¿Qué relación hay entre las identidades de suma y las del ángulo doble?

Pon $B = A$. Entonces $\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A$ y $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$. La fórmula de la tangente da $\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$.

¿Qué par de ángulos notables debo usar?

Sirve cualquier par que dé el ángulo: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$, $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ o $60^\circ - 45^\circ$, $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, $165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ o $135^\circ + 30^\circ$. Pares distintos llevan al mismo valor final.

¿Cuándo no está definida $\tan(A + B)$?

Cuando $1 - \tan A \tan B = 0$, es decir, cuando $\tan A \tan B = 1$. Entonces $A + B$ vale $90^\circ$ (o $270^\circ$), donde la tangente no existe. Ejemplo: $\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1$ y $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$.

Recursos para profesores

Identidades de suma y diferencia

Aprende las identidades de suma y diferencia del seno, el coseno y la tangente, halla valores exactos como sen 75° y combina ángulos de cuadrantes distintos.

Avanzado30 minLección

Compartir en Classroom

Ficha imprimible

Definición

Las identidades de suma y diferencia dan el seno, el coseno y la tangente de

A + B

o de

A - B

a partir solo de los valores de

A

y de

B

Seno

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Coseno

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Tangente

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Cómo recordar los signos:

El seno conserva el signo: un $+$ en $A + B$ da un $+$ en la fórmula, y mezcla seno con coseno.
El coseno cambia el signo: $A + B$ da un menos, $A - B$ da un más, y empareja coseno con coseno, seno con seno.
Tangente: el numerador conserva el signo, el denominador lo cambia.

Importante:

\sin(A + B)

no es

\sin A + \sin B

. Por ejemplo,

\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1

, pero

\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366

Con los ángulos notables

30^\circ

45^\circ

60^\circ

, estas fórmulas dan valores exactos para ángulos nuevos como

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

165^\circ = 120^\circ + 45^\circ

. Si pones

B = A

, obtienes las identidades del ángulo doble.

Pruébalo ahora

¿Qué expresión es igual a

\sin(A + B)

Ejemplos resueltos

Halla el valor exacto de

\sin 75^\circ

Escribe $75^\circ$ como suma de ángulos notables

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

→

A = 45^\circ

B = 30^\circ

Aplica la identidad de suma del seno

\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ

→ Dos productos de valores conocidos

Sustituye los valores exactos

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}

→

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Comprueba con la calculadora

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} \approx 0{,}9659

\sin 75^\circ \approx 0{,}9659

→ Los valores coinciden

Respuesta: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Errores comunes

Escribir $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Por qué está mal: El seno no es una función lineal, así que no se puede repartir sobre una suma. Con $A = 30^\circ$ y $B = 60^\circ$ : $\sin 90^\circ = 1$ , pero $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366$ , que ni siquiera es un valor posible del seno.

Correcto: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ . Mueve los deslizadores de la gráfica: la curva roja $\sin x + \sin b$ se separa de las otras dos.

Conservar el signo en la fórmula del coseno: $\cos(A + B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Por qué está mal: El coseno cambia el signo. Pruébalo con $A = B = 45^\circ$ : $\cos 90^\circ = 0$ , pero $\cos^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$ .

Correcto: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ y $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ .

Tomar positivo cada valor que falta, por ejemplo $\cos A = \frac{4}{5}$ cuando $\sin A = \frac{3}{5}$ y $A$ está en el cuadrante II

Por qué está mal: La identidad pitagórica solo da el valor absoluto. El cuadrante decide el signo, y un signo equivocado cambia todo el resultado.

Correcto: Usa el cuadrante: en el cuadrante II el coseno es negativo, así que $\cos A = -\frac{4}{5}$ . Recuerda: cuadrante I todo positivo, II solo el seno, III solo la tangente, IV solo el coseno.

Usar $1 + \tan A \tan B$ en el denominador de $\tan(A + B)$

Por qué está mal: En la fórmula de la tangente el numerador conserva el signo pero el denominador lo cambia, igual que en la fórmula del coseno.

Correcto: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ y $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ .

Visual interactivo

Gráfica de la función

a (°) = 45b (°) = 30

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

sin(a + b) = 0,9659
sin a · cos b + cos a · sin b = 0,9659
sin a + sin b = 1,2071

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Demuestra

\sin(x + 90^\circ) = \cos x

Empezamos por el lado izquierdo
$\sin(x + 90^\circ)$

Comprobar con números

Ángulo30°

Lado izquierdo

\sin(x + 90^\circ)

= 0,866

Lado derecho

\cos x

= 0,866

Los dos lados tienen el mismo valor.

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Qué expresión es igual a

\sin(A + B)

Por qué es importante

Las identidades de suma y diferencia son las fórmulas madre de casi todas las demás identidades trigonométricas:

Valores exactos: la calculadora da $\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$ , pero la identidad da el valor exacto $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , que es lo que piden los exámenes y las demostraciones.
Más identidades: el ángulo doble, el ángulo mitad y las cofunciones salen todas de ellas (pon $B = A$ o $A = 90^\circ$ ).
Ondas y sonido: en física se reescribe $3\sin t + 4\cos t$ como una sola onda $5\sin(t + \varphi)$ para leer su amplitud.
Rotaciones: todo videojuego y todo brazo robótico gira puntos con $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ e $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ , que es justo la identidad de suma.
Ángulos entre rectas: la identidad de diferencia de la tangente da el ángulo entre dos carreteras, rampas o líneas de tejado directamente a partir de sus pendientes.

