¿La traslación vertical es lo mismo que la línea media?

Salen del mismo número. La traslación es el movimiento (por ejemplo, 3 unidades hacia arriba) y la línea media es la recta donde queda el centro de la onda ($y = 3$).

¿Por qué $\sin(x) + 2$ sube, pero $\sin(x + 2)$ no?

Un número sumado fuera de la función cambia la salida, así que la gráfica se mueve en vertical. Un número sumado dentro, a $x$, cambia la entrada, así que la gráfica se mueve hacia un lado. Ese movimiento lateral es el desfase, que se trata en la lección Desfase.

¿Puede una onda seno trasladada quedar entera por encima del eje x?

Sí, cuando $D > |A|$. Entonces el mínimo $D - |A|$ es positivo. Por ejemplo, $y = 2\sin(x) + 5$ nunca baja de $3$. Las alturas de una noria y las profundidades de la marea se comportan así.

Recursos para profesores

Traslación vertical

Q: ¿La traslación vertical cambia el período o la amplitud?

No. $D$ mueve cada punto de la gráfica la misma cantidad hacia arriba o hacia abajo, así que la onda conserva su altura y su anchura. Solo cambian la línea media, el máximo, el mínimo y el recorrido.

Aprende cómo la constante D en y = A sen(x) + D desplaza una onda seno o coseno hacia arriba o hacia abajo, fija su línea media y determina su máximo, su mínimo y su recorrido.

Avanzado25 minLección

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Ficha imprimible

Definición

Si sumas una constante

D

a una función seno o coseno, toda la onda se desplaza hacia arriba o hacia abajo. Esto se llama traslación vertical:

y = A\sin(x) + D \qquad y = A\cos(x) + D

Si $D > 0$ , la gráfica se desplaza $D$ unidades hacia arriba.
Si $D < 0$ , la gráfica se desplaza $|D|$ unidades hacia abajo.
La forma, la amplitud y el período no cambian.

La línea media

La línea media es la recta horizontal alrededor de la cual oscila la onda. Para

y = \sin(x)

es el eje x (

y = 0

). Después de la traslación es

\text{línea media: } y = D

Máximo, mínimo y recorrido

La onda llega

|A|

unidades por encima y por debajo de la línea media:

Elemento	Fórmula
Línea media	$y = D$
Valor máximo	$D +	A
Valor mínimo	$D -	A
Recorrido (imagen o rango)	$[D -	A	,\ D +	A	]$

Al revés: A y D a partir de datos

Si conoces el valor más alto y el más bajo, la línea media está justo en el punto medio y la amplitud es la mitad de la diferencia:

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} \qquad |A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

En la forma general

y = A\sin(B(x - C)) + D

, la traslación vertical es siempre la última letra,

D

. En esta lección

B = 1

C = 0

, salvo que una situación real necesite otro período.

Pruébalo ahora

¿Cuál es la línea media de

y = 4\sin(x) - 3

Ejemplos resueltos

Para

y = 3\sin(x) + 2

, halla la línea media, el máximo, el mínimo y el recorrido.

Identificar A y D

Compara con

y = A\sin(x) + D

→

A = 3

D = 2

Escribir la línea media

La línea media es

y = D

→

y = 2

Hallar el máximo y el mínimo

D + |A| = 2 + 3

D - |A| = 2 - 3

→ Máximo

5

, mínimo

-1

Escribir el recorrido

Todos los valores de y desde el mínimo hasta el máximo →

[-1, 5]

Respuesta: Línea media $y = 2$ , máximo $5$ , mínimo $-1$ , recorrido $[-1, 5]$ .

Errores comunes

Escribir que el máximo de $y = -3\sin(x) + 1$ es $1 + (-3) = -2$

Por qué está mal: La onda llega una amplitud por encima y por debajo de la línea media, y la amplitud siempre es positiva. El signo de $A$ solo refleja la onda.

Correcto: Máximo $= D + |A| = 1 + 3 = 4$ , mínimo $= D - |A| = 1 - 3 = -2$ .

Leer $y = \sin(x) - 2$ como una traslación de 2 hacia arriba

Por qué está mal: En $y = A\sin(x) + D$ la traslación es $D$ con su signo. Aquí $D = -2$ .

Correcto: $y = \sin(x) - 2$ desplaza la onda 2 unidades hacia abajo, la línea media es $y = -2$ .

Confundir el máximo con la amplitud: en $y = 2\sin(x) + 5$ la amplitud sería 7

Por qué está mal: La amplitud se mide desde la línea media, no desde el eje x. La traslación sube la onda, pero no la hace más alta.

Correcto: La amplitud es $|A| = 2$ . El máximo es $5 + 2 = 7$ .

Olvidar dividir entre 2: amplitud $= \text{max} - \text{min}$

Por qué está mal: $\text{max} - \text{min}$ es la altura completa del punto más bajo al más alto, es decir, dos amplitudes.

Correcto: $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ y $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ . Para máximo 9 y mínimo 3: $|A| = 3$ , $D = 6$ .

Visual interactivo

Gráfica de la función

A = 1D = 0

y = sin(x)

Reto 1 de 5

Trasladar 2 hacia arriba

Mueve los deslizadores hasta que tu curva quede exactamente sobre la curva objetivo discontinua.

