Demostrar identidades trigonométricas

Aprende a demostrar una identidad trigonométrica paso a paso: trabajar en un solo lado, pasar a seno y coseno, reunir fracciones, usar el conjugado y refutar afirmaciones falsas con un solo ángulo.

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Definición

Una identidad trigonométrica es una igualdad que se cumple para todo ángulo xx en el que ambos lados están definidos. Una ecuación normal como sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} solo se cumple para algunos ángulos, y la *resuelves*. Una identidad como tan⁡xcos⁡x=sin⁡x\tan x \cos x = \sin x se cumple para todos los ángulos permitidos, y la *demuestras*.

Qué significa demostrar

Para demostrar una identidad, empiezas por un lado y lo transformas, un paso válido cada vez, hasta que quede exactamente igual que el otro lado:
tan⁡xcos⁡x⏟lado izquierdo=sin⁡xcos⁡x⋅cos⁡x=sin⁡x⏟lado derecho\underbrace{\tan x \cos x}_{\text{lado izquierdo}} = \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x = \underbrace{\sin x}_{\text{lado derecho}}

Las reglas del juego

  • Trabaja solo en un lado (normalmente el más complicado). El otro lado se queda como está.
  • Nunca pases términos al otro lado del signo igual y nunca multipliques ni dividas ambos lados: eso supondría que la identidad ya es cierta.
  • Cada paso debe usar una identidad conocida (recíproca, del cociente, pitagórica) o álgebra correcta (denominador común, factorizar, simplificar).

La caja de herramientas

  1. 1.Empieza por el lado más complicado.
  2. 2.Pásalo todo a sin⁡\sin y cos⁡\cos (tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, sec⁡x=1cos⁡x\sec x = \frac{1}{\cos x}, ...).
  3. 3.Reúne las fracciones con un denominador común.
  4. 4.Factoriza (factores comunes, diferencia de cuadrados).
  5. 5.Multiplica por el conjugado, por ejemplo 1+cos⁡x1+cos⁡x\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}, para obtener 1−cos⁡2x=sin⁡2x1 - \cos^2 x = \sin^2 x.
  6. 6.Usa las identidades pitagóricas sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1, 1+tan⁡2x=sec⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x, 1+cot⁡2x=csc⁡2x1 + \cot^2 x = \csc^2 x.

Refutar

Un solo ángulo en el que los dos lados dan valores distintos (un contraejemplo) basta para mostrar que una afirmación no es una identidad. Comprobar unos cuantos ángulos numéricamente es un buen test, pero nunca sustituye a una demostración.

Pruébalo ahora

¿Qué afirmación es una identidad (cierta para todo ángulo xx permitido)?

Ejemplos resueltos

Demuestra que tan⁡xcos⁡x=sin⁡x\tan x \cos x = \sin x.
1

Elige el lado en el que trabajar

El lado izquierdo tiene dos funciones y el derecho solo una. Empieza por la izquierda. → tan⁡xcos⁡x\tan x \cos x
2

Usa la identidad del cociente

Sustituye tan⁡x\tan x por sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} → sin⁡xcos⁡x⋅cos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x
3

Simplifica el factor común

cos⁡x\cos x en el numerador y en el denominador se simplifican (cuando cos⁡x≠0\cos x \neq 0) → sin⁡x\sin x
4

Compara con el lado derecho

El lado izquierdo es ahora exactamente igual que el lado derecho → sin⁡x=sin⁡x\sin x = \sin x ✓

Errores comunes

Trabajar en los dos lados como en una ecuación, por ejemplo multiplicar en cruz sin⁡x1−cos⁡x=1+cos⁡xsin⁡x\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \cos x}{\sin x} para obtener sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x

Por qué está mal: Multiplicar en cruz, pasar términos o dividir ambos lados parten de la afirmación de que los dos lados son iguales, que es justo lo que intentas demostrar.

Correcto: Transforma un lado hasta que se convierta en el otro. El signo igual no se toca hasta el final.

Comprobar uno o dos ángulos y dar la identidad por demostrada

Por qué está mal: sin⁡x+cos⁡x=1\sin x + \cos x = 1 funciona en 0°0° y en 90°90°, pero falla en 45°45°. Unos cuantos ejemplos ciertos nunca demuestran que algo se cumple para todo ángulo.

Correcto: Usa los números solo para probar o refutar. Una demostración necesita álgebra con identidades que valen para todo xx.

Separar una fracción por el denominador: sin⁡x1−cos⁡x=sin⁡x1−sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{\sin x}{1} - \frac{\sin x}{\cos x}

Por qué está mal: Puedes separar una suma del numerador, a+bc=ac+bc\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}, pero nunca una suma del denominador. En x=60°x = 60° el lado izquierdo vale 1,7321{,}732 y el derecho −0,866-0{,}866.

