Identidades del cociente

Aprende por qué la tangente es el seno entre el coseno y la cotangente el coseno entre el seno, dónde están definidas y cómo usarlas para simplificar expresiones.

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Definición

Las identidades del cociente escriben la tangente y la cotangente como un cociente (una división) del seno y el coseno del mismo ángulo:
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ(cos⁡θ≠0)\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \qquad (\cos\theta \neq 0)
cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ(sin⁡θ≠0)\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \qquad (\sin\theta \neq 0)

De dónde salen: el triángulo rectángulo

Para un ángulo agudo θ\theta en un triángulo rectángulo, sin⁡θ=opuestohipotenusa\sin\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} y cos⁡θ=contiguohipotenusa\cos\theta = \frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}. Si los divides, la hipotenusa se simplifica:
sin⁡θcos⁡θ=opuesto/hipotenusacontiguo/hipotenusa=opuestocontiguo=tan⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{opuesto}/\text{hipotenusa}}{\text{contiguo}/\text{hipotenusa}} = \frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}} = \tan\theta

De dónde salen: la circunferencia unitaria

El ángulo θ\theta corta la circunferencia unitaria en el punto P=(cos⁡θ,sin⁡θ)P = (\cos\theta, \sin\theta). La pendiente del radio OPOP es yx=sin⁡θcos⁡θ\frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, y esa pendiente es tan⁡θ\tan\theta. Esto funciona para cualquier ángulo, no solo para los agudos, así que los signos salen bien en los cuatro cuadrantes.

Dónde están definidas

  • tan⁡θ\tan\theta no está definida cuando cos⁡θ=0\cos\theta = 0: en 90°90°, 270°270°, ... (es decir, θ=90°+k⋅180°\theta = 90° + k \cdot 180°).
  • cot⁡θ\cot\theta no está definida cuando sin⁡θ=0\sin\theta = 0: en 0°0°, 180°180°, 360°360°, ... (es decir, θ=k⋅180°\theta = k \cdot 180°).

Relación con las identidades recíprocas

Por las identidades recíprocas, cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}. Dar la vuelta a sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} da cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}, así que las dos ideas coinciden, y tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 siempre que ambas estén definidas.

Pruébalo ahora

¿Qué expresión es igual a tan⁡θ\tan\theta?

Ejemplos resueltos

Para un ángulo θ\theta sabemos que sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5} y cos⁡θ=45\cos\theta = \frac{4}{5}. Halla tan⁡θ\tan\theta y cot⁡θ\cot\theta.
1

Escribe la identidad del cociente para la tangente

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=3/54/5\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5} → Dividir las dos fracciones
2

Divide (los quintos se simplifican)

3/54/5=35⋅54=34\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4} → tan⁡θ=34\tan\theta = \frac{3}{4}
3

Usa la identidad del cociente para la cotangente

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=4/53/5=43\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} → cot⁡θ=43\cot\theta = \frac{4}{3}
4

Comprueba con la identidad recíproca

tan⁡θ⋅cot⁡θ=34⋅43=1\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1 → Correcto

Errores comunes

Escribir tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Por qué está mal: La fracción está al revés: eso es la cotangente. En la circunferencia unitaria, la tangente es la pendiente yx\frac{y}{x}, y y=sin⁡θy = \sin\theta.

Correcto: tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} (el seno arriba, como yy entre xx) y cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Decir que tan⁡90°=0\tan 90° = 0 o que cot⁡0°=0\cot 0° = 0

Por qué está mal: En 90°90° el coseno vale 00, y no se puede dividir entre 00. En 0°0° el seno vale 00, así que la cotangente tiene denominador cero.

Correcto: tan⁡90°=10\tan 90° = \frac{1}{0} no está definida, y cot⁡0°=10\cot 0° = \frac{1}{0} no está definida. La gráfica de tan⁡\tan tiene asíntotas verticales ahí.

Mezclar dos ángulos: sin⁡40°cos⁡20°=tan⁡20°\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20° o tan⁡40°\tan 40°

Por qué está mal: La identidad solo funciona cuando el seno y el coseno tienen el mismo ángulo.

Correcto: sin⁡40°cos⁡40°=tan⁡40°\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°, pero sin⁡40°cos⁡20°≈0,684\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684 no es ni tan⁡20°≈0,364\tan 20° \approx 0{,}364 ni tan⁡40°≈0,839\tan 40° \approx 0{,}839.

