Tangente y cotangente a partir del seno y el coseno

Para un ángulo $\theta$ sabemos que $\sin\theta = \frac{3}{5}$ y $\cos\theta = \frac{4}{5}$. Halla $\tan\theta$ y $\cot\theta$.

Escribe la identidad del cociente para la tangente: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5}$ = Dividir las dos fracciones

Divide (los quintos se simplifican): $\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$ = $\tan\theta = \frac{3}{4}$

Usa la identidad del cociente para la cotangente: $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ = $\cot\theta = \frac{4}{3}$

Comprueba con la identidad recíproca: $\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$ = Correcto

Answer: $\tan\theta = \frac{3}{4}$ y $\cot\theta = \frac{4}{3}$

Valores exactos en 60°

Usa $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\cos 60° = \frac{1}{2}$ para hallar los valores exactos de $\tan 60°$ y $\cot 60°$.

La tangente es el seno entre el coseno: $\tan 60° = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}$ = El mismo denominador 2 arriba y abajo

Simplifica las mitades: $\frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}$ = $\tan 60° = \sqrt{3}$

La cotangente es el coseno entre el seno: $\cot 60° = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\cot 60° = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Racionaliza el denominador: $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\cot 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$

Answer: $\tan 60° = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ y $\cot 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$

Reescribir en senos y cosenos

Simplifica $\cot\theta \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta$.

Sustituye $\cot\theta$ con la identidad del cociente: $\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta$ = Solo queda reescribir $\sec\theta$

Sustituye $\sec\theta$ con la identidad recíproca: $\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \sin\theta \cdot \frac{1}{\cos\theta}$ = Todo está en $\sin$ y $\cos$

Escríbelo como una sola fracción: $\frac{\cos\theta \cdot \sin\theta}{\sin\theta \cdot \cos\theta}$ = Numerador y denominador tienen los mismos factores

Simplifica: $\frac{\cos\theta \sin\theta}{\sin\theta \cos\theta} = 1$ = $1$ (si $\sin\theta \neq 0$ y $\cos\theta \neq 0$)

Answer: $\cot\theta \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta = 1$

Una simplificación corta

Simplifica $\frac{\tan\theta}{\sin\theta}$.

Sustituye $\tan\theta$: $\frac{\tan\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta / \cos\theta}{\sin\theta}$ = Una fracción dividida entre $\sin\theta$

Dividir entre $\sin\theta$ es multiplicar por $\frac{1}{\sin\theta}$: $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \cdot \frac{1}{\sin\theta}$ = $\sin\theta$ aparece arriba y abajo

Simplifica $\sin\theta$: $\frac{1}{\cos\theta}$ = $\frac{1}{\cos\theta}$

Ponle nombre con una identidad recíproca: $\frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta$ = $\sec\theta$

Answer: $\frac{\tan\theta}{\sin\theta} = \sec\theta$ (si $\sin\theta \neq 0$, $\cos\theta \neq 0$)

Un ángulo en el cuadrante III

El ángulo $\theta$ está en el cuadrante III y $\sin\theta = -\frac{5}{13}$. Halla $\tan\theta$ y $\cot\theta$.

Halla $\cos^2\theta$ con la identidad pitagórica: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ = $\cos\theta = \pm\frac{12}{13}$

Elige el signo: en el cuadrante III, $x < 0$: $\cos\theta < 0$ = $\cos\theta = -\frac{12}{13}$

Identidad del cociente para la tangente: $\tan\theta = \frac{-5/13}{-12/13} = \frac{5}{12}$ = $\tan\theta = \frac{5}{12}$ (positiva, como en el cuadrante III)

Identidad del cociente para la cotangente: $\cot\theta = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}$ = $\cot\theta = \frac{12}{5}$

Answer: $\tan\theta = \frac{5}{12}$ y $\cot\theta = \frac{12}{5}$

Mistake: Escribir $\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Why: La fracción está al revés: eso es la cotangente. En la circunferencia unitaria, la tangente es la pendiente $\frac{y}{x}$, y $y = \sin\theta$.

