Encontrar la amplitud a partir de una ecuación

Encuentra la amplitud de $y = 3\sin(x)$

Identifica el coeficiente A: Comparando $y = 3\sin(x)$ con $y = A\sin(Bx)$ = $A = 3$

Calcula la amplitud: Amplitud $= |A| = |3|$ = $\text{Amplitud} = 3$

Interpreta el resultado: La onda alcanza 3 unidades por encima y por debajo de la línea media = Máximo: 3, Mínimo: $-3$

Answer: La amplitud es 3. La onda oscila entre $y = 3$ e $y = -3$.

Encontrar el período a partir de una ecuación

Encuentra el período de $y = \sin(2x)$

Identifica el coeficiente B: Comparando $y = \sin(2x)$ con $y = A\sin(Bx)$ = $B = 2$

Aplica la fórmula del período: Período $= \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{|2|}$ = $\text{Período} = \frac{2\pi}{2}$

Simplifica: $\frac{2\pi}{2} = \pi$ = $\text{Período} = \pi$

Interpreta el resultado: En lugar de un ciclo cada $2\pi$, hay dos ciclos = La onda se repite el doble de rápido

Answer: El período es $\pi$. La onda completa un ciclo completo cada $\pi$ unidades.

Encontrar la amplitud y el período

Para $y = 4\cos(3x)$, encuentra la amplitud y el período.

Identifica los coeficientes: Comparando con $y = A\cos(Bx)$: $A = 4$, $B = 3$ = $A = 4$, $B = 3$

Calcula la amplitud: Amplitud $= |A| = |4|$ = $\text{Amplitud} = 4$

Calcula el período: Período $= \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{3}$ = $\text{Período} = \frac{2\pi}{3}$

Describe la transformación: Comparado con $y = \cos(x)$: estirada verticalmente por 4, comprimida horizontalmente por 3 = Onda más alta con más ciclos

Answer: Amplitud = 4, Período = $\frac{2\pi}{3}$

Escribir una ecuación a partir de una gráfica

Una onda sinusoidal tiene valor máximo 5, valor mínimo $-5$, y completa un ciclo desde $x = 0$ hasta $x = 4\pi$. Escribe la ecuación.

Encuentra la amplitud a partir de máx/mín: Amplitud $= \frac{\text{máx} - \text{mín}}{2} = \frac{5 - (-5)}{2} = \frac{10}{2}$ = $A = 5$

Identifica el período: Un ciclo desde $x = 0$ hasta $x = 4\pi$ = $\text{Período} = 4\pi$

Encuentra B a partir del período: $\frac{2\pi}{|B|} = 4\pi$, entonces $|B| = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$ = $B = \frac{1}{2}$

Escribe la ecuación: Sustituye $A = 5$ y $B = \frac{1}{2}$ = $y = 5\sin\left(\frac{x}{2}\right)$

Answer: $y = 5\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ o equivalentemente $y = 5\sin\left(\frac{1}{2}x\right)$

Mistake: Pensar que la amplitud puede ser negativa

Why: La amplitud siempre es positiva porque representa una distancia. Cuando ves $y = -3\sin(x)$, la amplitud sigue siendo 3.

Correct: Amplitud $= |A|$. Un $A$ negativo causa una reflexión, no una amplitud negativa.

Mistake: Confundir $B$ con el período

Why: Los estudiantes a menudo piensan que $B$ es el período. En realidad, $B$ afecta cuán comprimida está la onda.

Correct: Período $= \frac{2\pi}{|B|}$. Cuando $B$ aumenta, el período disminuye (relación inversa).

Mistake: Olvidar el $2\pi$ en la fórmula del período

Why: La onda seno/coseno estándar tiene período $2\pi$, no 1. Todos los cálculos de período se basan en esto.

Correct: Período $= \frac{2\pi}{|B|}$, no $\frac{1}{B}$. El $2\pi$ viene del período natural del seno y coseno.

Mistake: Calcular el período de $\sin(x/2)$ como $\frac{2\pi}{1/2} = \pi$

Why: La división por una fracción requiere invertir y multiplicar.

Correct: $\frac{2\pi}{1/2} = 2\pi \times 2 = 4\pi$. Cuando $B < 1$, el período es MÁS LARGO que $2\pi$.

Ingeniería de sonido

Los ingenieros de sonido ajustan la amplitud (volumen) y el período (tono) para mezclar música y diseñar altavoces.

Un bombo produce ondas con período largo (baja frecuencia ~60 Hz), mientras que un platillo tiene período corto (alta frecuencia ~10.000 Hz).

Electricidad y corriente

La corriente alterna (CA) sigue un patrón de onda sinusoidal. En España, el estándar es 230V a 50 Hz.

El voltaje puede modelarse como $V(t) = 325\sin(100\pi t)$. La amplitud es 325V (voltaje pico), y el período es $\frac{1}{50}$ segundo.

Q: ¿Qué pasa cuando la amplitud es 0?

A: Si $A = 0$, la función se convierte en $y = 0$ (una línea horizontal plana). No hay onda en absoluto.

Q: ¿Puede el período ser negativo?

A: No. El período es una distancia (longitud de un ciclo), por lo que siempre es positivo. Por eso usamos $|B|$ en la fórmula.

Q: ¿Cuál es el período de $y = \sin(x)$?

A: Como $B = 1$, el período es $\frac{2\pi}{1} = 2\pi$. Este es el período 'estándar' para seno y coseno.

Q: ¿Cómo encuentro la amplitud a partir de una gráfica?

A: Encuentra el valor máximo y el valor mínimo, luego: Amplitud $= \frac{\text{máx} - \text{mín}}{2}$