¿Hasta dónde puedo predecir fuera de los datos?

No hay una distancia segura. Un poco fuera del rango puede funcionar si el patrón continúa claramente, pero toda extrapolación debe señalarse como incierta, y las predicciones lejanas (o los valores imposibles) no deben usarse.

¿Cuál es la diferencia entre r y R²?

$r$ está entre $-1$ y $1$ e indica la dirección (signo) y la fuerza de una relación lineal. $R^2 = r^2$ está entre $0$ y $1$ e indica qué parte de la variación de $y$ explica la recta. $R^2$ pierde el signo, así que mira la pendiente para saber la dirección.

Si R² es alto, ¿x causa y?

No necesariamente. Un $R^2$ alto solo dice que la recta se ajusta bien a los datos. Una variable de confusión o el azar pueden crear el patrón; solo un experimento controlado puede demostrar causa y efecto.

Recursos para profesores

Problemas de regresión

Q: ¿La ordenada en el origen siempre tiene significado?

No. Es el valor predicho de $y$ cuando $x = 0$. Si $x = 0$ es imposible (una persona de 0 cm) o está muy lejos de los datos (un piso de 0 m²), la ordenada en el origen es solo un número que coloca la recta, no algo que interpretar.

Resuelve problemas completos de regresión: interpretar la pendiente y la ordenada en el origen, predecir, detectar extrapolaciones, calcular residuos y explicar r y R².

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Definición

Un problema de regresión te da datos reales (o una ecuación de regresión ya ajustada) y te pregunta qué dice el modelo sobre la situación. Todos estos problemas usan la misma caja de herramientas:

\hat{y} = mx + b

**Pendiente $m$ en contexto**: por cada aumento de 1 unidad en $x$ , el valor predicho de $y$ cambia $m$ unidades, en promedio.
**Ordenada en el origen $b$ en contexto**: el valor predicho de $y$ cuando $x = 0$ . Solo tiene un significado real si $x = 0$ tiene sentido y está cerca de los datos.
Predicción: sustituye $x$ en la ecuación para obtener el valor predicho $\hat{y}$ .
Interpolación o extrapolación: una predicción para un $x$ dentro del rango de los datos es una interpolación (normalmente fiable); fuera de ese rango es una extrapolación (arriesgada).
Residuo: $e = y - \hat{y}$ (valor real menos valor predicho). Positivo significa que el punto está por encima de la recta.
r y R²: $r$ indica la dirección y la fuerza de la relación lineal; $R^2 = r^2$ es la parte de la variación de $y$ que explica la relación lineal con $x$ .

Una buena respuesta siempre usa las unidades y las palabras del enunciado, no solo números.

Pruébalo ahora

El modelo

\hat{y} = 6x + 48

predice la nota del examen

\hat{y}

(puntos) a partir de las horas de estudio semanales

x

. ¿Qué significa la pendiente

6

Ejemplos resueltos

Una cafetería anotó durante cinco mañanas la temperatura exterior

x

(en °C, de

0

20

) y el número

y

de bebidas calientes vendidas. La recta de regresión es

\hat{y} = 110 - 3x

. Interpreta la pendiente y la ordenada en el origen.

Identificar la pendiente y la ordenada en el origen

\hat{y} = -3x + 110

, así que

m = -3

b = 110

→

m = -3

b = 110

Interpretar la pendiente con unidades

Por cada grado más, el número predicho de bebidas calientes cambia en

-3

→ Unas 3 bebidas calientes menos por cada grado extra, en promedio

Interpretar la ordenada en el origen con unidades

Con

x = 0

°C el modelo predice

\hat{y} = 110 - 3 \times 0 = 110

→ Unas 110 bebidas calientes en una mañana a 0 °C

Comprobar que la ordenada en el origen tiene sentido

0

°C es una temperatura real y está dentro del rango de los datos, de

0

20

→ Aquí la ordenada en el origen tiene un significado real

Respuesta: Pendiente: por cada aumento de 1 °C, el modelo predice que la cafetería vende unas 3 bebidas calientes menos. Ordenada en el origen: en una mañana a 0 °C el modelo predice unas 110 bebidas calientes, lo cual tiene sentido porque 0 °C forma parte de los datos.

