Una onda que empieza en un máximo

Una gráfica tiene un máximo de $5$ en $x = 0$, un mínimo de $1$ y un período de $2\pi$. Escribe su ecuación.

Halla la línea media D: $D = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2}$ = $D = 3$

Halla la amplitud A: $A = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2}$ = $A = 2$

Halla B a partir del período: $B = \frac{2\pi}{2\pi}$ = $B = 1$

Elige la forma y C: La onda empieza en un máximo en $x = 0$, así que usa coseno con $C = 0$ = $C = 0$

Answer: $y = 2\cos(x) + 3$

Una ecuación con coseno a partir de una descripción

Una onda tiene un máximo de $4$ en $x = \frac{\pi}{4}$, un mínimo de $-2$ y un período de $\pi$. Escribe una ecuación con coseno.

Halla la línea media D: $D = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2}$ = $D = 1$

Halla la amplitud A: $A = \frac{4 - (-2)}{2} = \frac{6}{2}$ = $A = 3$

Halla B: $B = \frac{2\pi}{\pi}$ = $B = 2$

Halla C a partir del máximo: El coseno empieza en un máximo, y el máximo está en $x = \frac{\pi}{4}$ = $C = \frac{\pi}{4}$

Comprueba un punto: En $x = \frac{\pi}{4}$: $3\cos(0) + 1 = 3 + 1$ = $4$, el máximo

Answer: $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$

La misma onda con seno

Escribe la onda del ejemplo anterior (máx $4$ en $x = \frac{\pi}{4}$, mín $-2$, período $\pi$) como una ecuación con seno.

Mantén A, B y D: No dependen de la forma = $A = 3$, $B = 2$, $D = 1$

Halla un cuarto de período: Un cuarto del período: $\frac{1}{4} \cdot \pi$ = $\frac{\pi}{4}$

Halla dónde la onda corta la línea media subiendo: El seno llega a su máximo un cuarto de período después de empezar: $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$ = $C = 0$

Comprueba un punto: En $x = \frac{\pi}{4}$: $3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 3 + 1$ = $4$, el máximo

Answer: $y = 3\sin(2x) + 1$ dibuja exactamente la misma onda que $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$

Altura en una noria

Una noria tiene un diámetro de $40$ m y su centro está a $22$ m del suelo. Da una vuelta cada $8$ minutos. Subes abajo del todo en $t = 0$. Escribe tu altura $h$ (en m) después de $t$ minutos.

Halla la altura máxima y mínima: Radio $= 20$ m: abajo $22 - 20$, arriba $22 + 20$ = mín $= 2$ m, máx $= 42$ m

Halla D y la amplitud: $D = \frac{42 + 2}{2}$, amplitud $= \frac{42 - 2}{2}$ = $D = 22$, amplitud $= 20$

Halla B: $B = \frac{2\pi}{8}$ = $B = \frac{\pi}{4}$

Elige la forma: En $t = 0$ estás en el mínimo. Un coseno con $A$ negativo empieza en un mínimo = $A = -20$, $C = 0$

Comprueba: $t = 0$: $-20\cos(0) + 22 = 2$; $t = 4$: $-20\cos(\pi) + 22 = 42$ = Abajo al empezar, arriba tras media vuelta

Answer: $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right) + 22$, o la misma onda como $h(t) = 20\cos\left(\frac{\pi}{4}(t - 4)\right) + 22$

Modelo de mareas

En un puerto el agua tiene $7$ m de profundidad en la pleamar de las 2:00 y $3$ m en la bajamar siguiente, a las 8:00. Escribe un modelo para la profundidad $y$ después de $x$ horas (desde medianoche) y halla la profundidad a las 6:00.

