Équations avec des fractions

Apprends à résoudre des équations contenant des fractions en éliminant les dénominateurs et en utilisant les opérations inverses.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une équation avec des fractions contient une ou plusieurs fractions avec des variables. Pour résoudre ces équations, on élimine les dénominateurs en multipliant chaque terme par le Plus Petit Commun Multiple (PPCM).
Stratégie générale :
  1. 1.Trouve le PPCM de tous les dénominateurs
  2. 2.Multiplie chaque terme par le PPCM
  3. 3.Simplifie (les fractions disparaissent !)
  4. 4.Résous l'équation obtenue
  5. 5.Vérifie ta réponse
Exemple :
x2+13=56\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}
Le PPCM de 2, 3 et 6 est 6. Multiplie chaque terme par 6 :
6⋅x2+6⋅13=6⋅566 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{1}{3} = 6 \cdot \frac{5}{6}
3x+2=53x + 2 = 5
3x=33x = 3
x=1x = 1

Essaie tout de suite

Quelle est la première étape pour résoudre x5=4\frac{x}{5} = 4 ?

Exemples résolus

Résous : x4=3\frac{x}{4} = 3
1

Identifie l'opération appliquée à x

xx est divisé par 4 → Division par 4
2

Applique l'opération inverse

Multiplie les deux membres par 4 → 4⋅x4=4⋅34 \cdot \frac{x}{4} = 4 \cdot 3
3

Simplifie

x=12x = 12
4

Vérifie

124=3\frac{12}{4} = 3 ✓ → Solution vérifiée

Erreurs courantes

Multiplier seulement certains termes par le PPCM

Pourquoi c'est faux: Lors de l'élimination des dénominateurs, tu dois multiplier CHAQUE terme (y compris les nombres entiers) par le PPCM pour garder l'équation équilibrée.

Correct: Dans x2+x3=5\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5, multiplie TOUS les termes par 6, y compris le 5 : 6⋅x2+6⋅x3=6⋅56 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot 5 donne 3x+2x=303x + 2x = 30, pas 3x+2x=53x + 2x = 5

Oublier de développer après avoir éliminé les fractions

Pourquoi c'est faux: Quand tu multiplies x+14\frac{x + 1}{4} par 12, tu obtiens 3(x+1)3(x + 1) : le 3 multiplie tout le numérateur, donc xx et 11.

Correct: 12⋅x+14=3(x+1)=3x+312 \cdot \frac{x + 1}{4} = 3(x + 1) = 3x + 3, pas 3x+13x + 1

Utiliser un mauvais PPCM

Pourquoi c'est faux: Un multiple commun plus grand (comme 24 pour 4 et 6) fonctionne aussi mais donne de plus grands nombres ; un nombre qui n'est pas un multiple commun laisse des fractions dans l'équation.

Correct: Le PPCM de 4 et 6 est 12, pas 24. Trouve le PLUS PETIT commun multiple, pas n'importe quel multiple commun.

Ne pas vérifier la réponse

Pourquoi c'est faux: Éliminer les fractions demande plusieurs multiplications, une erreur arrive vite. Quand une variable est au dénominateur, une valeur peut même rendre un dénominateur nul (solution parasite).

Correct: Remplace toujours x par ta réponse dans l'équation d'origine pour vérifier qu'elle fonctionne.

Visuel interactif

Résolveur d'équations

Résoudre pour xx:

x4=3\frac{x}{4} = 3
1
x4=3\frac{x}{4} = 3
Multiplier les deux côtés par le dénominateur commun 44Il n'y a plus de fractions

Conseils:

  • • Ce que tu fais d'un côté, fais-le de l'autre
  • • Annule les opérations dans l'ordre inverse
  • • Vérifie ta réponse en substituant

Suis pendant que nous résolvons l'équation étape par étape.

Balance

(1/4)x=3
(1/4)x
3
Appliquer aux deux côtés:

Solution: x = 12

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

17 exercices
Problème 1 sur 17
Facile
Quelle est la première étape pour résoudre x5=4\frac{x}{5} = 4 ?

Pourquoi c'est important

Les équations avec des fractions apparaissent constamment dans la vie réelle :
  • Cuisine : Adapter une recette de 6 personnes à 4 personnes, c'est prendre 23\frac{2}{3} de chaque quantité. Si la petite version demande 2 tasses de farine, l'équation 23x=2\frac{2}{3}x = 2 donne la quantité d'origine : x=3x = 3 tasses
  • Finances : Calculer combien de temps épargner quand tu mets 14\frac{1}{4} de ton revenu de côté chaque mois
  • Sciences : Problèmes de vitesse comme dt=r\frac{d}{t} = r (distance, temps, vitesse)
  • Construction : Échelles de plans où 150\frac{1}{50} signifie résoudre x50=12\frac{x}{50} = 12
Maîtriser cette compétence ouvre des portes pour résoudre des proportions, des équations rationnelles et des problèmes concrets !

