6{,}5$ horas está dentro de los datos, es una interpolación y la predicción es razonable.

Errores comunes

Poner el valor objetivo de y en lugar de x: para una nota objetivo de $80$ , calcular $5(80) + 52 = 452$

Por qué está mal: $80$ es una nota, así que es un valor de $y$ . Sustituirlo por $x$ responde a otra pregunta (la nota tras 80 horas de estudio).

Correcto: Iguala la ecuación al objetivo y despeja $x$ : $80 = 5x + 52$ , así que $x = 5{,}6$ .

Fiarse de la extrapolación: predecir $112$ puntos para $12$ horas de estudio

Por qué está mal: El patrón solo se observó entre 1 y 8 horas. Fuera de ese rango puede cambiar, y aquí la nota ni siquiera puede pasar de 100.

Correcto: Comprueba siempre primero el rango de los datos. Marca las predicciones fuera de él como extrapolación y trátalas con cuidado.

Redondear sin pensar en la situación: dar $84{,}5$ puntos como exacto, o redondear $5{,}6$ horas a $5$

Por qué está mal: Una predicción es una estimación, y los decimales de más sugieren una precisión que no tiene. Redondear hacia abajo un objetivo puede dejarte corto (5 horas predicen solo 77 puntos).

Correcto: Redondea a la precisión de los datos, y redondea hacia arriba cuando tengas que alcanzar un objetivo o cubrir a todos (tiempo, sillas, autobuses).

Tratar todas las predicciones como igual de fiables

Por qué está mal: Siempre se puede calcular una recta, incluso con datos dispersos. Con $r \approx 0{,}21$ , los valores reales pueden estar lejos de $\hat{y}$ .

Correcto: Mira primero el diagrama de dispersión o $r$ : $|r|$ cerca de 1 significa una predicción fiable, $|r|$ cerca de 0 solo una estimación aproximada.

Visual interactivo

Gráfica de la función

Horas de estudio x = 6,5

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Nota predicha ŷ = 5x + 52 = 84,5
Horas fuera del rango de datos (0 = interpolación) = 0 h

ŷ = 5x + 52Nota máxima 100Inicio de los datos (1 h)Fin de los datos (8 h)

Diagrama de dispersión

Correlación fuerte: horas de estudio y nota

ŷ = 5x + 52

r = 0,992 · correlación positiva fuerte

Toca un punto para ver sus coordenadas.

Diagrama de dispersión

Correlación débil: horas de sueño y nota

ŷ = 2x + 59

r = 0,209 · correlación positiva débil

Toca un punto para ver sus coordenadas.

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Una recta de regresión es

\hat{y} = 4x + 10

. ¿Cuál es el valor predicho cuando

x = 5

Problemas de práctica: Hacer predicciones a partir de datos

1. Una recta de regresión es \hat{y} = 4x + 10. ¿Cuál es el valor predicho cuando x = 5?
2. La recta de regresión de unos datos es \hat{y} = 3x + 12. Predice \hat{y} para x = 6.
3. Los datos de un diagrama de dispersión tienen valores de x de 2 a 10. ¿Para qué valor de x una predicción es una interpolación?
4. La altura de una planta en mm sigue \hat{y} = 2{,}5x + 40, donde x es el número de días (datos del día 1 al día 10). Predice la altura el día 4.
5. Una tienda modela sus ventas diarias de paraguas con \hat{y} = 6x + 20, donde x es la lluvia en mm (datos de 0 a 12 mm). Predice las ventas de un día con 7 mm de lluvia.
6. Cuatro conjuntos de datos tienen cada uno una recta de regresión. ¿Qué coeficiente de correlación da las predicciones más fiables?
7. Un modelo predice una nota con \hat{y} = 4x + 18, donde x son las horas de práctica (datos de 2 a 15 horas). ¿Para qué x la nota predicha es 50?
8. Con \hat{y} = 5x + 52 (x = horas de estudio, \hat{y} = nota), ¿cuántas horas de estudio predicen una nota de 87?
9. Una feria escolar modela los visitantes con \hat{y} = 14{,}6x + 23, donde x es el número de carteles (datos de 2 a 10 carteles). Predice el número de visitantes para 6 carteles, redondeado a un número entero.
10. La recta \hat{y} = 5x + 52 se ajustó a datos de 1 a 8 horas de estudio. Para 12 horas predice una nota de 112 sobre 100. ¿Cuál es el problema?
11. Mientras se juega, el nivel de batería de un móvil sigue \hat{y} = 100 - 12x (porcentaje), donde x son las horas de juego (datos de 0 a 6 horas). Predice el nivel de batería tras 4{,}5 horas.
12. Con el modelo de batería \hat{y} = 100 - 12x (x en horas, \hat{y} en porcentaje), ¿después de cuántas horas predice el modelo un nivel de batería del 40\%?
13. Un modelo de regresión dice que Tom necesita 5,6 horas de estudio para alcanzar su nota objetivo. ¿Qué plan tiene más sentido?
14. Una recta de regresión tiene pendiente m = 2{,}5 y pasa por el punto de las medias (\bar{x}, \bar{y}) = (4, 30). Predice \hat{y} para x = 6.
15. Un modelo de crecimiento para niños de 2 a 10 años es \hat{y} = 6x + 77 (estatura en cm, edad x en años). Un alumno lo usa para predecir la estatura de una persona de 40 años.
16. Una recta de regresión es \hat{y} = 2{,}4x + 15{,}6. ¿Para qué x el valor predicho es 39{,}6?
17. Una clase tiene dos modelos para la nota: horas de estudio, \hat{y} = 5x + 52 con r \approx 0{,}99, y horas de sueño, \hat{y} = 2x + 59 con r \approx 0{,}21. Ambos se usan para x = 6 horas.
18. Con \hat{y} = 5x + 52 (x = horas de estudio, datos de 1 a 8 horas), Mia quiere una nota de al menos 90. ¿Cuántas horas enteras debería planificar?

