Valor exacto de sen 75°

Halla el valor exacto de $\sin 75^\circ$.

Escribe $75^\circ$ como suma de ángulos notables: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ = $A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$

Aplica la identidad de suma del seno: $\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$ = Dos productos de valores conocidos

Sustituye los valores exactos: $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$ = $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Comprueba con la calculadora: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} \approx 0{,}9659$ y $\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$ = Los valores coinciden

Answer: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Valor exacto de cos 15° con una diferencia

Halla el valor exacto de $\cos 15^\circ$.

Escribe $15^\circ$ como diferencia de ángulos notables: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ = $A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$

Aplica la identidad de diferencia del coseno (el signo cambia a $+$): $\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$ = Signo más para una diferencia

Sustituye y simplifica: $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ = $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Observa la relación: $\cos 15^\circ = \sin 75^\circ$ porque $15^\circ + 75^\circ = 90^\circ$ (identidad de cofunción) = El mismo valor que en el ejemplo 1

Answer: $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Valor exacto de tan 105°

Halla el valor exacto de $\tan 105^\circ$ y simplifícalo.

Escribe $105^\circ$ como una suma: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, con $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ y $\tan 45^\circ = 1$ = $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$

Aplica la identidad de suma de la tangente: $\tan 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ = El denominador $1 - \sqrt{3}$ es negativo

Racionaliza: multiplica arriba y abajo por $1 + \sqrt{3}$: $\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2}$ = $-2 - \sqrt{3}$

Comprueba el signo: $105^\circ$ está en el cuadrante II, donde la tangente es negativa; $-2 - \sqrt{3} \approx -3{,}7321$ = Negativo, como se esperaba

Answer: $\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3} \approx -3{,}7321$

Ángulos de cuadrantes distintos

$\sin A = \frac{3}{5}$ con $A$ en el cuadrante II, y $\cos B = \frac{5}{13}$ con $B$ en el cuadrante I. Halla $\sin(A + B)$ y $\cos(A + B)$.

Halla $\cos A$ con la identidad pitagórica: $\cos^2 A = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, y el coseno es negativo en el cuadrante II = $\cos A = -\frac{4}{5}$

Halla $\sin B$: $\sin^2 B = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$, y el seno es positivo en el cuadrante I = $\sin B = \frac{12}{13}$

Aplica la identidad de suma del seno: $\sin(A + B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{12}{13} = \frac{15}{65} - \frac{48}{65}$ = $\sin(A + B) = -\frac{33}{65}$

Aplica la identidad de suma del coseno: $\cos(A + B) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{20}{65} - \frac{36}{65}$ = $\cos(A + B) = -\frac{56}{65}$

Comprueba con la identidad pitagórica: $\left(\frac{33}{65}\right)^2 + \left(\frac{56}{65}\right)^2 = \frac{1089 + 3136}{4225} = 1$ = Los resultados encajan

Answer: $\sin(A + B) = -\frac{33}{65}$ y $\cos(A + B) = -\frac{56}{65}$, así que $A + B$ está en el cuadrante III

Reconocer una fórmula al revés

Simplifica $\sin 70^\circ \cos 20^\circ + \cos 70^\circ \sin 20^\circ$ y $\cos 80^\circ \cos 20^\circ + \sin 80^\circ \sin 20^\circ$ sin calculadora.

Relaciona la primera expresión con una fórmula: $\sin A \cos B + \cos A \sin B$ con $A = 70^\circ$, $B = 20^\circ$ = Es $\sin(70^\circ + 20^\circ)$

Calcula: $\sin 90^\circ = 1$ = Primera expresión $= 1$

Relaciona la segunda expresión: $\cos A \cos B + \sin A \sin B$ (signo más) es $\cos(A - B)$ = Es $\cos(80^\circ - 20^\circ)$

Calcula: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ = Segunda expresión $= \frac{1}{2}$

Answer: La primera expresión vale $1$ y la segunda vale $\frac{1}{2}$

Mistake: Escribir $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Why: El seno no es una función lineal, así que no se puede repartir sobre una suma. Con $A = 30^\circ$ y $B = 60^\circ$: $\sin 90^\circ = 1$, pero $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366$, que ni siquiera es un valor posible del seno.

