Équation fractionnaire simple

Résous : $\frac{x}{4} = 3$

Identifie l'opération appliquée à x: $x$ est divisé par 4 = Division par 4

Applique l'opération inverse: Multiplie les deux membres par 4 = $4 \cdot \frac{x}{4} = 4 \cdot 3$

Simplifie: $x = 12$ = $x = 12$

Vérifie: $\frac{12}{4} = 3$ ✓ = Solution vérifiée

Answer: $x = 12$

Équation avec plusieurs fractions

Résous : $\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 5$

Trouve le PPCM: PPCM de 3 et 6 est 6 = PPCM = 6

Multiplie chaque terme par le PPCM: $6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{x}{6} = 6 \cdot 5$ = $2x + x = 30$

Regroupe les termes semblables: $3x = 30$ = $3x = 30$

Isole x: $x = 10$ = $x = 10$

Vérifie: $\frac{10}{3} + \frac{10}{6} = \frac{20}{6} + \frac{10}{6} = \frac{30}{6} = 5$ ✓ = Solution vérifiée

Answer: $x = 10$

Équation avec coefficient fractionnaire

Résous : $\frac{2}{3}x - 1 = 5$

Isole le terme fractionnaire: Ajoute 1 aux deux membres : $\frac{2}{3}x = 6$ = $\frac{2}{3}x = 6$

Multiplie par l'inverse: Multiplie les deux membres par $\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x = \frac{3}{2} \cdot 6$

Simplifie: $x = 9$ = $x = 9$

Vérifie: $\frac{2}{3}(9) - 1 = 6 - 1 = 5$ ✓ = Solution vérifiée

Answer: $x = 9$

Équation fractionnaire complexe

Résous : $\frac{x + 1}{4} = \frac{x - 2}{3}$

Trouve le PPCM: PPCM de 4 et 3 est 12 = PPCM = 12

Multiplie les deux membres par le PPCM: $12 \cdot \frac{x + 1}{4} = 12 \cdot \frac{x - 2}{3}$ = $3(x + 1) = 4(x - 2)$

Développe: $3x + 3 = 4x - 8$ = $3x + 3 = 4x - 8$

Rassemble les termes en x: Soustrais $3x$ des deux membres : $3 = x - 8$ = $3 = x - 8$

Isole x: Ajoute 8 aux deux membres : $x = 11$ = $x = 11$

Vérifie: $\frac{11 + 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$ et $\frac{11 - 2}{3} = \frac{9}{3} = 3$ ✓ = Les deux membres valent 3

Answer: $x = 11$

Mistake: Multiplier seulement certains termes par le PPCM

Why: Lors de l'élimination des dénominateurs, tu dois multiplier CHAQUE terme (y compris les nombres entiers) par le PPCM pour garder l'équation équilibrée.

Correct: Dans $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$, multiplie TOUS les termes par 6, y compris le 5 : $6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot 5$ donne $3x + 2x = 30$, pas $3x + 2x = 5$

Mistake: Oublier de développer après avoir éliminé les fractions

Why: Quand tu multiplies $\frac{x + 1}{4}$ par 12, tu obtiens $3(x + 1)$ : le 3 multiplie tout le numérateur, donc $x$ et $1$.

Correct: $12 \cdot \frac{x + 1}{4} = 3(x + 1) = 3x + 3$, pas $3x + 1$

Mistake: Utiliser un mauvais PPCM

Why: Un multiple commun plus grand (comme 24 pour 4 et 6) fonctionne aussi mais donne de plus grands nombres ; un nombre qui n'est pas un multiple commun laisse des fractions dans l'équation.

Correct: Le PPCM de 4 et 6 est 12, pas 24. Trouve le PLUS PETIT commun multiple, pas n'importe quel multiple commun.

Mistake: Ne pas vérifier la réponse

Why: Éliminer les fractions demande plusieurs multiplications, une erreur arrive vite. Quand une variable est au dénominateur, une valeur peut même rendre un dénominateur nul (solution parasite).

Correct: Remplace toujours x par ta réponse dans l'équation d'origine pour vérifier qu'elle fonctionne.

Adapter les recettes

Les cuisiniers doivent souvent ajuster les recettes quand ils cuisinent pour différents nombres de personnes.

Une recette utilise $\frac{3}{4}$ tasse de farine pour 12 biscuits. Combien de farine pour 20 biscuits ? Résous $\frac{3/4}{12} = \frac{x}{20}$.

Problèmes de travail partagé

Quand deux personnes travaillent ensemble, leur taux de travail combiné détermine la vitesse à laquelle elles terminent.

Si Marie peut peindre une pièce en 4 heures et Jean en 6 heures, ensemble ils complètent $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ de la pièce par heure.

Vitesse et distance

La formule $d = rt$ (distance = vitesse fois temps) implique souvent des fractions quand les temps ne sont pas des nombres entiers.

Si tu voyages $\frac{3}{4}$ d'heure à 60 km/h, tu parcours $60 \times \frac{3}{4} = 45$ km.

Q: Pourquoi multiplions-nous par le PPCM ?

A: Multiplier par le PPCM élimine tous les dénominateurs d'un coup, transformant l'équation fractionnaire en une équation plus simple avec des nombres entiers. Cela rend la résolution beaucoup plus facile.

Q: Puis-je utiliser le produit en croix à la place ?

A: Le produit en croix fonctionne quand tu as une proportion (une fraction égale à une autre fraction). Pour les équations avec plus de termes, utilise la méthode du PPCM.

Q: Et si ma réponse est une fraction ?

A: C'est parfaitement normal ! Beaucoup d'équations avec fractions ont des solutions fractionnaires. Vérifie simplement en substituant la fraction dans l'équation d'origine.