Desviación estándar

Aprende a medir la dispersión de los datos usando la desviación estándar y comprende qué nos dice sobre un conjunto de datos.

Avanzado25 minLección
Ficha imprimible

Definición

La desviación estándar es una medida de cuán dispersos están los números respecto a la media (promedio). Nos dice cuánto difieren típicamente los valores de los datos del promedio.
σ=∑(xi−xˉ)2n\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}}
Donde:
  • σ\sigma (sigma) = desviación estándar
  • xix_i = cada valor de datos
  • xˉ\bar{x} = la media (promedio)
  • nn = número de valores
  • ∑\sum = suma de todos los valores
Punto clave: Una desviación estándar pequeña significa que los datos están cerca de la media. Una desviación estándar grande significa que los datos están lejos de la media.

Pruébalo ahora

¿Qué mide la desviación estándar?

Ejemplos resueltos

Encuentra la desviación estándar de: 4,8,6,5,74, 8, 6, 5, 7
1

Encuentra la media

xˉ=4+8+6+5+75=305=6\bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 7}{5} = \frac{30}{5} = 6 → Media = 66
2

Encuentra cada desviación de la media

4−6=−24-6=-2, 8−6=28-6=2, 6−6=06-6=0, 5−6=−15-6=-1, 7−6=17-6=1 → Desviaciones: −2,2,0,−1,1-2, 2, 0, -1, 1
3

Eleva al cuadrado cada desviación

(−2)2=4(-2)^2=4, (2)2=4(2)^2=4, (0)2=0(0)^2=0, (−1)2=1(-1)^2=1, (1)2=1(1)^2=1 → Cuadrados: 4,4,0,1,14, 4, 0, 1, 1
4

Encuentra la media de las desviaciones al cuadrado (varianza)

Varianza=4+4+0+1+15=105=2\text{Varianza} = \frac{4+4+0+1+1}{5} = \frac{10}{5} = 2 → Varianza = 22
5

Saca la raíz cuadrada para obtener la desviación estándar

σ=2≈1,41\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}41 → σ≈1,41\sigma \approx 1{,}41

Errores comunes

Olvidar elevar al cuadrado las desviaciones

Por qué está mal: Sin elevar al cuadrado, las desviaciones positivas y negativas se cancelarían, dando un resultado engañoso de cero.

Correcto: Siempre eleva al cuadrado las desviaciones: (xi−xˉ)2(x_i - \bar{x})^2. Esto asegura que todos los valores sean positivos.

Olvidar la raíz cuadrada final

Por qué está mal: Sin la raíz cuadrada, tienes la varianza, no la desviación estándar. Miden lo mismo pero en diferentes unidades.

Correcto: Desviación estándar = varianza\sqrt{\text{varianza}}. Siempre saca la raíz cuadrada al final.

Confundir las fórmulas de población y muestra

Por qué está mal: La desviación estándar de la muestra divide por (n−1)(n-1) en lugar de nn para corregir el sesgo al estimar de una muestra.

Correcto: Población: divide por nn. Muestra: divide por (n−1)(n-1). En esta lección, usamos la fórmula de población.

Visual interactivo

Diagrama de puntos

Clase A: 70, 72, 68, 71, 69

5060708090

Cada punto es un valor (5 valores en total).

Media = 70

Toca una columna para contar sus puntos.

Diagrama de puntos

Clase B: 50, 90, 60, 80, 70

5060708090

Cada punto es un valor (5 valores en total).

Media = 70

Toca una columna para contar sus puntos.

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

15 problemas
Problema 1 de 15
Fácil
¿Qué mide la desviación estándar?

Por qué es importante

La desviación estándar está en todas partes de la vida real:
  • Control de calidad: Las fábricas la usan para asegurar que los productos sean uniformes. Una desviación estándar baja significa productos confiables.
  • Calificaciones de exámenes: Los profesores la usan para entender cuán variado es el rendimiento de los estudiantes.
  • Finanzas: Los inversores la usan para medir el riesgo. Mayor desviación estándar = más volatilidad = más riesgo.
  • Clima: Los meteorólogos la usan para describir la variabilidad de la temperatura.
  • Deportes: Los entrenadores analizan la consistencia del rendimiento de los jugadores.
¡Sin la desviación estándar, no podríamos saber si los datos están agrupados o dispersos!

