Usar los límites

Un conjunto de datos tiene $Q_1 = 20$ y $Q_3 = 30$. ¿Cuáles de los valores $2$, $18$, $44$ y $50$ son atípicos?

Halla el IQR: $\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 30 - 20$ = $\text{IQR} = 10$

Multiplica el IQR por 1,5: $1{,}5 \times 10$ = $15$

Halla el límite inferior: $Q_1 - 15 = 20 - 15$ = Límite inferior $= 5$

Halla el límite superior: $Q_3 + 15 = 30 + 15$ = Límite superior $= 45$

Compara cada valor con los límites: $2 < 5$ (fuera), $18$ y $44$ están entre $5$ y $45$ (dentro), $50 > 45$ (fuera) = Valores atípicos: $2$ y $50$

Answer: Solo $2$ y $50$ son valores atípicos. Los valores $18$ y $44$ están dentro de los límites $5$ y $45$.

Encontrar un valor atípico en datos sin procesar

Notas de un examen corto (sobre 20) en un grupo pequeño: $3, 12, 13, 14, 15, 15, 16, 17, 18$. ¿Hay algún valor atípico?

Halla la mediana: Los datos están ordenados. Con 9 valores, la mediana es el 5.º valor. = Mediana $= 15$

Halla $Q_1$ (mediana de la mitad inferior, sin la mediana): Mitad inferior: $3, 12, 13, 14$. $(12 + 13) \div 2$ = $Q_1 = 12{,}5$

Halla $Q_3$ (mediana de la mitad superior): Mitad superior: $15, 16, 17, 18$. $(16 + 17) \div 2$ = $Q_3 = 16{,}5$

Halla el IQR y $1{,}5 \times \text{IQR}$: $\text{IQR} = 16{,}5 - 12{,}5 = 4$ y $1{,}5 \times 4 = 6$ = $1{,}5 \times \text{IQR} = 6$

Construye los límites: Inferior: $12{,}5 - 6 = 6{,}5$. Superior: $16{,}5 + 6 = 22{,}5$ = Límites: $6{,}5$ y $22{,}5$

Comprueba cada valor: $3 < 6{,}5$. Todos los demás valores están entre $6{,}5$ y $22{,}5$. = $3$ es un valor atípico

Answer: La nota $3$ es un valor atípico (bajo). Los valores atípicos también pueden ser pequeños, no solo grandes.

Un valor atípico arrastra la media, no la mediana

Los viajes en autobús de Kai duraron $12, 14, 15, 16, 18$ minutos. Un día el autobús se averió y el viaje duró $51$ minutos. Compara la media, la mediana y el rango antes y después.

Media y mediana sin el 51: Media $= (12 + 14 + 15 + 16 + 18) \div 5 = 75 \div 5$. Mediana: el valor central. = Media $= 15$, mediana $= 15$

Media con el 51: $(75 + 51) \div 6 = 126 \div 6$ = Media $= 21$

Mediana con el 51: 6 valores: $12, 14, 15, 16, 18, 51$. Mediana $= (15 + 16) \div 2$ = Mediana $= 15{,}5$

Rango antes y después: Antes: $18 - 12 = 6$. Después: $51 - 12 = 39$ = Rango: $6 \to 39$

Comprueba que 51 es atípico: $Q_1 = 14$, $Q_3 = 18$, $\text{IQR} = 4$. Límite superior $= 18 + 1{,}5 \times 4 = 24$, y $51 > 24$ = $51$ es un valor atípico

Answer: Un solo valor atípico llevó la media de $15$ a $21$ minutos y el rango de $6$ a $39$, pero la mediana solo pasó de $15$ a $15{,}5$. La mediana sigue describiendo un viaje típico.

Valores atípicos a ambos lados en un diagrama de caja

Una estación meteorológica registró estas temperaturas al mediodía (°C) durante 11 días de verano: $2, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 52$. Encuentra los valores atípicos y describe el diagrama de caja.

Halla la mediana: 11 valores, así que la mediana es el 6.º valor = Mediana $= 26$

Halla $Q_1$ y $Q_3$: La mitad inferior $2, 21, 23, 24, 25$ da $Q_1 = 23$. La mitad superior $27, 28, 29, 30, 52$ da $Q_3 = 29$ = $Q_1 = 23$, $Q_3 = 29$

IQR y $1{,}5 \times \text{IQR}$: $\text{IQR} = 29 - 23 = 6$, $1{,}5 \times 6 = 9$ = $9$

Límites: Inferior: $23 - 9 = 14$. Superior: $29 + 9 = 38$ = Límites: $14$ y $38$

Valores atípicos: $2 < 14$ y $52 > 38$ = Valores atípicos: $2$ y $52$

Bigotes del diagrama de caja: Los bigotes terminan en el valor más pequeño y en el más grande que están dentro de los límites = Bigotes de $21$ a $30$, puntos en $2$ y $52$

Answer: Los valores atípicos son $2$ y $52$. La caja va de $23$ a $29$ con la mediana en $26$, los bigotes van de $21$ a $30$, y $2$ y $52$ se dibujan como puntos sueltos. Una lectura de $52°C$ en un día de verano normal es casi seguro un error del sensor.