Por qué es importante

Las predicciones son la razón principal por la que se ajusta una recta a unos datos:

Planificación: una feria escolar predice cuántos visitantes vendrán para saber cuántas sillas colocar.
Salud: los médicos comparan la estatura de un niño con modelos de crecimiento para ver si crece con normalidad.
Apps de reparto: estiman cuánto tardará tu pedido a partir de la distancia al restaurante.
Baterías: los móviles estiman cuántas horas de batería quedan según lo rápido que se gasta.

Una predicción solo sirve si además sabes cuánto fiarte de ella. Distinguir interpolación y extrapolación, redondear con sentido y comprobar la correlación evita que te creas una nota de 112 sobre 100.

Aplicaciones del mundo real

Curvas de crecimiento infantil

Los médicos comparan la estatura de un niño con modelos de crecimiento. Un modelo sencillo para edades de 2 a 10 años es $\hat{y} = 6x + 77$, donde $x$ es la edad en años y $\hat{y}$ la estatura en cm. El modelo solo vale para esas edades: para un adulto de 40 años predeciría $317$ cm.

Ejemplo:

A los 5 años el modelo predice $6(5) + 77 = 107$ cm.

1Inténtalo tú mismo

Un modelo de crecimiento para edades de 2 a 10 años es $\hat{y} = 6x + 77$ (estatura en cm, edad $x$ en años).

¿Qué estatura predice el modelo para un niño de 8 años?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sustituye $x = 8$ :

Estimar tiempos de entrega

Las apps de comida a domicilio ajustan rectas a pedidos anteriores para estimar los tiempos de entrega. Una app encontró $\hat{y} = 3x + 8$, donde $x$ es la distancia en km (pedidos de 1 a 12 km) e $\hat{y}$ el tiempo en minutos.

Ejemplo:

Para un restaurante a 5 km la app predice $3(5) + 8 = 23$ minutos.

2Inténtalo tú mismo

El modelo de reparto es $\hat{y} = 3x + 8$ (minutos, distancia $x$ en km, datos de 1 a 12 km). La app quiere prometer la entrega en 35 minutos.

¿Hasta qué distancia en km puede la app hacer esa promesa?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Despeja $x$ en $35 = 3x + 8$ :

Previsiones de batería del móvil

Los móviles estiman la batería que queda según lo rápido que se gasta. Las mediciones viendo vídeos dieron $\hat{y} = 100 - 8x$, donde $x$ son las horas de vídeo (datos de 0 a 10 horas) e $\hat{y}$ el nivel de batería en porcentaje.

Ejemplo:

Tras 6 horas de vídeo el modelo predice $100 - 8(6) = 52\%$ .

3Inténtalo tú mismo

El modelo de batería es $\hat{y} = 100 - 8x$ (porcentaje, $x$ en horas, datos de 0 a 10 horas). Alguien pregunta qué mostrará la batería tras 15 horas de vídeo.

¿Qué valor predice el modelo para 15 horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sustituye $x = 15$ :

Puntos clave

1Para predecir $y$ , sustituye $x$ en $\hat{y} = mx + b$ ; $\hat{y}$ es un valor predicho, no medido
2Para hallar la $x$ de un objetivo $y$ , iguala $mx + b$ al objetivo y despeja: $x = \frac{y - b}{m}$
3La interpolación predice dentro del rango de los datos y suele ser razonable
4La extrapolación predice fuera del rango de los datos y es arriesgada: puede dar incluso valores imposibles
5Redondea las predicciones a una precisión razonable, y hacia arriba cuando debas alcanzar un objetivo o cubrir a todos
6Las predicciones son fiables cuando $|r|$ está cerca de 1 y solo son estimaciones aproximadas cuando $r$ está cerca de 0

Preguntas frecuentes

El gorro indica que el valor sale de la recta y es una predicción. El valor real, medido, es

y

. Separarlos te recuerda que un resultado real puede quedar por encima o por debajo de la predicción.

Glosario

Valor predicho $\hat{y}$: El valor de $y$ que da la recta de regresión para una $x$ elegida
Rango de los datos: El intervalo desde el menor hasta el mayor valor de $x$ en los datos
Interpolación: Predicción para un valor de $x$ dentro del rango de los datos
Extrapolación: Predicción para un valor de $x$ fuera del rango de los datos; arriesgada porque el patrón puede cambiar
Variable explicativa: La variable $x$ que se usa para hacer la predicción (por ejemplo, las horas de estudio)
Variable respuesta: La variable $y$ que se predice (por ejemplo, la nota)

Tarjeta de fórmulas

Predecir y a partir de x

\hat{y} = mx + b

Sustituye el valor de x y calcula

Hallar x para un objetivo y

x = \frac{y - b}{m}

Resta la ordenada en el origen y después divide entre la pendiente

Comprobación de interpolación

x_{\min} \le x \le x_{\max}

Si x está dentro del rango de los datos, la predicción es una interpolación; si no, es una extrapolación

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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