Aplicaciones del mundo real

Control de calidad en la fabricación

Las fábricas miden las dimensiones de los productos para asegurar uniformidad. La desviación estándar muestra cuánta variación existe.

Ejemplo:

Una fábrica de tornillos busca tornillos de 1010 mm de diámetro. Si la desviación estándar es 0,10{,}1 mm, la mayoría de los tornillos están entre 9,99{,}9 y 10,110{,}1 mm.

1Inténtalo tú mismo

La fábrica A produce tornillos con diámetro medio de 1010 mm y desviación estándar de 0,050{,}05 mm. La fábrica B también produce tornillos con media de 1010 mm pero desviación estándar de 0,20{,}2 mm.

¿Qué fábrica produce tornillos más uniformes?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Compara las desviaciones estándar y elige la fábrica:

Análisis de riesgo en inversiones

Los analistas financieros usan la desviación estándar para medir cuánto fluctúan los rendimientos de una inversión (volatilidad).

Ejemplo:

La acción A tiene rendimientos con desviación estándar de 5%5\%. La acción B tiene desviación estándar de 20%20\%. La acción B es más riesgosa porque sus rendimientos varían más.

2Inténtalo tú mismo

Dos fondos de inversión tienen un rendimiento anual promedio de 8%8\%. El fondo X tiene una desviación estándar de 3%3\%, mientras que el fondo Y tiene una desviación estándar de 12%12\%.

¿Qué fondo es menos riesgoso para un inversor cauteloso?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Compara los niveles de riesgo y elige el fondo:

Puntos clave

  • 1La desviación estándar mide cuán dispersos están los datos respecto a la media
  • 2Fórmula: σ=∑(xi−xˉ)2n\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}}
  • 3Desviación estándar pequeña = datos agrupados cerca de la media
  • 4Desviación estándar grande = datos alejados de la media
  • 5Para calcular: encontrar la media, encontrar las desviaciones, elevarlas al cuadrado, encontrar la media de los cuadrados, sacar la raíz cuadrada

Preguntas frecuentes

La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado de la media. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Miden lo mismo, pero la desviación estándar está en las mismas unidades que tus datos, lo que la hace más fácil de interpretar.
La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado de la media. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Miden lo mismo, pero la desviación estándar está en las mismas unidades que tus datos, lo que la hace más fácil de interpretar.
No. La desviación estándar siempre es cero o positiva. Como elevamos todas las desviaciones al cuadrado (haciéndolas positivas) y luego sacamos una raíz cuadrada, el resultado no puede ser negativo. Una desviación estándar de cero significa que todos los valores son idénticos.
Si simplemente sumáramos las desviaciones, los valores positivos y negativos se cancelarían (su suma es cero). Elevar al cuadrado asegura que todos los valores se vuelvan positivos, así que se acumulan en lugar de cancelarse.

Glosario

Desviación estándar
Una medida de cuán dispersos están los números respecto a la media, calculada como la raíz cuadrada de la varianza
Varianza
El promedio de las diferencias al cuadrado respecto a la media; el cuadrado de la desviación estándar
Desviación
La diferencia entre un punto de datos y la media (xi−xˉx_i - \bar{x})
Media
El promedio de un conjunto de números; la suma dividida por la cantidad
Población
El grupo entero que se estudia; la desviación estándar poblacional divide por nn
Muestra
Un subconjunto de la población; la desviación estándar muestral divide por (n−1)(n-1)
Reto de hoyUn problema, tres intentos

Más sobre este tema

Rango y rango intercuartílico

Intermedio25 min

Calcular la desviación estándar

Avanzado25 min

Identificar valores atípicos

Intermedio25 min