Correcto: Para quitar 1−cos⁡x1 - \cos x de un denominador, multiplica numerador y denominador por el conjugado 1+cos⁡x1 + \cos x.

Escribir (1−cos⁡x)(1+cos⁡x)=1−cos⁡x(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos x o 1+cos⁡2x1 + \cos^2 x

Por qué está mal: El producto de conjugados es una diferencia de cuadrados: los dos términos se elevan al cuadrado y el signo es menos.

Correcto: (1−cos⁡x)(1+cos⁡x)=1−cos⁡2x=sin⁡2x(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x

Visual interactivo

Demuestra

(1+tan⁡2x)cos⁡2x=1(1 + \tan^2 x)\cos^2 x = 1

  1. Empezamos por el lado izquierdo

    (1+tan⁡2x)cos⁡2x(1 + \tan^2 x)\cos^2 x

¿Qué expresión viene después?

Comprobar con números

Lado izquierdo

(1+tan⁡2x)cos⁡2x(1 + \tan^2 x)\cos^2 x

= 1

Lado derecho

11

= 1

Los dos lados tienen el mismo valor.

Gráfica de la función

-300-200-1000100200300-2-1012xy(45; 1,41)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

  • (sin a + cos a)² = 2
  • 1 + 2 sin a cos a = 2
  • sin a + cos a (¿igual a 1?) = 1,41

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-300-200-1000100200300-3-2-10123xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil
¿Qué afirmación es una identidad (cierta para todo ángulo xx permitido)?

Por qué es importante

Demostrar identidades entrena la habilidad más útil del álgebra: reescribir una expresión de una forma más inteligente sin cambiar su valor.
  • Cálculo: integrales como ∫sin⁡2x dx\int \sin^2 x\,dx o ∫sec⁡x dx\int \sec x\,dx solo se pueden resolver después de reescribirlas con una identidad.
  • Física e ingeniería: las fórmulas de ondas y señales se simplifican con identidades antes de calcular nada.
  • Gráficos por ordenador: las rotaciones conservan las longitudes porque cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.
  • Pensamiento lógico: una demostración es una cadena de pasos justificados, el mismo tipo de razonamiento que se usa al programar y en todos los cursos de matemáticas posteriores.
  • Comprobar respuestas: saber que dos respuestas de aspecto distinto son la misma identidad evita que pienses que una de ellas está mal.

Aplicaciones del mundo real

Cómo prueba identidades el álgebra computacional

Los programas de matemáticas comprueban si dos fórmulas son iguales sustituyendo muchos ángulos al azar antes de intentar una demostración simbólica completa. Si un solo ángulo da valores distintos, las fórmulas son distintas.

Ejemplo:

Para comparar sec⁡x−cos⁡x\sec x - \cos x y sin⁡xtan⁡x\sin x \tan x, un programa evalúa ambas en ángulos como 17°17°, 60°60° y 133°133° y obtiene los mismos valores cada vez.

1Inténtalo tú mismo

Un programa prueba la identidad sec⁡x−cos⁡x=sin⁡xtan⁡x\sec x - \cos x = \sin x \tan x en x=60°x = 60°, donde cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}, sec⁡60°=2\sec 60° = 2, sin⁡60°=32\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} y tan⁡60°=3\tan 60° = \sqrt{3}.

¿Qué valor dan los dos lados en x=60°x = 60°?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula el lado izquierdo sec⁡60°−cos⁡60°\sec 60° - \cos 60°:

Física: simplificar una fórmula del plano inclinado

Las fórmulas de física suelen salir de un cálculo con una forma complicada. Una identidad las convierte en una forma más corta, más rápida de calcular y más fácil de entender.

Ejemplo:

Una fuerza en un plano inclinado salió como F=Psin⁡θtan⁡θF = \dfrac{P\sin\theta}{\tan\theta}. Como sin⁡θtan⁡θ=sin⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ=cos⁡θ\frac{\sin\theta}{\tan\theta} = \sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta, la fórmula es simplemente F=Pcos⁡θF = P\cos\theta.

2Inténtalo tú mismo

Una caja de peso P=200P = 200 N está sobre un plano inclinado de ángulo θ=60°\theta = 60°. La fuerza es F=Psin⁡θtan⁡θ=Pcos⁡θF = \dfrac{P\sin\theta}{\tan\theta} = P\cos\theta.