Errores comunes

Dar la pendiente como un número suelto: "la pendiente es 6"

Por qué está mal: Un número sin contexto no responde a la pregunta. La pendiente es una tasa de cambio: necesita unidades y la palabra "predicho" o "en promedio", porque los puntos reales se dispersan alrededor de la recta.

Correcto: Di: "Por cada hora extra de estudio a la semana, la nota predicha sube unos 6 puntos."

Confiar en una predicción muy fuera de los datos (extrapolación)

Por qué está mal: La recta se ajustó solo al rango observado. Fuera de él, el patrón puede cambiar y la recta puede dar valores imposibles, como una nota de 120 sobre 100 o un número de ventas negativo.

Correcto: Comprueba primero el rango de $x$ . Dentro: interpolación. Fuera: extrapolación, así que di que la predicción no es fiable.

Calcular el residuo al revés: $\hat{y} - y$

Por qué está mal: Entonces el signo cambia y "por encima de la recta" se convierte en "por debajo de la recta". Por convención, el residuo es el valor real menos el valor predicho.

Correcto: Usa siempre $e = y - \hat{y}$ : positivo significa que el modelo se quedó corto, negativo que se pasó.

Leer $R^2 = 0{,}9$ como "el 90 % de los puntos está sobre la recta" o "el modelo acierta el 90 % de las veces"

Por qué está mal: $R^2$ mide qué parte de la variación de $y$ explica la relación lineal. Todos los puntos pueden estar fuera de la recta y aun así $R^2$ puede valer 0,9.

Correcto: Di: "El 90 % de la variación de $y$ se explica por la relación lineal con $x$ ."

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Diagrama de dispersión

Horas de estudio semanales y nota del examen

ŷ = 6x + 48

r = 0,949 · correlación positiva fuerte

Toca un punto para ver sus coordenadas.

Diagrama de dispersión

Temperatura exterior y bebidas calientes vendidas

ŷ = −3x + 110

r = -0,949 · correlación negativa fuerte

Toca un punto para ver sus coordenadas.

