Interpretar la pendiente y la ordenada en el origen

Una cafetería anotó durante cinco mañanas la temperatura exterior $x$ (en °C, de $0$ a $20$) y el número $y$ de bebidas calientes vendidas. La recta de regresión es $\hat{y} = 110 - 3x$. Interpreta la pendiente y la ordenada en el origen.

Identificar la pendiente y la ordenada en el origen: $\hat{y} = -3x + 110$, así que $m = -3$ y $b = 110$ = $m = -3$, $b = 110$

Interpretar la pendiente con unidades: Por cada grado más, el número predicho de bebidas calientes cambia en $-3$ = Unas 3 bebidas calientes menos por cada grado extra, en promedio

Interpretar la ordenada en el origen con unidades: Con $x = 0$ °C el modelo predice $\hat{y} = 110 - 3 \times 0 = 110$ = Unas 110 bebidas calientes en una mañana a 0 °C

Comprobar que la ordenada en el origen tiene sentido: $0$ °C es una temperatura real y está dentro del rango de los datos, de $0$ a $20$ = Aquí la ordenada en el origen tiene un significado real

Answer: Pendiente: por cada aumento de 1 °C, el modelo predice que la cafetería vende unas 3 bebidas calientes menos. Ordenada en el origen: en una mañana a 0 °C el modelo predice unas 110 bebidas calientes, lo cual tiene sentido porque 0 °C forma parte de los datos.

Calcular la recta de mínimos cuadrados a partir de los datos

Cinco estudiantes indicaron sus horas de estudio semanales $x$ y su nota del examen $y$ (sobre 100): | Horas $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | Nota $y$ | 52 | 60 | 68 | 76 | 74 | Halla la recta de regresión por mínimos cuadrados.

Calcular las medias: $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{52+60+68+76+74}{5} = \frac{330}{5} = 66$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 66$

Calcular las desviaciones respecto a las medias: $x - \bar{x}$: $-2, -1, 0, 1, 2$; $y - \bar{y}$: $-14, -6, 2, 10, 8$ = Desviaciones anotadas

Calcular las sumas para la pendiente: $\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 28 + 6 + 0 + 10 + 16 = 60$; $\sum(x-\bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$ = $60$ y $10$

Calcular la pendiente: $m = \frac{60}{10} = 6$ = $m = 6$

Calcular la ordenada en el origen: $b = \bar{y} - m\bar{x} = 66 - 6 \times 3 = 48$ = $b = 48$

Answer: La recta de regresión es $\hat{y} = 6x + 48$: cada hora extra de estudio a la semana va unida a unos 6 puntos más en el examen, en promedio.

¿Interpolación o extrapolación?

Usa $\hat{y} = 6x + 48$ de los datos de estudio (de $1$ a $5$ horas). Predice la nota de un estudiante que estudia $2{,}5$ horas y la de uno que estudia $9$ horas. ¿En qué predicción puedes confiar?

Predecir para 2,5 horas: $\hat{y} = 6 \times 2{,}5 + 48 = 15 + 48 = 63$ = $\hat{y} = 63$ puntos

Clasificar la primera predicción: $2{,}5$ está entre $1$ y $5$, dentro de los datos = Interpolación

Predecir para 9 horas: $\hat{y} = 6 \times 9 + 48 = 54 + 48 = 102$ = $\hat{y} = 102$ puntos

Clasificar y valorar la segunda predicción: $9$ está muy por encima de $5$, y $102$ supera el máximo de $100$ puntos = Extrapolación, no es creíble

Answer: Para 2,5 horas el modelo predice 63 puntos (interpolación, razonable). Para 9 horas predice 102 puntos, algo imposible en un examen sobre 100: es una extrapolación muy lejos de los datos, así que no se debe usar la recta ahí.

Los residuos de dos estudiantes

Con $\hat{y} = 6x + 48$, halla el residuo del estudiante que estudió $4$ horas y sacó $76$, y el del estudiante que estudió $5$ horas y sacó $74$. ¿Qué te dicen?

Nota predicha para 4 horas: $\hat{y} = 6 \times 4 + 48 = 72$ = $\hat{y} = 72$

Residuo para 4 horas: $e = y - \hat{y} = 76 - 72 = 4$ = $e = 4$ (por encima de la recta)

Nota predicha para 5 horas: $\hat{y} = 6 \times 5 + 48 = 78$ = $\hat{y} = 78$

Residuo para 5 horas: $e = 74 - 78 = -4$ = $e = -4$ (por debajo de la recta)

Answer: El estudiante de 4 horas sacó 4 puntos más de lo predicho (residuo $4$) y el de 5 horas, 4 puntos menos de lo predicho (residuo $-4$). En el gráfico de arriba, toca un punto para ver su residuo.

¿Se ajusta bien la recta? r y R²

Para los datos de la cafetería, los residuos son $5, -10, 0, 10, -5$ y la variación total de las ventas es $\sum(y - \bar{y})^2 = 2500$. Halla $R^2$ y $r$ y explícalos en contexto.