Perder el signo en los cuadrantes II, III y IV

Por qué está mal: Muchas veces se toma la raíz positiva para cos⁡θ\cos\theta o sin⁡θ\sin\theta y sale tan⁡θ>0\tan\theta > 0 en todas partes.

Correcto: Saca primero los signos del cuadrante: en el cuadrante II sin⁡>0\sin > 0 y cos⁡<0\cos < 0, así que tan⁡θ<0\tan\theta < 0; en el cuadrante III los dos son negativos, así que tan⁡θ>0\tan\theta > 0.

Visual interactivo

Demuestra

tan⁡θcos⁡θ=sin⁡θ\tan\theta \cos\theta = \sin\theta

  1. Empezamos por el lado izquierdo

    tan⁡θcos⁡θ\tan\theta \cos\theta

Comprobar con números

Lado izquierdo

tan⁡θcos⁡θ\tan\theta \cos\theta

= 0,5

Lado derecho

sin⁡θ\sin\theta

= 0,5

Los dos lados tienen el mismo valor.

Gráfica de la función

-300-200-1000100200300-4-2024xyx = -270x = -90x = 90x = 270x = -270x = -90x = 90x = 270

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

  • sin(a) = 0,5
  • cos(a) = 0,87
  • sin(a)/cos(a) = 0,58
  • tan(a) = 0,58
  • cos(a)/sin(a) = 1,73
  • cot(a) = 1,73

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Asíntota

Círculo unitario

Grados

0°

Radianes

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordenadas (cos, sin)

(1, 0)

Haz clic y arrastra para rotar el ángulo alrededor del círculo unitario.

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Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil
¿Qué expresión es igual a tan⁡θ\tan\theta?

Por qué es importante

Las identidades del cociente son el puente que convierte cualquier expresión trigonométrica en senos y cosenos:
  • Simplificar: escribir tan⁡\tan y cot⁡\cot como fracciones de sin⁡\sin y cos⁡\cos es el primer paso de casi todas las simplificaciones y demostraciones que vienen después en este tema
  • Valores exactos: si conoces sin⁡θ\sin\theta y cos⁡θ\cos\theta (de la circunferencia unitaria o de un triángulo), obtienes tan⁡θ\tan\theta y cot⁡θ\cot\theta con una sola división
  • Pendientes y ángulos: la pendiente de una recta, una carretera o una rampa es la tangente de su ángulo de inclinación
  • Física: un objeto en un plano inclinado empieza a deslizarse cuando el coeficiente de rozamiento es menor que tan⁡θ\tan\theta, y las longitudes de sombra usan cot⁡θ\cot\theta
  • Cálculo: la derivada de tan⁡x\tan x se obtiene escribiéndola como sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} y aplicando la regla del cociente

Aplicaciones del mundo real

Pistas de esquí y pendientes de carreteras

La pendiente de una ladera (desnivel entre distancia horizontal) es la tangente de su ángulo de inclinación. Un sensor del móvil mide el seno y el coseno de la inclinación, y la aplicación los divide.

Ejemplo:

Una ladera con sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 y cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8 tiene tan⁡θ=0,75\tan\theta = 0{,}75: baja 7575 m por cada 100100 m de distancia horizontal.

1Inténtalo tú mismo

Un sensor de inclinación en una pista de esquí marca sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 y cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8. La bajada recorre 200200 m de distancia horizontal.

¿Cuántos metros de desnivel tiene la bajada?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Desnivel = tan⁡θ×\tan\theta \times distancia horizontal:

Rozamiento en una rampa

Una caja sobre una rampa se queda quieta mientras el coeficiente de rozamiento $\mu$ sea al menos $\tan\theta$. Los ingenieros lo usan para decidir cuánta inclinación pueden tener las cintas transportadoras y las rampas de carga.

Ejemplo:

En una rampa con tan⁡θ=0,5\tan\theta = 0{,}5, una caja con μ=0,6\mu = 0{,}6 se queda quieta, pero una caja con μ=0,4\mu = 0{,}4 se desliza.

2Inténtalo tú mismo

Una rampa de carga tiene sin⁡θ=941\sin\theta = \frac{9}{41} y cos⁡θ=4041\cos\theta = \frac{40}{41}. Una caja de plástico sobre ella tiene coeficiente de rozamiento μ=0,2\mu = 0{,}2.

