Leer la línea media, el máximo y el mínimo

Para $y = 3\sin(x) + 2$, halla la línea media, el máximo, el mínimo y el recorrido.

Identificar A y D: Compara con $y = A\sin(x) + D$ = $A = 3$, $D = 2$

Escribir la línea media: La línea media es $y = D$ = $y = 2$

Hallar el máximo y el mínimo: $D + |A| = 2 + 3$ y $D - |A| = 2 - 3$ = Máximo $5$, mínimo $-1$

Escribir el recorrido: Todos los valores de y desde el mínimo hasta el máximo = $[-1, 5]$

Answer: Línea media $y = 2$, máximo $5$, mínimo $-1$, recorrido $[-1, 5]$.

Una traslación hacia abajo

Describe la gráfica de $y = \cos(x) - 4$ comparada con $y = \cos(x)$.

Identificar D: $y = \cos(x) + (-4)$ = $D = -4$

Decidir el sentido: $D < 0$, así que la gráfica baja = $4$ unidades hacia abajo

Hallar la nueva línea media: El eje x $y = 0$ pasa a $y = -4$ = Línea media $y = -4$

Hallar el nuevo máximo y el nuevo mínimo: $-4 + 1 = -3$ y $-4 - 1 = -5$ = Máximo $-3$, mínimo $-5$

Answer: La onda del coseno baja 4 unidades. Conserva su forma y oscila entre $-5$ y $-3$ alrededor de la línea media $y = -4$.

Un A negativo con traslación

Para $y = -2\cos(x) + 1$, halla el máximo y el mínimo y dónde se alcanzan en $[0, 2\pi]$.

Identificar A y D: Compara con $y = A\cos(x) + D$ = $A = -2$, $D = 1$

Usar la amplitud, no A directamente: $|A| = |-2| = 2$ = Amplitud $2$

Hallar los valores máximo y mínimo: $1 + 2 = 3$ y $1 - 2 = -1$ = Máximo $3$, mínimo $-1$

Hallar dónde se alcanzan: En $x = 0$: $-2\cos(0) + 1 = -1$. En $x = \pi$: $-2\cos(\pi) + 1 = 3$ = Mínimo en $x = 0$ y $x = 2\pi$, máximo en $x = \pi$

Answer: Máximo $3$ en $x = \pi$, mínimo $-1$ en $x = 0$ y $x = 2\pi$. El $A$ negativo refleja la onda, pero la línea media $y = 1$ y el recorrido $[-1, 3]$ no cambian.

Hallar A y D a partir del máximo y el mínimo

Una onda seno empieza en su línea media, primero sube y oscila entre $9$ y $3$. Escribe su ecuación en la forma $y = A\sin(x) + D$.

Hallar la línea media: $D = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2}$ = $D = 6$

Hallar la amplitud: $|A| = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2}$ = $|A| = 3$

Elegir el signo de A: La onda empieza en la línea media y sube, como $\sin(x)$ = $A = 3$

Escribir la ecuación: Sustituye $A = 3$ y $D = 6$ = $y = 3\sin(x) + 6$

Answer: $y = 3\sin(x) + 6$. Comprobación: $6 + 3 = 9$ y $6 - 3 = 3$.

Modelar la marea de un puerto

El agua de un puerto tiene $11$ m de profundidad en marea alta y $3$ m en marea baja. Un ciclo completo dura $12$ horas, y en $t = 0$ el agua está a su profundidad media y subiendo. Escribe un modelo $d(t) = A\sin(Bt) + D$ y halla la profundidad en $t = 3$ horas.

Hallar la línea media (profundidad media): $D = \frac{11 + 3}{2}$ = $D = 7$

Hallar la amplitud: $A = \frac{11 - 3}{2}$ (sube al principio, así que es positivo) = $A = 4$

Hallar B a partir del período: $B = \frac{2\pi}{12}$ = $B = \frac{\pi}{6}$

Escribir el modelo: Sustituye $A$, $B$ y $D$ = $d(t) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 7$

Evaluar en t = 3: $4\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 7 = 4 \cdot 1 + 7$ = $d(3) = 11$

Answer: $d(t) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 7$. A las 3 horas el agua tiene $11$ m de profundidad: es marea alta.