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

El modelo

\hat{y} = 6x + 48

predice la nota del examen

\hat{y}

(puntos) a partir de las horas de estudio semanales

x

. ¿Qué significa la pendiente

6

Problemas de práctica: Problemas de regresión

1. El modelo \hat{y} = 6x + 48 predice la nota del examen \hat{y} (puntos) a partir de las horas de estudio semanales x. ¿Qué significa la pendiente 6?
2. Con \hat{y} = 6x + 48 (nota del examen según las horas de estudio semanales x), predice la nota de un estudiante que estudia 4 horas a la semana.
3. Se ajustó una recta de regresión a datos con valores de x de 2 a 10. ¿Para qué valor de x una predicción es una extrapolación?
4. Un punto de datos tiene valor real y = 80 y la recta de regresión predice \hat{y} = 74 para él. ¿Cuál es su residuo?
5. Una regresión de la nota del examen sobre el tiempo de estudio tiene R² = 0,64. ¿Qué afirmación es correcta?
6. La correlación entre los pasos diarios y las calorías quemadas es r = 0,7. ¿Cuánto vale R²? Exprésalo como decimal.
7. El modelo de un concesionario para coches usados es \hat{y} = 18000 - 1500x, donde \hat{y} es el precio en dólares y x la antigüedad en años (datos de coches de 0 a 8 años). ¿Qué significa la ordenada en el origen 18000?
8. Una cafetería usa \hat{y} = 110 - 3x para predecir el número de bebidas calientes vendidas a partir de la temperatura de la mañana x en °C (datos de 0 a 20 °C). ¿Cuántas bebidas calientes predice para 12 °C?
9. En un modelo de tiempos de entrega, una entrega tiene un residuo de -5 minutos. ¿Qué significa?
10. La altura de una planta se modela con \hat{y} = 2{,}5x + 4 (cm, x en semanas). ¿Cuántos cm aumenta la altura predicha en 4 semanas más?
11. El modelo de la cafetería es \hat{y} = 110 - 3x (bebidas calientes, x en °C). En una mañana a 15 °C la cafetería vendió 75 bebidas calientes. Halla el residuo de esa mañana.
12. Para los datos de horas de estudio, la suma de los cuadrados de los residuos es SS_{\text{res}} = 40 y la variación total de las notas es SS_{\text{tot}} = 400. Halla R^2 y di qué porcentaje de la variación de las notas explica la recta.
13. El modelo \hat{y} = 6x + 48 se ajustó con estudiantes que estudian de 1 a 5 horas a la semana (exámenes sobre 100 puntos). Predice la nota para 12 horas y decide qué tipo de predicción es.
14. El modelo del concesionario es \hat{y} = 18000 - 1500x (precio en dólares, x = antigüedad en años, datos de 0 a 8 años). Un coche de 4 años se vendió por 13000 dólares. Halla el precio predicho y el residuo. ¿Se vendió el coche por encima o por debajo del precio predicho?
15. Una estudiante cuenta las flexiones y que logra hacer tras x semanas de entrenamiento: | x | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | y | 3 | 5 | 6 | 10 | Halla la recta de regresión \hat{y} = mx + b por mínimos cuadrados.
16. El modelo de la cafetería es \hat{y} = 110 - 3x (bebidas calientes, x en °C, datos de 0 a 20 °C), con R^2 = 0{,}9. En una mañana a 8 °C la cafetería vendió 90 bebidas calientes. Halla la predicción, el residuo, el coeficiente de correlación r y el porcentaje de variación explicada.
17. Un puesto de helados recogió datos para temperaturas de 10 a 30 °C. La recta de regresión de los helados vendidos por hora frente a la temperatura tiene pendiente 1{,}5, y las medias son \bar{x} = 20 °C y \bar{y} = 50 helados. Halla la ordenada en el origen, predice las ventas a 30 °C y halla el residuo de una hora a 30 °C con 61 helados vendidos.
18. Con \hat{y} = 6x + 48 (nota según las horas de estudio semanales, datos de 1 a 5 horas), ¿cuántas horas de estudio hacen falta según el modelo para una nota predicha de 84? ¿Se puede confiar en esta respuesta?

Por qué es importante

La regresión es la forma de convertir datos en decisiones:

Tiendas y cafeterías predicen cuánto pedir a partir del pronóstico del tiempo.
Los institutos estudian cómo se relaciona el tiempo de estudio con las notas y qué alumnos rinden más o menos de lo previsto.
Médicos y científicos usan la regresión para estimar dosis, ritmos de crecimiento y riesgos.
Concesionarios y bancos estiman cuánto baja cada año el valor de un coche.

En todos estos casos, lo difícil no es la aritmética sino la interpretación: decir qué significa la pendiente, saber cuándo se puede confiar en una predicción y explicar lo bien que se ajusta la recta. Eso es justo lo que piden los exámenes y los trabajos reales, y lo que entrena esta lección.

Aplicaciones del mundo real

Laboratorio de biología: crecimiento de una planta

En clase de biología se mide una plántula cada semana y se ajusta una recta de regresión de la altura frente al tiempo para describir su ritmo de crecimiento.

Ejemplo:

Con $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (altura en cm, $x$ en semanas, datos de la semana 0 a la semana 8), la pendiente dice que la planta crece unos 2,5 cm por semana y la ordenada en el origen, que medía unos 4 cm al empezar las mediciones.

1Inténtalo tú mismo

El modelo de la clase es $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ , con la altura $\hat{y}$ en cm y el tiempo $x$ en semanas (datos de la semana 0 a la semana 8).

¿Qué altura predice el modelo en la semana 6?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sustituye $x = 6$ en la ecuación:

Tiempos de entrega de una tienda online

Las empresas de reparto modelan el tiempo de entrega según la distancia para dar a los clientes una hora estimada de llegada y detectar rutas más lentas de lo esperado.