¿Error o valor real?

Estaturas de 7 estudiantes en cm: $148, 152, 155, 158, 160, 163, 1630$. ¿Qué deberías hacer con $1630$?

Halla $Q_1$ y $Q_3$: Mediana $= 158$. La mitad inferior $148, 152, 155$ da $Q_1 = 152$. La mitad superior $160, 163, 1630$ da $Q_3 = 163$ = $Q_1 = 152$, $Q_3 = 163$

Halla el límite superior: $\text{IQR} = 11$, $1{,}5 \times 11 = 16{,}5$, $163 + 16{,}5$ = Límite superior $= 179{,}5$

¿Es 1630 un valor atípico?: $1630 > 179{,}5$ = Sí, es atípico

Pregúntate: ¿es posible ese valor?: $1630$ cm son $16{,}3$ m, más que un edificio de cinco plantas. Ningún estudiante mide tanto. = Es un error

Decide: Seguramente es un error al teclear (un cero de más). Revisa el registro original: si pone $163$, corrígelo. = Corregirlo a $163$

Answer: $1630$ es un valor atípico y además un valor imposible, así que es un error de registro. Corrígelo si encuentras el valor real; si no, elimínalo e indica que lo has hecho. Los valores atípicos reales (un estudiante muy alto pero posible) se quedan en los datos.

Mistake: Usar $Q_3 + \text{IQR}$ en lugar de $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$

Why: Si olvidas el factor $1{,}5$, los límites quedan demasiado cerca de la caja y se marcan como atípicos valores normales.

Correct: Multiplica siempre primero: $1{,}5 \times \text{IQR}$, y después réstalo a $Q_1$ y súmalo a $Q_3$.

Mistake: Construir los límites desde la mediana, el mínimo o el máximo

Why: La regla mide la distancia a la caja, y la caja termina en $Q_1$ y $Q_3$.

Correct: Límite inferior $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$, límite superior $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$. Nunca empieces desde la mediana ni desde los extremos.

Mistake: Dibujar el bigote hasta el valor atípico

Why: Así el valor atípico parece parte de la dispersión normal y el diagrama de caja lo esconde.

Correct: El bigote termina en el valor más grande (o más pequeño) que no es atípico. Dibuja cada valor atípico como un punto suelto.

Mistake: Borrar automáticamente todos los valores atípicos

Why: Un valor atípico puede ser real e importante, como un tiempo récord o un pedido muy grande.

Correct: Elimina o corrige un valor solo si es un error (fallo al teclear, instrumento roto, unidad equivocada). Conserva los valores atípicos reales y menciónalos, o usa la mediana y el IQR.

Detectar fraude con tarjeta

Los bancos comparan cada pago nuevo con tarjeta con los pagos habituales del cliente. Un pago por encima del límite superior puede activar una comprobación de seguridad.

Los pagos de una clienta tienen $Q_1 = 20$ dólares y $Q_3 = 60$ dólares. Un pago de 450 dólares está muy por encima del límite superior, así que el banco envía un SMS para confirmarlo.

Control de calidad en una fábrica

Todas las botellas de zumo deberían contener más o menos la misma cantidad. Las botellas por debajo del límite inferior se retiran de la línea y se revisan.

Si la mayoría de las botellas contienen entre 498 mL y 502 mL, una botella con 480 mL está claramente poco llena, y puede que la máquina necesite una reparación.

Informar de un salario típico

Las noticias suelen dar el salario mediano en lugar de la media, porque unos pocos salarios muy altos tiran de la media hacia arriba.

En una empresa pequeña, cinco empleados ganan entre 30 y 38 mil dólares al año y la dueña gana 160 mil dólares. Su salario es un valor atípico.

Q: ¿Por qué 1,5 y no 1 o 2?

A: El factor $1{,}5$ lo eligió el estadístico John Tukey porque funciona bien en la práctica: señala valores realmente inusuales sin marcar demasiados valores normales. Algunos libros también usan $3 \times \text{IQR}$ para los valores atípicos "extremos".

Q: ¿Puede un conjunto de datos no tener valores atípicos, o tener más de uno?

A: Sí, las dos cosas. Muchos conjuntos de datos no tienen ningún valor atípico y otros tienen varios, a un lado o a ambos lados (como las temperaturas $2$ y $52$ de los ejemplos).

Q: ¿El mínimo o el máximo es siempre un valor atípico?

A: No. El mínimo y el máximo son solo el valor más pequeño y el más grande. Solo son atípicos si están fuera de los límites. Por ejemplo, en $60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 95$ el límite superior es $96{,}25$, así que el máximo $95$ no es atípico.

Q: ¿Hay otra forma de encontrar valores atípicos?

A: Sí. Con la desviación estándar puedes medir a cuántas desviaciones estándar de la media está un valor (su puntuación z). Los valores a más de 2 o 3 desviaciones estándar se suelen considerar inusuales. La regla de 1,5 × IQR se usa en los diagramas de caja porque no depende de la media, que los valores atípicos distorsionan.