Halla el período: De pleamar a bajamar hay medio ciclo: $8 - 2 = 6$ horas, así que el período es $2 \cdot 6$ = período $= 12$ horas

Halla A y D: $A = \frac{7 - 3}{2}$, $D = \frac{7 + 3}{2}$ = $A = 2$, $D = 5$

Halla B: $B = \frac{2\pi}{12}$ = $B = \frac{\pi}{6}$

Halla C: Usa coseno: el máximo está en $x = 2$ = $C = 2$

Halla la profundidad a las 6:00: $y = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}(6 - 2)\right) + 5 = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + 5 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 5$ = $y = 4$ m

Answer: $y = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}(x - 2)\right) + 5$; a las 6:00 el agua tiene $4$ m de profundidad

Mistake: Usar el máximo como amplitud (máx $7$, mín $3$, así que $A = 7$)

Why: La amplitud se mide desde la línea media, no desde el eje x. La onda solo sube $2$ unidades por encima de su línea media $y = 5$.

Correct: $A = \frac{\text{máx} - \text{mín}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$, y el $5$ va en $D$.

Mistake: Escribir el período como B (período $12$, así que $B = 12$)

Why: B no es el período. Un B mayor hace que la onda se repita más rápido, así que el período es más corto.

Correct: $B = \frac{2\pi}{\text{período}} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

Mistake: Equivocarse con el signo de C: un máximo en $x = 2$ escrito como $\cos(B(x + 2))$

Why: Dentro del paréntesis el desplazamiento tiene el signo contrario. $(x + 2)$ mueve la onda hacia la izquierda.

Correct: Un máximo en $x = 2$ significa $\cos(B(x - 2))$. Comprobación: en $x = 2$ el paréntesis vale $0$ y $\cos(0) = 1$.

Mistake: Usar seno y poner C en el máximo

Why: El seno no empieza en un máximo. En $x = C$ la onda de seno está en la línea media, subiendo.

Correct: Con seno toma el corte con la línea media subiendo, un cuarto de período antes del máximo. O usa coseno y toma el máximo.

Horas de luz

Los astrónomos y los ingenieros solares modelan la duración del día con una onda de coseno que se repite cada año.

En una ciudad del norte el día más largo (día $172$, hacia el 21 de junio) tiene $16$ horas de luz y el más corto $8$. Un modelo es $y = 4\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$.

Norias

Los diseñadores de atracciones usan la ecuación de la altura para comprobar lo rápido que suben los pasajeros y cuánto tiempo pasan arriba.

Una noria de $50$ m de diámetro con el centro a $30$ m de altura da una vuelta cada $12$ minutos. Subiendo abajo del todo, $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$.

Un peso colgado de un muelle

Los ingenieros modelan las vibraciones (suspensiones de coches, puentes, sensores) con las mismas ecuaciones que un peso que oscila colgado de un muelle.

Un peso oscila entre $4$ cm y $16$ cm por encima de una mesa y tarda $2$ segundos en una oscilación completa.

Q: ¿Uso seno o coseno?

A: Los dos son correctos. Usa el que haga $C$ más fácil: coseno si puedes leer bien un máximo, seno si ves dónde la onda corta la línea media subiendo.

Q: Mi respuesta es distinta de la del libro. ¿Está mal?

A: No necesariamente. Comprueba un máximo y un mínimo en las dos ecuaciones. Si dan los mismos valores en la misma $x$, dibujan la misma onda. Por ejemplo, $y = 3\sin(2x) + 1$ e $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$ son la misma gráfica.

Q: ¿Cómo hallo el período si solo veo parte de la onda?

A: Mide la distancia horizontal entre dos máximos vecinos (un período completo), o entre un máximo y el mínimo siguiente (medio período) y duplícala.

Q: ¿Y si el problema usa horas o días en lugar de radianes?

A: El método no cambia: $B = \frac{2\pi}{\text{período}}$, con el período en la misma unidad que $x$. Una marea de período $12$ horas tiene $B = \frac{\pi}{6}$, un patrón anual tiene $B = \frac{2\pi}{365}$.