Mistake: Escribir que el máximo de $y = -3\sin(x) + 1$ es $1 + (-3) = -2$

Why: La onda llega una amplitud por encima y por debajo de la línea media, y la amplitud siempre es positiva. El signo de $A$ solo refleja la onda.

Correct: Máximo $= D + |A| = 1 + 3 = 4$, mínimo $= D - |A| = 1 - 3 = -2$.

Mistake: Leer $y = \sin(x) - 2$ como una traslación de 2 hacia arriba

Why: En $y = A\sin(x) + D$ la traslación es $D$ con su signo. Aquí $D = -2$.

Correct: $y = \sin(x) - 2$ desplaza la onda 2 unidades **hacia abajo**, la línea media es $y = -2$.

Mistake: Confundir el máximo con la amplitud: en $y = 2\sin(x) + 5$ la amplitud sería 7

Why: La amplitud se mide desde la línea media, no desde el eje x. La traslación sube la onda, pero no la hace más alta.

Correct: La amplitud es $|A| = 2$. El máximo es $5 + 2 = 7$.

Mistake: Olvidar dividir entre 2: amplitud $= \text{max} - \text{min}$

Why: $\text{max} - \text{min}$ es la altura completa del punto más bajo al más alto, es decir, dos amplitudes.

Correct: $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ y $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$. Para máximo 9 y mínimo 3: $|A| = 3$, $D = 6$.

Norias

La altura de una cabina de noria sube y baja como una onda coseno. La línea media es la altura del centro de la noria.

Una noria de 40 m de diámetro cuya cabina más baja está a 2 m del suelo se modela con $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right) + 22$ (t en minutos): amplitud 20, línea media 22, recorrido $[2, 42]$.

Mareas

Los capitanes de puerto y los navegantes modelan el nivel del agua con una onda seno o coseno cuya línea media es el nivel medio del mar.

Si la marea alta es de 5{,}2 m y la marea baja de 0{,}8 m, el nivel medio es $\frac{5{,}2 + 0{,}8}{2} = 3$ m, así que el modelo tiene $D = 3$.

La temperatura a lo largo del día

Los meteorólogos modelan la temperatura durante 24 horas con una onda coseno alrededor de la temperatura media del día.

El modelo $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$, con t en horas desde las 3:00, es mínimo a las 3:00 y máximo 12 horas después.

Q: ¿La traslación vertical cambia el período o la amplitud?

A: No. $D$ mueve cada punto de la gráfica la misma cantidad hacia arriba o hacia abajo, así que la onda conserva su altura y su anchura. Solo cambian la línea media, el máximo, el mínimo y el recorrido.

Q: ¿La traslación vertical es lo mismo que la línea media?

A: Salen del mismo número. La traslación es el movimiento (por ejemplo, 3 unidades hacia arriba) y la línea media es la recta donde queda el centro de la onda ($y = 3$).

Q: ¿Por qué $\sin(x) + 2$ sube, pero $\sin(x + 2)$ no?

A: Un número sumado fuera de la función cambia la salida, así que la gráfica se mueve en vertical. Un número sumado dentro, a $x$, cambia la entrada, así que la gráfica se mueve hacia un lado. Ese movimiento lateral es el desfase, que se trata en la lección Desfase.

Q: ¿Puede una onda seno trasladada quedar entera por encima del eje x?

A: Sí, cuando $D > |A|$. Entonces el mínimo $D - |A|$ es positivo. Por ejemplo, $y = 2\sin(x) + 5$ nunca baja de $3$. Las alturas de una noria y las profundidades de la marea se comportan así.