Applications dans le monde réel

Adapter les recettes

Les cuisiniers doivent souvent ajuster les recettes quand ils cuisinent pour différents nombres de personnes.

Exemple:

Une recette utilise 34\frac{3}{4} tasse de farine pour 12 biscuits. Combien de farine pour 20 biscuits ? Résous 3/412=x20\frac{3/4}{12} = \frac{x}{20}.

1Essaie par toi-même

Une recette de smoothie demande 23\frac{2}{3} tasse de baies pour 2 portions. Tu veux faire 5 portions.

De combien de tasses de baies as-tu besoin ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Établis la proportion : 2/32=x5\frac{2/3}{2} = \frac{x}{5}

Problèmes de travail partagé

Quand deux personnes travaillent ensemble, leur taux de travail combiné détermine la vitesse à laquelle elles terminent.

Exemple:

Si Marie peut peindre une pièce en 4 heures et Jean en 6 heures, ensemble ils complètent 14+16\frac{1}{4} + \frac{1}{6} de la pièce par heure.

2Essaie par toi-même

Le tuyau A remplit un réservoir en 3 heures. Le tuyau B le remplit en 6 heures. Avec les deux tuyaux ouverts, quelle fraction du réservoir se remplit en 1 heure ?

Quelle fraction du réservoir est remplie par heure ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Additionne les débits : 13+16\frac{1}{3} + \frac{1}{6}

Vitesse et distance

La formule $d = rt$ (distance = vitesse fois temps) implique souvent des fractions quand les temps ne sont pas des nombres entiers.

Exemple:

Si tu voyages 34\frac{3}{4} d'heure à 60 km/h, tu parcours 60×34=4560 \times \frac{3}{4} = 45 km.

3Essaie par toi-même

Un cycliste parcourt 15 km en 23\frac{2}{3} d'heure.

Quelle est la vitesse moyenne du cycliste en km/h ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise r=dtr = \frac{d}{t} : r=152/3r = \frac{15}{2/3}

Points clés

  • 1Pour résoudre des équations avec fractions, trouve le PPCM et multiplie chaque terme pour éliminer les dénominateurs
  • 2La méthode de l'inverse fonctionne bien quand une fraction multiplie la variable : multiplie les deux membres par l'inverse
  • 3Développe toujours soigneusement lors de l'élimination de fractions avec expressions au numérateur
  • 4Vérifie ta réponse en la substituant dans l'équation d'origine

Questions fréquentes

Multiplier par le PPCM élimine tous les dénominateurs d'un coup, transformant l'équation fractionnaire en une équation plus simple avec des nombres entiers. Cela rend la résolution beaucoup plus facile.
Multiplier par le PPCM élimine tous les dénominateurs d'un coup, transformant l'équation fractionnaire en une équation plus simple avec des nombres entiers. Cela rend la résolution beaucoup plus facile.
Le produit en croix fonctionne quand tu as une proportion (une fraction égale à une autre fraction). Pour les équations avec plus de termes, utilise la méthode du PPCM.
C'est parfaitement normal ! Beaucoup d'équations avec fractions ont des solutions fractionnaires. Vérifie simplement en substituant la fraction dans l'équation d'origine.

Glossaire

PPCM (Plus Petit Commun Multiple)
Le plus petit nombre qui est un multiple de tous les dénominateurs d'une équation
Inverse
Le retournement d'une fraction ; l'inverse de ab\frac{a}{b} est ba\frac{b}{a}
Éliminer les dénominateurs
Multiplier chaque terme par le PPCM pour supprimer toutes les fractions
Solution parasite
Une solution qui émerge de la résolution mais ne satisfait pas l'équation d'origine

Carte des formules

Méthode du PPCM

Multiplier tous les termes par le PPCM

Élimine toutes les fractions d'un coup

Méthode de l'inverse

Si abx=c\frac{a}{b}x = c, alors x=c⋅bax = c \cdot \frac{b}{a}

Multiplie par l'inverse du coefficient

Produit en croix

Si ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, alors ad=bcad = bc

Uniquement pour les proportions

Défi du jourUn problème, trois essais

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