Cercanía

0 de 5 resueltos

A: correcto
D: más grande

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

y = A·sin(x) + DTrasladar 2 hacia arriba

Gráfica de la función

A = 2D = 1

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Línea media y = 1
Máximo = 3
Mínimo = -1

y = A·cos(x) + DLínea media y = D

Mínimo: (-3,14; -1)
Máximo: (0; 3)
Mínimo: (3,14; -1)

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

sin(x) + 2

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Cuál es la línea media de

y = 4\sin(x) - 3

Por qué es importante

La mayoría de las ondas reales no oscilan alrededor de cero. Oscilan alrededor de un nivel típico, y ese nivel es la traslación vertical:

Mareas: el agua de un puerto sube y baja alrededor de una profundidad media, por ejemplo entre 1 m y 5 m alrededor de una línea media de 3 m.
Norias: una cabina sube y baja alrededor de la altura del centro de la noria, sin bajar nunca de la plataforma de subida.
Temperatura del día: la temperatura oscila alrededor de la media del día, por ejemplo entre 12°C y 24°C alrededor de 18°C.
Presión arterial y latidos: la presión pulsa entre unos 80 y 120 alrededor de una línea media de 100.
Horas de luz: la duración del día varía a lo largo del año alrededor de unas 12 horas.

Con la fórmula

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

conviertes dos mediciones en un modelo útil, y con el recorrido compruebas de un vistazo si el modelo tiene sentido.

Aplicaciones del mundo real

Norias

La altura de una cabina de noria sube y baja como una onda coseno. La línea media es la altura del centro de la noria.

Ejemplo:

Una noria de 40 m de diámetro cuya cabina más baja está a 2 m del suelo se modela con $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right) + 22$ (t en minutos): amplitud 20, línea media 22, recorrido $[2, 42]$ .

1Inténtalo tú mismo

Una noria tiene un diámetro de 40 m. Su punto más bajo está a 2 m sobre el suelo.

¿A qué altura está la línea media de la función altura (el centro de la noria), en metros?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula la media entre la altura máxima y la mínima:

Mareas

Los capitanes de puerto y los navegantes modelan el nivel del agua con una onda seno o coseno cuya línea media es el nivel medio del mar.

Ejemplo:

Si la marea alta es de 5{,}2 m y la marea baja de 0{,}8 m, el nivel medio es $\frac{5{,}2 + 0{,}8}{2} = 3$ m, así que el modelo tiene $D = 3$ .

2Inténtalo tú mismo

En un puerto, la marea alta es de 5{,}2 m y la marea baja de 0{,}8 m.

¿Cuál es la amplitud del modelo de marea, en metros?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Toma la mitad de la diferencia entre marea alta y marea baja:

La temperatura a lo largo del día

Los meteorólogos modelan la temperatura durante 24 horas con una onda coseno alrededor de la temperatura media del día.

Ejemplo:

El modelo $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$ , con t en horas desde las 3:00, es mínimo a las 3:00 y máximo 12 horas después.

3Inténtalo tú mismo

La temperatura de una ciudad se modela con $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$ en °C.

¿Cuál es la temperatura más alta del día, en °C?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Suma la amplitud a la línea media:

Puntos clave

1En $y = A\sin(x) + D$ y $y = A\cos(x) + D$ , la constante $D$ sube la onda ( $D > 0$ ) o la baja ( $D < 0$ )
2La línea media es la recta horizontal $y = D$ , justo a mitad de camino entre el máximo y el mínimo
3Máximo $= D + |A|$ y mínimo $= D - |A|$ , siempre con el valor absoluto de $A$
4El recorrido es $[D - |A|,\ D + |A|]$
5A partir de datos: $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ y $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
6Una traslación vertical no cambia ni la amplitud ni el período, solo la posición de toda la onda

Preguntas frecuentes

No.

D

mueve cada punto de la gráfica la misma cantidad hacia arriba o hacia abajo, así que la onda conserva su altura y su anchura. Solo cambian la línea media, el máximo, el mínimo y el recorrido.

Glosario

Traslación vertical: Mover toda la gráfica hacia arriba o hacia abajo sumando una constante $D$ a la función
Línea media: La recta horizontal $y = D$ a mitad de camino entre los valores máximo y mínimo de una onda
Valor máximo: El valor de y más alto de la onda, $D + |A|$
Valor mínimo: El valor de y más bajo de la onda, $D - |A|$
Recorrido: Todos los valores de y que toma la función: $[D - |A|,\ D + |A|]$ para un seno o coseno trasladado (también llamado imagen o rango)
Modelo sinusoidal: Una función seno o coseno que describe una situación real que se repite, como las mareas o la temperatura

Tarjeta de fórmulas

Seno y coseno trasladados

y = A\sin(x) + D

y = A\cos(x) + D

D sube la onda (D > 0) o la baja (D < 0)

Línea media

y = D

La recta alrededor de la cual oscila la onda

Máximo y mínimo

D + |A|

D - |A|

Valores más alto y más bajo de la onda

Recorrido

[D - |A|,\ D + |A|]

Todos los valores de salida

A partir de datos

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

Línea media y amplitud a partir del valor más alto y el más bajo

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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Definición

La línea media

Máximo, mínimo y recorrido

Al revés: A y D a partir de datos

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Errores comunes

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Gráfica de la función

Gráfica de la función

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Graficador interactivo

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Norias

Mareas

La temperatura a lo largo del día

Puntos clave

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Seno y coseno trasladados

Línea media

Máximo y mínimo

Recorrido

A partir de datos

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