Pasar a seno y coseno

Demuestra que $\tan x \cos x = \sin x$.

Elige el lado en el que trabajar: El lado izquierdo tiene dos funciones y el derecho solo una. Empieza por la izquierda. = $\tan x \cos x$

Usa la identidad del cociente: Sustituye $\tan x$ por $\frac{\sin x}{\cos x}$ = $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x$

Simplifica el factor común: $\cos x$ en el numerador y en el denominador se simplifican (cuando $\cos x \neq 0$) = $\sin x$

Compara con el lado derecho: El lado izquierdo es ahora exactamente igual que el lado derecho = $\sin x = \sin x$ ✓

Answer: $\tan x \cos x = \sin x$ es una identidad para todo $x$ con $\cos x \neq 0$.

Reunir fracciones y luego usar Pitágoras

Demuestra que $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$.

Pasar a seno y coseno: $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ = $\frac{1}{\cos x} - \cos x$

Usar un denominador común: $\cos x = \frac{\cos^2 x}{\cos x}$ = $\frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}$

Aplicar la identidad pitagórica: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ = $\frac{\sin^2 x}{\cos x}$

Separar un factor: $\frac{\sin^2 x}{\cos x} = \sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$ = $\sin x \tan x$ ✓

Answer: $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$ es una identidad (para $\cos x \neq 0$). Comprobación en $x = 60°$: $2 - 0{,}5 = 1{,}5$ y $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = 1{,}5$.

Multiplicar por el conjugado

Demuestra que $\dfrac{\sin x}{1 - \cos x} = \dfrac{1 + \cos x}{\sin x}$.

Elegir el truco: El denominador $1 - \cos x$ tiene como conjugado $1 + \cos x$. Multiplica el lado izquierdo por $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$, que vale 1. = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$

Desarrollar el denominador: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{1 - \cos^2 x}$

Aplicar la identidad pitagórica: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{\sin^2 x}$

Simplificar un $\sin x$: $\frac{\sin x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin x}$ = $\frac{1 + \cos x}{\sin x}$ ✓

Answer: Las dos fracciones son iguales para todo $x$ con $\sin x \neq 0$. El conjugado convirtió $1 - \cos x$ en $\sin^2 x$.

Empezar por el lado derecho

Demuestra que $\dfrac{\cos x}{1 - \sin x} = \sec x + \tan x$.

Elegir el lado: El lado derecho tiene dos funciones distintas que se pueden reunir, así que empieza por ahí. = $\sec x + \tan x$

Convertir y reunir: $\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}$ = $\frac{1 + \sin x}{\cos x}$

Multiplicar por el conjugado de $1 + \sin x$: $\frac{1 + \sin x}{\cos x} \cdot \frac{1 - \sin x}{1 - \sin x} = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x\,(1 - \sin x)}$ = $\frac{\cos^2 x}{\cos x\,(1 - \sin x)}$

Simplificar un $\cos x$: $\frac{\cos^2 x}{\cos x} = \cos x$ = $\frac{\cos x}{1 - \sin x}$ ✓

Answer: Partiendo del lado derecho hemos llegado al lado izquierdo, así que la identidad está demostrada (cuando $\cos x \neq 0$ y $\sin x \neq 1$).

Refutar con un solo ángulo

¿Es $\sin x + \cos x = 1$ una identidad?

Probar ángulos sencillos: $x = 0°$: $0 + 1 = 1$. $x = 90°$: $1 + 0 = 1$. = Se cumple para estos dos ángulos

Probar un ángulo intermedio: $x = 45°$: $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}414$ = $1{,}414 \neq 1$

Sacar la conclusión: Basta un contraejemplo: los dos lados son distintos en $45°$. = No es una identidad

Verlo en una gráfica: $y = \sin x + \cos x$ es una onda e $y = 1$ es una recta: solo se cortan en algunos puntos. = Las gráficas no se superponen

Answer: $\sin x + \cos x = 1$ es una ecuación (cierta en $0°$, $90°$, $360°$, ...), no una identidad. El contraejemplo $x = 45°$ la refuta.

