Escribir ecuaciones trigonométricas a partir de gráficas

Lee el máximo, el mínimo, el período y un punto de partida en una onda y conviértelos en y = A sin(B(x - C)) + D o en una ecuación con coseno.

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Definición

En las lecciones anteriores ibas de la ecuación a la gráfica. Ahora vamos al revés: miras una onda (o lees su descripción) y escribes su ecuación.
Toda onda de seno o coseno se puede escribir de una de estas formas:
y=Asin⁡(B(x−C))+Dy=Acos⁡(B(x−C))+Dy = A\sin(B(x - C)) + D \qquad y = A\cos(B(x - C)) + D
Solo necesitas cuatro lecturas de la gráfica: el máximo, el mínimo, el período y un punto de partida.
LetraQué significaCómo encontrarla
DDlínea media (traslación vertical)D=maˊx+mıˊn2D = \frac{\text{máx} + \text{mín}}{2}
AAamplitudA=maˊx−mıˊn2A = \frac{\text{máx} - \text{mín}}{2}
BBlo rápido que se repite la ondaB=2πperıˊodoB = \frac{2\pi}{\text{período}}
CCdesfase (traslación horizontal)dónde empieza un ciclo
**Cómo elegir CC:**
  • El coseno empieza en un máximo: CC = la xx de un máximo.
  • El seno empieza en la línea media, subiendo: CC = la xx donde la gráfica corta la línea media mientras sube.
Una misma gráfica tiene muchas ecuaciones correctas. Puedes empezar en cualquier máximo (sumar o restar un período entero a CC), cambiar entre seno y coseno (mover CC un cuarto de período) o usar un AA negativo (entonces el coseno empieza en un mínimo). Todas dibujan la misma onda.

Pruébalo ahora

Una sinusoide tiene un máximo de 88 y un mínimo de 22. ¿Cuál es su línea media?

Ejemplos resueltos

Una gráfica tiene un máximo de 55 en x=0x = 0, un mínimo de 11 y un período de 2π2\pi. Escribe su ecuación.
1

Halla la línea media D

D=5+12=62D = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} → D=3D = 3
2

Halla la amplitud A

A=5−12=42A = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} → A=2A = 2
3

Halla B a partir del período

B=2π2πB = \frac{2\pi}{2\pi} → B=1B = 1
4

Elige la forma y C

La onda empieza en un máximo en x=0x = 0, así que usa coseno con C=0C = 0

Errores comunes

Usar el máximo como amplitud (máx 77, mín 33, así que A=7A = 7)

Por qué está mal: La amplitud se mide desde la línea media, no desde el eje x. La onda solo sube 22 unidades por encima de su línea media y=5y = 5.

Correcto: A=maˊx−mıˊn2=7−32=2A = \frac{\text{máx} - \text{mín}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2, y el 55 va en DD.

Escribir el período como B (período 1212, así que B=12B = 12)

Por qué está mal: B no es el período. Un B mayor hace que la onda se repita más rápido, así que el período es más corto.

Correcto: B=2πperıˊodo=2π12=π6B = \frac{2\pi}{\text{período}} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}.

Equivocarse con el signo de C: un máximo en x=2x = 2 escrito como cos⁡(B(x+2))\cos(B(x + 2))

Por qué está mal: Dentro del paréntesis el desplazamiento tiene el signo contrario. (x+2)(x + 2) mueve la onda hacia la izquierda.

Correcto: Un máximo en x=2x = 2 significa cos⁡(B(x−2))\cos(B(x - 2)). Comprobación: en x=2x = 2 el paréntesis vale 00 y cos⁡(0)=1\cos(0) = 1.

Usar seno y poner C en el máximo

Por qué está mal: El seno no empieza en un máximo. En x=Cx = C la onda de seno está en la línea media, subiendo.

Correcto: Con seno toma el corte con la línea media subiendo, un cuarto de período antes del máximo. O usa coseno y toma el máximo.