Aplicaciones del mundo real

Combinar dos ondas

En física y electrónica, una suma como $3\sin t + 4\cos t$ describe dos ondas superpuestas. La identidad de suma del seno muestra que es una sola onda $R\sin(t + \varphi)$, y $R$ es su amplitud (lo fuerte que es).

Ejemplo:

$R\sin(t + \varphi) = R\cos\varphi \sin t + R\sin\varphi \cos t$ . Al comparar con $3\sin t + 4\cos t$ se obtiene $R\cos\varphi = 3$ y $R\sin\varphi = 4$ .

1Inténtalo tú mismo

Una señal es $3\sin t + 4\cos t$ . Quieres escribirla como $R\sin(t + \varphi)$ con $R > 0$ .

¿Cuál es la amplitud $R$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $R^2 = (R\cos\varphi)^2 + (R\sin\varphi)^2$ :

Girar puntos en videojuegos y robótica

Un punto a distancia $r$ y con ángulo $\alpha$ tiene coordenadas $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Girarlo $\beta$ da el ángulo $\alpha + \beta$, y las identidades de suma lo convierten en las fórmulas de rotación $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ e $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$.

Ejemplo:

Girar $(1, 0)$ un ángulo de $90^\circ$ : $x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ e $y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$ , así que el punto pasa a $(0, 1)$ .

2Inténtalo tú mismo

Un brazo robótico sostiene una herramienta en $(4, 3)$ . Gira un ángulo $\beta$ con $\cos\beta = 0{,}8$ y $\sin\beta = 0{,}6$ .

¿Cuál es la nueva coordenada $y$ de la herramienta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ :

El ángulo entre dos carreteras

Una recta de pendiente $m$ forma con el eje $x$ un ángulo $\theta$ con $\tan\theta = m$. La identidad de diferencia de la tangente da el ángulo entre dos rectas directamente a partir de sus pendientes, algo que usan los urbanistas para cruces, rampas y tejados.

Ejemplo:

Rectas de pendientes $1$ y $0$ : $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$ , así que se cortan a $45^\circ$ .

3Inténtalo tú mismo

En un mapa, una carretera tiene pendiente $3$ y otra carretera tiene pendiente $\frac{1}{2}$ .

¿Qué ángulo forman las carreteras, en grados?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$ con $\tan\alpha = 3$ , $\tan\beta = \frac{1}{2}$ :

Puntos clave

1 $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ : el seno conserva el signo y mezcla seno con coseno
2 $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ : el coseno cambia el signo
3 $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ : el numerador conserva el signo, el denominador lo cambia
4Los valores exactos de $15^\circ$ , $75^\circ$ , $105^\circ$ , $165^\circ$ salen de sumas y diferencias de $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ (y $120^\circ$ , $135^\circ$ )
5Con ángulos de otros cuadrantes, halla el seno o coseno que falta con la identidad pitagórica y toma el signo del cuadrante
6 $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$ ; con $B = A$ se obtienen las identidades del ángulo doble

Preguntas frecuentes

Porque el seno no es una función lineal. Duplicar un ángulo no duplica su seno:

\sin 30^\circ = 0{,}5

, pero

\sin 60^\circ \approx 0{,}866

, no

1

. La identidad de suma es la sustituta correcta de esa regla falsa.

Glosario

Identidad de suma: Una fórmula para una función trigonométrica de $A + B$ , por ejemplo $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
Identidad de diferencia: Una fórmula para una función trigonométrica de $A - B$ , por ejemplo $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
Valor exacto: Un valor escrito con enteros, fracciones y raíces, como $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , en lugar de un decimal redondeado
Ángulos notables: $30^\circ$ , $45^\circ$ y $60^\circ$ (y sus parientes en la circunferencia unitaria), cuyo seno, coseno y tangente se conocen exactamente
Signo según el cuadrante: El signo de un valor trigonométrico en cada cuadrante: I todo positivo, II seno, III tangente, IV coseno

Tarjeta de fórmulas

Seno de una suma

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

Conserva el signo, mezcla seno y coseno

Seno de una diferencia

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Menos entre los dos productos

Coseno de una suma

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

El signo cambia a menos

Coseno de una diferencia

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

El signo cambia a más

Tangente de una suma

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

El numerador conserva el signo, el denominador lo cambia

Tangente de una diferencia

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Numerador con menos, denominador con más

Reto de hoyUn problema, tres intentos

Más sobre este tema

Definición

Seno

Coseno

Tangente

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Visual interactivo

Gráfica de la función

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Historial

Problemas de práctica

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Combinar dos ondas

Girar puntos en videojuegos y robótica

El ángulo entre dos carreteras

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Seno de una suma

Seno de una diferencia

Coseno de una suma

Coseno de una diferencia

Tangente de una suma

Tangente de una diferencia

Más sobre este tema

Identidades recíprocas

Identidades pitagóricas

Identidades trigonométricas pares e impares

Identidades de cofunciones