¿Cuánto vale la fuerza FF en newtons?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa la fórmula simplificada F=Pcos⁡θF = P\cos\theta:

Gráficos por ordenador: las rotaciones conservan las longitudes

Los videojuegos giran puntos con $x' = x\cos\theta - y\sin\theta$ e $y' = x\sin\theta + y\cos\theta$. Al desarrollar $x'^2 + y'^2$ y usar $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ se demuestra que $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$ para todo ángulo, así que los objetos nunca se deforman.

Ejemplo:

El punto (3,4)(3, 4) girado 30°30°, 90°90° o 217°217° siempre queda a distancia 5 del origen.

3Inténtalo tú mismo

Un videojuego gira el punto (3,4)(3, 4) alrededor del origen un ángulo θ\theta. La identidad x′2+y′2=x2+y2x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2 se cumple para todo θ\theta.

¿A qué distancia del origen está el punto girado?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa x2+y2\sqrt{x^2 + y^2} con el punto original:

Puntos clave

  • 1Una identidad se cumple para todo ángulo permitido; una ecuación solo para algunos ángulos
  • 2Una identidad se demuestra transformando un lado, paso a paso, hasta que coincida con el otro lado
  • 3Nunca pases términos al otro lado del signo igual ni hagas la misma operación en ambos lados
  • 4Empieza por el lado más complicado y pásalo todo a sin⁡\sin y cos⁡\cos
  • 5Reúne fracciones, factoriza, multiplica por el conjugado y usa sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1
  • 6Un solo contraejemplo refuta una afirmación; las comprobaciones numéricas ponen a prueba una identidad, pero no la demuestran

Preguntas frecuentes

Hacer la misma operación en los dos lados parte de que los lados son iguales, que es lo que quieres demostrar. Algunas de esas operaciones (elevar al cuadrado, multiplicar por una expresión que puede valer 0) pueden incluso convertir una afirmación falsa en una verdadera. Trabajar en un solo lado evita este problema.
Hacer la misma operación en los dos lados parte de que los lados son iguales, que es lo que quieres demostrar. Algunas de esas operaciones (elevar al cuadrado, multiplicar por una expresión que puede valer 0) pueden incluso convertir una afirmación falsa en una verdadera. Trabajar en un solo lado evita este problema.
Normalmente por el más complicado: el que tiene más términos, fracciones o funciones como sec⁡\sec, csc⁡\csc, tan⁡\tan, cot⁡\cot. Simplificar es más fácil que inventarse complicaciones.
Prueba otra herramienta: pasar a sin⁡\sin y cos⁡\cos, reunir fracciones, factorizar o multiplicar por un conjugado. También puedes simplificar los dos lados por separado hasta llegar a la misma expresión, siempre que cada lado se transforme por su cuenta.
No. Si las gráficas de los dos lados se superponen en todas partes, es muy probable que la identidad sea cierta, y si no se superponen, es falsa. Pero una imagen solo muestra una ventana limitada, así que una demostración sigue necesitando pasos algebraicos.

Glosario

Identidad
Una igualdad que se cumple para todo valor de la variable en el que ambos lados están definidos, por ejemplo sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1
Lado izquierdo / lado derecho
Las expresiones a la izquierda y a la derecha del signo igual
Conjugado
El conjugado de a−ba - b es a+ba + b (y al revés); su producto es a2−b2a^2 - b^2
Denominador común
Un denominador que comparten varias fracciones, de modo que se pueden reunir en una sola fracción
Contraejemplo
Un valor para el que una supuesta identidad es falsa; basta para refutar la afirmación

Tarjeta de fórmulas

Identidades recíprocas

sec⁡x=1cos⁡x, csc⁡x=1sin⁡x, cot⁡x=1tan⁡x\sec x = \frac{1}{\cos x},\ \csc x = \frac{1}{\sin x},\ \cot x = \frac{1}{\tan x}

Sirven para pasar secante, cosecante y cotangente a seno y coseno

Identidades del cociente

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x, cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

Convierten tangente y cotangente en fracciones de seno y coseno

Identidades pitagóricas

sin⁡2x+cos⁡2x=1, 1+tan⁡2x=sec⁡2x, 1+cot⁡2x=csc⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x = 1,\ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x,\ 1 + \cot^2 x = \csc^2 x

Sustituyen una suma o diferencia de cuadrados por un solo término

Productos de conjugados

(1−cos⁡x)(1+cos⁡x)=sin⁡2x, (1−sin⁡x)(1+sin⁡x)=cos⁡2x(1 - \cos x)(1 + \cos x) = \sin^2 x,\ (1 - \sin x)(1 + \sin x) = \cos^2 x

La razón por la que funciona multiplicar por el conjugado

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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