Visual interactivo

Gráfica de la función

y = sin(x)

Reto 1 de 5

Mueve los deslizadores hasta que tu curva quede exactamente sobre la curva objetivo discontinua.

Cercanía

0 de 5 resueltos

-2π-π0π2π-4-2024xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

y = A·sin(B(x − C)) + DCurva objetivo

Gráfica de la función

y = cos(x)

Reto 1 de 3

Mueve los deslizadores hasta que tu curva quede exactamente sobre la curva objetivo discontinua.

Cercanía

0 de 3 resueltos

  • A: más pequeño
  • B: correcto
  • C: correcto
  • D: más grande
-2π-π0π2π-4-2024xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

y = A·cos(B(x − C)) + DCurva objetivo

Gráfica de la función

0510152002468horasmmáx(2; 7)mín(8; 3)(11; 5)máx(14; 7)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

nivel del agualínea media y = 5

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-3π-2π-π0π2π3π-4-2024xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

2cos(x) + 3

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Prueba estos:

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Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil
Una sinusoide tiene un máximo de 88 y un mínimo de 22. ¿Cuál es su línea media?

Por qué es importante

Todo lo que se repite en un ciclo suave se puede describir con una ecuación de seno o coseno, y en la vida real casi nunca te dan primero la ecuación. Te dan datos: un valor más alto, un valor más bajo y cuánto dura un ciclo.
  • Norias: tu altura sobre el suelo sube y baja en cada vuelta
  • Mareas: el nivel del mar va de pleamar a bajamar aproximadamente cada 12 horas
  • Horas de luz: las horas de luz del día son máximas en verano y se repiten cada 365 días
  • Muelles y péndulos: un peso sube y baja en un tiempo fijo
  • Temperatura: la temperatura media diaria sigue una onda anual
Cuando sabes escribir la ecuación, puedes predecir: la altura después de 2 minutos, el nivel del agua a las 6:00, las horas de luz el día de tu cumpleaños.

Aplicaciones del mundo real

Horas de luz

Los astrónomos y los ingenieros solares modelan la duración del día con una onda de coseno que se repite cada año.

Ejemplo:

En una ciudad del norte el día más largo (día 172172, hacia el 21 de junio) tiene 1616 horas de luz y el más corto 88. Un modelo es y=4cos⁡(2π365(d−172))+12y = 4\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12.

1Inténtalo tú mismo

Otra ciudad tiene 1515 horas de luz en su día más largo y 99 horas en el más corto. El patrón se repite cada 365365 días.

¿Qué valor de B va en el modelo y=Acos⁡(B(d−C))+Dy = A\cos(B(d - C)) + D?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa B=2πperıˊodoB = \frac{2\pi}{\text{período}}:

Norias

Los diseñadores de atracciones usan la ecuación de la altura para comprobar lo rápido que suben los pasajeros y cuánto tiempo pasan arriba.

Ejemplo:

Una noria de 5050 m de diámetro con el centro a 3030 m de altura da una vuelta cada 1212 minutos. Subiendo abajo del todo, h(t)=−25cos⁡(π6t)+30h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30.

2Inténtalo tú mismo

Subes a la noria anterior (5050 m de diámetro, centro a 3030 m, una vuelta cada 1212 minutos) abajo del todo en t=0t = 0.

¿A qué altura estás después de 22 minutos (en m)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sustituye t=2t = 2 en h(t)=−25cos⁡(π6t)+30h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30:

Un peso colgado de un muelle

Los ingenieros modelan las vibraciones (suspensiones de coches, puentes, sensores) con las mismas ecuaciones que un peso que oscila colgado de un muelle.

Ejemplo:

Un peso oscila entre 44 cm y 1616 cm por encima de una mesa y tarda 22 segundos en una oscilación completa.

3Inténtalo tú mismo

El peso anterior se suelta en su punto más alto (1616 cm) en t=0t = 0. Una oscilación completa dura 22 segundos y el punto más bajo está a 44 cm.