¿Cuál es el menor coeficiente de rozamiento que mantiene una caja quieta en esta rampa?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Menor μ\mu = tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}:

Longitud de las sombras

Cuando el sol está a una altura angular $\theta$, un poste de altura $h$ proyecta una sombra de longitud $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Los arquitectos lo usan para planificar la sombra y la luz solar.

Ejemplo:

Con el sol a 45°45°, cot⁡45°=1\cot 45° = 1, así que cada objeto proyecta una sombra tan larga como su altura.

3Inténtalo tú mismo

A mediodía, la altura angular del sol cumple sin⁡θ=0,96\sin\theta = 0{,}96 y cos⁡θ=0,28\cos\theta = 0{,}28. Un mástil de bandera mide 1212 m de alto.

¿Cuánto mide la sombra del mástil, en metros?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sombra = 12⋅cos⁡θsin⁡θ12 \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}:

Puntos clave

  • 1tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} y cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}, siempre para el mismo ángulo θ\theta
  • 2En un triángulo rectángulo la hipotenusa se simplifica: sin⁡θcos⁡θ=opuestocontiguo\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}
  • 3En la circunferencia unitaria, tan⁡θ\tan\theta es la pendiente yx\frac{y}{x} del radio hasta (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta), así que funciona en todos los cuadrantes
  • 4tan⁡θ\tan\theta no está definida donde cos⁡θ=0\cos\theta = 0 (90°90°, 270°270°, ...); cot⁡θ\cot\theta no está definida donde sin⁡θ=0\sin\theta = 0 (0°0°, 180°180°, ...)
  • 5tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 siempre que ambas estén definidas
  • 6Para simplificar, primero reescribe todo en sin⁡\sin y cos⁡\cos y después simplifica los factores comunes

Preguntas frecuentes

Un cociente es el resultado de una división. Estas identidades expresan tan⁡\tan y cot⁡\cot como una función dividida entre otra: sin⁡θ÷cos⁡θ\sin\theta \div \cos\theta y cos⁡θ÷sin⁡θ\cos\theta \div \sin\theta.
Un cociente es el resultado de una división. Estas identidades expresan tan⁡\tan y cot⁡\cot como una función dividida entre otra: sin⁡θ÷cos⁡θ\sin\theta \div \cos\theta y cos⁡θ÷sin⁡θ\cos\theta \div \sin\theta.
Las dos ideas llevan al mismo sitio. La identidad recíproca dice cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}; si cambias tan⁡θ\tan\theta por sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} y le das la vuelta, obtienes la forma de cociente cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}. La forma de cociente funciona incluso en 90°90°, donde tan⁡\tan no está definida pero cot⁡90°=01=0\cot 90° = \frac{0}{1} = 0.
Porque son la misma función. Las dos tienen asíntotas verticales donde cos⁡x=0\cos x = 0 (x=±90°,±270°,...x = \pm 90°, \pm 270°, ...) y ceros donde sin⁡x=0\sin x = 0. Activa y desactiva las dos curvas en la gráfica de arriba: quedan exactamente una encima de la otra.
Sí. Escribe sin⁡(40)/cos⁡(40)\sin(40) / \cos(40) y tan⁡(40)\tan(40) en modo grados: las dos dan unos 0,83910{,}8391. Comprobar con números en algunos ángulos es una buena prueba, pero solo un razonamiento algebraico demuestra una identidad para todos los ángulos.

Glosario

Cociente
El resultado de una división, por ejemplo ab\frac{a}{b} es el cociente de aa entre bb
Identidades del cociente
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} y cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
Identidad
Una igualdad que se cumple para cualquier valor de la variable para el que ambos lados están definidos
Cotangente (cot⁡\cot)
La razón cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}, la recíproca de la tangente
Dominio
El conjunto de ángulos en los que una expresión está definida; para tan⁡θ\tan\theta, todos los ángulos con cos⁡θ≠0\cos\theta \neq 0

Tarjeta de fórmulas

Tangente

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Definida si $\cos\theta \neq 0$

Cotangente

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Definida si $\sin\theta \neq 0$

Producto

tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

Donde ambas están definidas

Triángulo rectángulo

tan⁡θ=opuestocontiguo\tan\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}

La hipotenusa se simplifica en $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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