Suma de los cuadrados de los residuos: $25 + 100 + 0 + 100 + 25 = 250$ = $SS_{\text{res}} = 250$

Coeficiente de determinación: $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = 1 - \frac{250}{2500} = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$ = $R^2 = 0{,}90$

Coeficiente de correlación: $r = -\sqrt{0{,}9} \approx -0{,}95$ (negativo, porque la pendiente $-3$ es negativa) = $r \approx -0{,}95$

Interpretar ambos en contexto: $r$: relación lineal negativa fuerte; $R^2$: el $90\,\%$ de la variación de las bebidas calientes vendidas se explica por la temperatura = Buen ajuste, un 10 % queda para otros factores

Answer: $R^2 = 0{,}90$: alrededor del 90 % de la variación del número de bebidas calientes vendidas se explica por la relación lineal con la temperatura; el 10 % restante se debe a otros factores (día de la semana, eventos, azar). $r \approx -0{,}95$: una relación lineal negativa fuerte, las mañanas más cálidas van unidas a menos bebidas calientes.

Mistake: Dar la pendiente como un número suelto: "la pendiente es 6"

Why: Un número sin contexto no responde a la pregunta. La pendiente es una tasa de cambio: necesita unidades y la palabra "predicho" o "en promedio", porque los puntos reales se dispersan alrededor de la recta.

Correct: Di: "Por cada hora extra de estudio a la semana, la nota predicha sube unos 6 puntos."

Mistake: Confiar en una predicción muy fuera de los datos (extrapolación)

Why: La recta se ajustó solo al rango observado. Fuera de él, el patrón puede cambiar y la recta puede dar valores imposibles, como una nota de 120 sobre 100 o un número de ventas negativo.

Correct: Comprueba primero el rango de $x$. Dentro: interpolación. Fuera: extrapolación, así que di que la predicción no es fiable.

Mistake: Calcular el residuo al revés: $\hat{y} - y$

Why: Entonces el signo cambia y "por encima de la recta" se convierte en "por debajo de la recta". Por convención, el residuo es el valor real menos el valor predicho.

Correct: Usa siempre $e = y - \hat{y}$: positivo significa que el modelo se quedó corto, negativo que se pasó.

Mistake: Leer $R^2 = 0{,}9$ como "el 90 % de los puntos está sobre la recta" o "el modelo acierta el 90 % de las veces"

Why: $R^2$ mide qué parte de la variación de $y$ explica la relación lineal. Todos los puntos pueden estar fuera de la recta y aun así $R^2$ puede valer 0,9.

Correct: Di: "El 90 % de la variación de $y$ se explica por la relación lineal con $x$."

Laboratorio de biología: crecimiento de una planta

En clase de biología se mide una plántula cada semana y se ajusta una recta de regresión de la altura frente al tiempo para describir su ritmo de crecimiento.

Con $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (altura en cm, $x$ en semanas, datos de la semana 0 a la semana 8), la pendiente dice que la planta crece unos 2,5 cm por semana y la ordenada en el origen, que medía unos 4 cm al empezar las mediciones.

Tiempos de entrega de una tienda online

Las empresas de reparto modelan el tiempo de entrega según la distancia para dar a los clientes una hora estimada de llegada y detectar rutas más lentas de lo esperado.

Con $\hat{y} = 12 + 3x$ (minutos, $x$ = distancia en km, datos de 1 a 10 km), se predice que una entrega de 4 km tarda $12 + 12 = 24$ minutos.

Pruebas de batería de móviles

Los analistas de tecnología relacionan el tiempo de pantalla con el consumo de batería e indican la fuerza de esa relación, para que los lectores sepan cuánto pueden fiarse de la recta de regresión.

Si el tiempo de pantalla y la batería consumida tienen $r = 0{,}8$, entonces $R^2 = 0{,}64$: el 64 % de la variación del consumo se explica por el tiempo de pantalla.

Q: ¿La ordenada en el origen siempre tiene significado?

A: No. Es el valor predicho de $y$ cuando $x = 0$. Si $x = 0$ es imposible (una persona de 0 cm) o está muy lejos de los datos (un piso de 0 m²), la ordenada en el origen es solo un número que coloca la recta, no algo que interpretar.

Q: ¿Hasta dónde puedo predecir fuera de los datos?

A: No hay una distancia segura. Un poco fuera del rango puede funcionar si el patrón continúa claramente, pero toda extrapolación debe señalarse como incierta, y las predicciones lejanas (o los valores imposibles) no deben usarse.

Q: ¿Cuál es la diferencia entre r y R²?

A: $r$ está entre $-1$ y $1$ e indica la dirección (signo) y la fuerza de una relación lineal. $R^2 = r^2$ está entre $0$ y $1$ e indica qué parte de la variación de $y$ explica la recta. $R^2$ pierde el signo, así que mira la pendiente para saber la dirección.

Q: Si R² es alto, ¿x causa y?

A: No necesariamente. Un $R^2$ alto solo dice que la recta se ajusta bien a los datos. Una variable de confusión o el azar pueden crear el patrón; solo un experimento controlado puede demostrar causa y efecto.