Correct: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$. Mueve los deslizadores de la gráfica: la curva roja $\sin x + \sin b$ se separa de las otras dos.

Mistake: Conservar el signo en la fórmula del coseno: $\cos(A + B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Why: El coseno cambia el signo. Pruébalo con $A = B = 45^\circ$: $\cos 90^\circ = 0$, pero $\cos^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$.

Correct: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ y $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.

Mistake: Tomar positivo cada valor que falta, por ejemplo $\cos A = \frac{4}{5}$ cuando $\sin A = \frac{3}{5}$ y $A$ está en el cuadrante II

Why: La identidad pitagórica solo da el valor absoluto. El cuadrante decide el signo, y un signo equivocado cambia todo el resultado.

Correct: Usa el cuadrante: en el cuadrante II el coseno es negativo, así que $\cos A = -\frac{4}{5}$. Recuerda: cuadrante I todo positivo, II solo el seno, III solo la tangente, IV solo el coseno.

Mistake: Usar $1 + \tan A \tan B$ en el denominador de $\tan(A + B)$

Why: En la fórmula de la tangente el numerador conserva el signo pero el denominador lo cambia, igual que en la fórmula del coseno.

Correct: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ y $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.

Combinar dos ondas

En física y electrónica, una suma como $3\sin t + 4\cos t$ describe dos ondas superpuestas. La identidad de suma del seno muestra que es una sola onda $R\sin(t + \varphi)$, y $R$ es su amplitud (lo fuerte que es).

$R\sin(t + \varphi) = R\cos\varphi \sin t + R\sin\varphi \cos t$. Al comparar con $3\sin t + 4\cos t$ se obtiene $R\cos\varphi = 3$ y $R\sin\varphi = 4$.

Girar puntos en videojuegos y robótica

Un punto a distancia $r$ y con ángulo $\alpha$ tiene coordenadas $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Girarlo $\beta$ da el ángulo $\alpha + \beta$, y las identidades de suma lo convierten en las fórmulas de rotación $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ e $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$.

Girar $(1, 0)$ un ángulo de $90^\circ$: $x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ e $y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$, así que el punto pasa a $(0, 1)$.

El ángulo entre dos carreteras

Una recta de pendiente $m$ forma con el eje $x$ un ángulo $\theta$ con $\tan\theta = m$. La identidad de diferencia de la tangente da el ángulo entre dos rectas directamente a partir de sus pendientes, algo que usan los urbanistas para cruces, rampas y tejados.

Rectas de pendientes $1$ y $0$: $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$, así que se cortan a $45^\circ$.

Q: ¿Por qué no hay una regla sencilla como $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$?

A: Porque el seno no es una función lineal. Duplicar un ángulo no duplica su seno: $\sin 30^\circ = 0{,}5$, pero $\sin 60^\circ \approx 0{,}866$, no $1$. La identidad de suma es la sustituta correcta de esa regla falsa.

Q: ¿Qué relación hay entre las identidades de suma y las del ángulo doble?

A: Pon $B = A$. Entonces $\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A$ y $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$. La fórmula de la tangente da $\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$.

Q: ¿Qué par de ángulos notables debo usar?

A: Sirve cualquier par que dé el ángulo: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$, $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ o $60^\circ - 45^\circ$, $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, $165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ o $135^\circ + 30^\circ$. Pares distintos llevan al mismo valor final.

Q: ¿Cuándo no está definida $\tan(A + B)$?

A: Cuando $1 - \tan A \tan B = 0$, es decir, cuando $\tan A \tan B = 1$. Entonces $A + B$ vale $90^\circ$ (o $270^\circ$), donde la tangente no existe. Ejemplo: $\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1$ y $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$.