Mistake: Trabajar en los dos lados como en una ecuación, por ejemplo multiplicar en cruz $\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$ para obtener $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$

Why: Multiplicar en cruz, pasar términos o dividir ambos lados parten de la afirmación de que los dos lados son iguales, que es justo lo que intentas demostrar.

Correct: Transforma un lado hasta que se convierta en el otro. El signo igual no se toca hasta el final.

Mistake: Comprobar uno o dos ángulos y dar la identidad por demostrada

Why: $\sin x + \cos x = 1$ funciona en $0°$ y en $90°$, pero falla en $45°$. Unos cuantos ejemplos ciertos nunca demuestran que algo se cumple para todo ángulo.

Correct: Usa los números solo para probar o refutar. Una demostración necesita álgebra con identidades que valen para todo $x$.

Mistake: Separar una fracción por el denominador: $\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{\sin x}{1} - \frac{\sin x}{\cos x}$

Why: Puedes separar una suma del numerador, $\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$, pero nunca una suma del denominador. En $x = 60°$ el lado izquierdo vale $1{,}732$ y el derecho $-0{,}866$.

Correct: Para quitar $1 - \cos x$ de un denominador, multiplica numerador y denominador por el conjugado $1 + \cos x$.

Mistake: Escribir $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos x$ o $1 + \cos^2 x$

Why: El producto de conjugados es una diferencia de cuadrados: los dos términos se elevan al cuadrado y el signo es menos.

Correct: $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x$

Cómo prueba identidades el álgebra computacional

Los programas de matemáticas comprueban si dos fórmulas son iguales sustituyendo muchos ángulos al azar antes de intentar una demostración simbólica completa. Si un solo ángulo da valores distintos, las fórmulas son distintas.

Para comparar $\sec x - \cos x$ y $\sin x \tan x$, un programa evalúa ambas en ángulos como $17°$, $60°$ y $133°$ y obtiene los mismos valores cada vez.

Física: simplificar una fórmula del plano inclinado

Las fórmulas de física suelen salir de un cálculo con una forma complicada. Una identidad las convierte en una forma más corta, más rápida de calcular y más fácil de entender.

Una fuerza en un plano inclinado salió como $F = \dfrac{P\sin\theta}{\tan\theta}$. Como $\frac{\sin\theta}{\tan\theta} = \sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta$, la fórmula es simplemente $F = P\cos\theta$.

Gráficos por ordenador: las rotaciones conservan las longitudes

Los videojuegos giran puntos con $x' = x\cos\theta - y\sin\theta$ e $y' = x\sin\theta + y\cos\theta$. Al desarrollar $x'^2 + y'^2$ y usar $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ se demuestra que $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$ para todo ángulo, así que los objetos nunca se deforman.

El punto $(3, 4)$ girado $30°$, $90°$ o $217°$ siempre queda a distancia 5 del origen.

Q: ¿Por qué no puedo hacer lo mismo en los dos lados?

A: Hacer la misma operación en los dos lados parte de que los lados son iguales, que es lo que quieres demostrar. Algunas de esas operaciones (elevar al cuadrado, multiplicar por una expresión que puede valer 0) pueden incluso convertir una afirmación falsa en una verdadera. Trabajar en un solo lado evita este problema.

Q: ¿Por qué lado debo empezar?

A: Normalmente por el más complicado: el que tiene más términos, fracciones o funciones como $\sec$, $\csc$, $\tan$, $\cot$. Simplificar es más fácil que inventarse complicaciones.

Q: ¿Qué hago si me atasco a mitad de camino?

A: Prueba otra herramienta: pasar a $\sin$ y $\cos$, reunir fracciones, factorizar o multiplicar por un conjugado. También puedes simplificar los dos lados por separado hasta llegar a la misma expresión, siempre que cada lado se transforme por su cuenta.

Q: ¿Mirar la gráfica es una demostración?

A: No. Si las gráficas de los dos lados se superponen en todas partes, es muy probable que la identidad sea cierta, y si no se superponen, es falsa. Pero una imagen solo muestra una ventana limitada, así que una demostración sigue necesitando pasos algebraicos.