Ejemplo:

Con $\hat{y} = 12 + 3x$ (minutos, $x$ = distancia en km, datos de 1 a 10 km), se predice que una entrega de 4 km tarda $12 + 12 = 24$ minutos.

2Inténtalo tú mismo

El modelo es $\hat{y} = 12 + 3x$ (tiempo en minutos, $x$ = distancia en km). Una entrega de 6 km tardó en realidad 33 minutos.

¿Cuál es el residuo de esta entrega?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Residuo = tiempo real menos tiempo predicho:

Pruebas de batería de móviles

Los analistas de tecnología relacionan el tiempo de pantalla con el consumo de batería e indican la fuerza de esa relación, para que los lectores sepan cuánto pueden fiarse de la recta de regresión.

Ejemplo:

Si el tiempo de pantalla y la batería consumida tienen $r = 0{,}8$ , entonces $R^2 = 0{,}64$ : el 64 % de la variación del consumo se explica por el tiempo de pantalla.

3Inténtalo tú mismo

En una prueba de batería, la correlación entre la temperatura de la habitación y la duración de la batería es $r = -0{,}9$ .

¿Qué porcentaje de la variación de la duración de la batería se explica por la relación lineal con la temperatura de la habitación?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Eleva r al cuadrado y pásalo a porcentaje:

Puntos clave

1Interpreta la pendiente como una tasa con unidades: por cada aumento de 1 en $x$ , el valor predicho de $y$ cambia $m$ , en promedio
2La ordenada en el origen es el valor predicho de $y$ en $x = 0$ ; solo significa algo si $x = 0$ tiene sentido y está cerca de los datos
3Para predecir, sustituye $x$ en $\hat{y} = mx + b$ ; dentro del rango de los datos es interpolación, fuera es una extrapolación arriesgada
4Un residuo es el valor real menos el predicho, $e = y - \hat{y}$ : positivo por encima de la recta, negativo por debajo
5 $r$ indica dirección y fuerza; $R^2 = r^2$ es la parte de la variación de $y$ que explica la recta
6Un buen ajuste muestra una relación, no una causa: responde siempre con las palabras y unidades del enunciado

Preguntas frecuentes

No. Es el valor predicho de

y

cuando

x = 0

. Si

x = 0

es imposible (una persona de 0 cm) o está muy lejos de los datos (un piso de 0 m²), la ordenada en el origen es solo un número que coloca la recta, no algo que interpretar.

Glosario

Valor predicho $\hat{y}$: El valor de $y$ que da la recta de regresión para un $x$ elegido
Pendiente en contexto: El cambio predicho de $y$ , en las unidades de $y$ , por cada aumento de 1 unidad en $x$
Ordenada en el origen en contexto: El valor predicho de $y$ cuando $x = 0$ ; solo tiene sentido si $x = 0$ es realista y está cerca de los datos
Interpolación: Predecir $y$ para un $x$ dentro del rango de los datos
Extrapolación: Predecir $y$ para un $x$ fuera del rango de los datos; a menudo poco fiable
Coeficiente de determinación R²: La parte de la variación de $y$ que explica la relación lineal con $x$ ; para una recta es igual a $r^2$

Tarjeta de fórmulas

Recta de regresión

\hat{y} = mx + b

Sustituye x para obtener el valor predicho

Pendiente por mínimos cuadrados

m = \frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum(x-\bar{x})^2}

Se calcula con las desviaciones respecto a las medias

Ordenada en el origen por mínimos cuadrados

b = \bar{y} - m\bar{x}

La recta siempre pasa por el punto de las medias

Residuo

e = y - \hat{y}

Real menos predicho; positivo por encima de la recta

Coeficiente de determinación

R^2 = r^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

$SS_{\text{res}}$ es la suma de los cuadrados de los residuos, $SS_{\text{tot}}$ la suma de las desviaciones de y respecto a su media al cuadrado

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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Por qué es importante

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Laboratorio de biología: crecimiento de una planta

Tiempos de entrega de una tienda online

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Preguntas frecuentes

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Tarjeta de fórmulas

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Ordenada en el origen por mínimos cuadrados

Residuo

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