¿A qué altura está el peso después de 13\frac{1}{3} de segundo (en cm)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa y=6cos⁡(πt)+10y = 6\cos(\pi t) + 10 con t=13t = \frac{1}{3}:

Puntos clave

  • 1Línea media: D=maˊx+mıˊn2D = \frac{\text{máx} + \text{mín}}{2}; amplitud: A=maˊx−mıˊn2A = \frac{\text{máx} - \text{mín}}{2}
  • 2A partir del período: B=2πperıˊodoB = \frac{2\pi}{\text{período}} (de un máximo al mínimo siguiente hay medio período)
  • 3Coseno: CC es la xx de un máximo; seno: CC es donde la onda corta la línea media subiendo
  • 4Una onda que empieza en un mínimo es un coseno con AA negativo
  • 5Una gráfica tiene muchas ecuaciones correctas: sumar períodos enteros a CC, mover un cuarto de período para cambiar entre seno y coseno, o cambiar el signo de AA y mover medio período
  • 6Comprueba siempre un punto (un máximo o un mínimo) en tu ecuación final

Preguntas frecuentes

Los dos son correctos. Usa el que haga CC más fácil: coseno si puedes leer bien un máximo, seno si ves dónde la onda corta la línea media subiendo.
Los dos son correctos. Usa el que haga CC más fácil: coseno si puedes leer bien un máximo, seno si ves dónde la onda corta la línea media subiendo.
No necesariamente. Comprueba un máximo y un mínimo en las dos ecuaciones. Si dan los mismos valores en la misma xx, dibujan la misma onda. Por ejemplo, y=3sin⁡(2x)+1y = 3\sin(2x) + 1 e y=3cos⁡(2(x−π4))+1y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1 son la misma gráfica.
Mide la distancia horizontal entre dos máximos vecinos (un período completo), o entre un máximo y el mínimo siguiente (medio período) y duplícala.
El método no cambia: B=2πperıˊodoB = \frac{2\pi}{\text{período}}, con el período en la misma unidad que xx. Una marea de período 1212 horas tiene B=π6B = \frac{\pi}{6}, un patrón anual tiene B=2π365B = \frac{2\pi}{365}.

Glosario

Línea media
La recta horizontal y=Dy = D a medio camino entre el máximo y el mínimo de la onda
Amplitud
La distancia de la línea media a un máximo: maˊx−mıˊn2\frac{\text{máx} - \text{mín}}{2}
Período
La longitud horizontal de un ciclo completo; B=2πperıˊodoB = \frac{2\pi}{\text{período}}
Desfase
La traslación horizontal CC: dónde empieza un ciclo de la onda básica de seno o coseno
Modelo sinusoidal
Una ecuación y=Asin⁡(B(x−C))+Dy = A\sin(B(x - C)) + D o y=Acos⁡(B(x−C))+Dy = A\cos(B(x - C)) + D que describe una magnitud real que se repite

Tarjeta de fórmulas

Formas generales

y=Asin⁡(B(x−C))+Dy = A\sin(B(x - C)) + D, y=Acos⁡(B(x−C))+Dy = A\cos(B(x - C)) + D

Toda onda de seno o coseno encaja en una de estas formas

Línea media

D=maˊx+mıˊn2D = \frac{\text{máx} + \text{mín}}{2}

La media del valor más alto y el más bajo

Amplitud

A=maˊx−mıˊn2A = \frac{\text{máx} - \text{mín}}{2}

La mitad de la altura total de la onda

B a partir del período

B=2πperıˊodoB = \frac{2\pi}{\text{período}}

El período es la distancia entre dos máximos

Punto de partida C

cos⁡\cos: C=xmaˊxC = x_{\text{máx}}; sin⁡\sin: C=xlıˊnea media, subeC = x_{\text{línea media, sube}}

El coseno empieza en un máximo, el seno en la línea media subiendo

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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