Cálculo de la desviación estándar (Conjunto pequeño de datos)

Encuentra la desviación estándar de: $4, 8, 6, 5, 7$

Encuentra la media: $\bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 7}{5} = \frac{30}{5} = 6$ = Media = $6$

Encuentra cada desviación de la media: $4-6=-2$, $8-6=2$, $6-6=0$, $5-6=-1$, $7-6=1$ = Desviaciones: $-2, 2, 0, -1, 1$

Eleva al cuadrado cada desviación: $(-2)^2=4$, $(2)^2=4$, $(0)^2=0$, $(-1)^2=1$, $(1)^2=1$ = Cuadrados: $4, 4, 0, 1, 1$

Encuentra la media de las desviaciones al cuadrado (varianza): $\text{Varianza} = \frac{4+4+0+1+1}{5} = \frac{10}{5} = 2$ = Varianza = $2$

Saca la raíz cuadrada para obtener la desviación estándar: $\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ = $\sigma \approx 1{,}41$

Answer: La desviación estándar es aproximadamente $1{,}41$, lo que significa que los valores típicamente difieren de la media en aproximadamente $1{,}41$ unidades.

Comparación de dos conjuntos de datos

Notas de la clase A: $70, 72, 68, 71, 69$ (Media = $70$) Notas de la clase B: $50, 90, 60, 80, 70$ (Media = $70$) ¿Qué clase tiene notas más consistentes?

Calcula desviaciones y cuadrados para la clase A: $(70-70)^2 + (72-70)^2 + (68-70)^2 + (71-70)^2 + (69-70)^2$ $= 0 + 4 + 4 + 1 + 1 = 10$ = Suma de cuadrados = $10$

Calcula la desviación estándar de la clase A: $\sigma_A = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ = $\sigma_A \approx 1{,}41$

Calcula desviaciones y cuadrados para la clase B: $(50-70)^2 + (90-70)^2 + (60-70)^2 + (80-70)^2 + (70-70)^2$ $= 400 + 400 + 100 + 100 + 0 = 1000$ = Suma de cuadrados = $1000$

Calcula la desviación estándar de la clase B: $\sigma_B = \sqrt{\frac{1000}{5}} = \sqrt{200} \approx 14{,}14$ = $\sigma_B \approx 14{,}14$

Compara los resultados: $\sigma_A \approx 1{,}41$ vs $\sigma_B \approx 14{,}14$ = La clase A es mucho más consistente

Answer: La clase A tiene notas más consistentes. Aunque ambas clases tienen la misma media ($70$), la desviación estándar de la clase A ($1{,}41$) es mucho menor que la de la clase B ($14{,}14$).

Encontrar la varianza a partir de la desviación estándar

Un conjunto de datos tiene una desviación estándar de $\sigma = 5$. ¿Cuál es la varianza?

Recuerda la relación: Varianza = $(\sigma)^2$ Desviación estándar = $\sqrt{\text{Varianza}}$ = La varianza es el cuadrado de la desviación estándar

Eleva al cuadrado la desviación estándar: Varianza = $5^2 = 25$ = Varianza = $25$

Verifica invirtiendo: $\sqrt{25} = 5 = \sigma$ (¡correcto!) = Verificación exitosa

Answer: La varianza es $25$. Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, elevar al cuadrado la desviación estándar da la varianza.

Mistake: Olvidar elevar al cuadrado las desviaciones

Why: Sin elevar al cuadrado, las desviaciones positivas y negativas se cancelarían, dando un resultado engañoso de cero.

Correct: Siempre eleva al cuadrado las desviaciones: $(x_i - \bar{x})^2$. Esto asegura que todos los valores sean positivos.

Mistake: Olvidar la raíz cuadrada final

Why: Sin la raíz cuadrada, tienes la varianza, no la desviación estándar. Miden lo mismo pero en diferentes unidades.

Correct: Desviación estándar = $\sqrt{\text{varianza}}$. Siempre saca la raíz cuadrada al final.

Mistake: Confundir las fórmulas de población y muestra

Why: La desviación estándar de la muestra divide por $(n-1)$ en lugar de $n$ para corregir el sesgo al estimar de una muestra.

Correct: Población: divide por $n$. Muestra: divide por $(n-1)$. En esta lección, usamos la fórmula de población.

Control de calidad en la fabricación

Las fábricas miden las dimensiones de los productos para asegurar uniformidad. La desviación estándar muestra cuánta variación existe.

Una fábrica de tornillos busca tornillos de $10$ mm de diámetro. Si la desviación estándar es $0{,}1$ mm, la mayoría de los tornillos están entre $9{,}9$ y $10{,}1$ mm.

Análisis de riesgo en inversiones

Los analistas financieros usan la desviación estándar para medir cuánto fluctúan los rendimientos de una inversión (volatilidad).

La acción A tiene rendimientos con desviación estándar de $5\%$. La acción B tiene desviación estándar de $20\%$. La acción B es más riesgosa porque sus rendimientos varían más.

Q: ¿Cuál es la diferencia entre desviación estándar y varianza?

A: La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado de la media. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Miden lo mismo, pero la desviación estándar está en las mismas unidades que tus datos, lo que la hace más fácil de interpretar.

Q: ¿Puede la desviación estándar ser negativa?

A: No. La desviación estándar siempre es cero o positiva. Como elevamos todas las desviaciones al cuadrado (haciéndolas positivas) y luego sacamos una raíz cuadrada, el resultado no puede ser negativo. Una desviación estándar de cero significa que todos los valores son idénticos.

Q: ¿Por qué elevamos las desviaciones al cuadrado?

A: Si simplemente sumáramos las desviaciones, los valores positivos y negativos se cancelarían (su suma es cero). Elevar al cuadrado asegura que todos los valores se vuelvan positivos, así que se acumulan en lugar de cancelarse.