Correct: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ (el seno arriba, como $y$ entre $x$) y $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Mistake: Decir que $\tan 90° = 0$ o que $\cot 0° = 0$

Why: En $90°$ el coseno vale $0$, y no se puede dividir entre $0$. En $0°$ el seno vale $0$, así que la cotangente tiene denominador cero.

Correct: $\tan 90° = \frac{1}{0}$ no está definida, y $\cot 0° = \frac{1}{0}$ no está definida. La gráfica de $\tan$ tiene asíntotas verticales ahí.

Mistake: Mezclar dos ángulos: $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20°$ o $\tan 40°$

Why: La identidad solo funciona cuando el seno y el coseno tienen el **mismo** ángulo.

Correct: $\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°$, pero $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684$ no es ni $\tan 20° \approx 0{,}364$ ni $\tan 40° \approx 0{,}839$.

Mistake: Perder el signo en los cuadrantes II, III y IV

Why: Muchas veces se toma la raíz positiva para $\cos\theta$ o $\sin\theta$ y sale $\tan\theta > 0$ en todas partes.

Correct: Saca primero los signos del cuadrante: en el cuadrante II $\sin > 0$ y $\cos < 0$, así que $\tan\theta < 0$; en el cuadrante III los dos son negativos, así que $\tan\theta > 0$.

Pistas de esquí y pendientes de carreteras

La pendiente de una ladera (desnivel entre distancia horizontal) es la tangente de su ángulo de inclinación. Un sensor del móvil mide el seno y el coseno de la inclinación, y la aplicación los divide.

Una ladera con $\sin\theta = 0{,}6$ y $\cos\theta = 0{,}8$ tiene $\tan\theta = 0{,}75$: baja $75$ m por cada $100$ m de distancia horizontal.

Rozamiento en una rampa

Una caja sobre una rampa se queda quieta mientras el coeficiente de rozamiento $\mu$ sea al menos $\tan\theta$. Los ingenieros lo usan para decidir cuánta inclinación pueden tener las cintas transportadoras y las rampas de carga.

En una rampa con $\tan\theta = 0{,}5$, una caja con $\mu = 0{,}6$ se queda quieta, pero una caja con $\mu = 0{,}4$ se desliza.

Longitud de las sombras

Cuando el sol está a una altura angular $\theta$, un poste de altura $h$ proyecta una sombra de longitud $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Los arquitectos lo usan para planificar la sombra y la luz solar.

Con el sol a $45°$, $\cot 45° = 1$, así que cada objeto proyecta una sombra tan larga como su altura.

Q: ¿Por qué se llaman identidades del cociente?

A: Un cociente es el resultado de una división. Estas identidades expresan $\tan$ y $\cot$ como una función dividida entre otra: $\sin\theta \div \cos\theta$ y $\cos\theta \div \sin\theta$.

Q: ¿$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ es una identidad del cociente o una identidad recíproca?

A: Las dos ideas llevan al mismo sitio. La identidad recíproca dice $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$; si cambias $\tan\theta$ por $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ y le das la vuelta, obtienes la forma de cociente $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. La forma de cociente funciona incluso en $90°$, donde $\tan$ no está definida pero $\cot 90° = \frac{0}{1} = 0$.

Q: ¿Por qué $y = \tan x$ e $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ tienen la misma gráfica?

A: Porque son la misma función. Las dos tienen asíntotas verticales donde $\cos x = 0$ ($x = \pm 90°, \pm 270°, ...$) y ceros donde $\sin x = 0$. Activa y desactiva las dos curvas en la gráfica de arriba: quedan exactamente una encima de la otra.

Q: ¿Puedo comprobar una identidad del cociente con la calculadora?

A: Sí. Escribe $\sin(40) / \cos(40)$ y $\tan(40)$ en modo grados: las dos dan unos $0{,}8391$. Comprobar con números en algunos ángulos es una buena prueba, pero solo un razonamiento algebraico demuestra una identidad para todos los ángulos.