Différence de carrés

Apprends à reconnaître et factoriser les expressions de la forme a au carré moins b au carré.

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Définition

La différence de carrés est un motif de factorisation spécial :
a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
Ce motif fonctionne car lorsqu'on développe (a+b)(a−b)(a + b)(a - b), les termes du milieu s'annulent :
(a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2
Les deux facteurs (a+b)(a + b) et (a−b)(a - b) sont appelés conjugués - ils ont les mêmes termes mais des signes opposés au milieu.

Essaie tout de suite

Quelle expression est une différence de carrés ?

Exemples résolus

Factorise x2−16x^2 - 16
1

Vérifie si c'est une différence de carrés

x2x^2 est un carré parfait, 16=4216 = 4^2 est un carré parfait, et il y a un signe moins entre eux → Oui, c'est une différence de carrés
2

Identifie aa et bb

a2=x2⇒a=xa^2 = x^2 \Rightarrow a = x, et b2=16⇒b=4b^2 = 16 \Rightarrow b = 4 → a=xa = x, b=4b = 4
3

Applique la formule

a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) → (x+4)(x−4)(x + 4)(x - 4)
4

Vérifie en développant

(x+4)(x−4)=x2−4x+4x−16=x2−16(x + 4)(x - 4) = x^2 - 4x + 4x - 16 = x^2 - 16 \checkmark → Correct !

Erreurs courantes

Essayer de factoriser a2+b2a^2 + b^2 comme (a+b)(a−b)(a + b)(a - b)

Pourquoi c'est faux: Le motif ne fonctionne que pour la SOUSTRACTION. Quand tu développes (a+b)(a−b)(a + b)(a - b), tu obtiens a2−b2a^2 - b^2, pas a2+b2a^2 + b^2.

Correct: La somme de carrés a2+b2a^2 + b^2 ne peut pas être factorisée sur les nombres réels. Seule la DIFFÉRENCE de carrés peut être factorisée.

Oublier de vérifier si chaque facteur peut être factorisé davantage

Pourquoi c'est faux: Certaines expressions comme x4−16x^4 - 16 peuvent être factorisées plusieurs fois : d'abord en (x2+4)(x2−4)(x^2 + 4)(x^2 - 4), puis (x2−4)(x^2 - 4) se factorise encore.

Correct: Vérifie toujours : le résultat est-il encore une différence de carrés ? Si oui, factorise encore jusqu'à ce qu'aucune autre factorisation ne soit possible.

Ne pas reconnaître les carrés parfaits comme 4949, 121121 ou 4x24x^2

Pourquoi c'est faux: Pour utiliser ce motif, tu dois identifier que les deux termes sont des carrés parfaits.

Correct: Mémorise les carrés parfaits : 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,1441, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Pour les variables : (2x)2=4x2(2x)^2 = 4x^2, (3y)2=9y2(3y)^2 = 9y^2.

Visuel interactif

Modèle d'aire : différence de carrés

Découpe un coin a × a dans x² : le reste se réarrange en un rectangle (x + a) × (x − a).

(x−4)2(x - 4)^2
4(x−4)4(x - 4)
4(x−4)4(x - 4)
−16-16
x−4x - 4
44
x−4x - 4
44

Longueur × largeur = aire

(x+4)(x−4)=x2−16(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16

Retire le coin 4 × 4 (16) de x² : x² − 16 = (x + 4)(x − 4).

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Quelle expression est une différence de carrés ?

Pourquoi c'est important

Le motif de la différence de carrés est l'un des raccourcis les plus utiles en algèbre :
  • Calcul mental : Calcule 47×5347 \times 53 instantanément comme 502−32=2500−9=249150^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491
  • Simplification : Factorise rapidement des expressions complexes sans tâtonnement
  • Résolution de problèmes : De nombreux problèmes de géométrie et de physique utilisent ce motif
  • Fondation : Ce motif apparaît dans le calcul différentiel et les mathématiques avancées
Reconnaître ce motif fait gagner du temps et réduit les erreurs dans d'innombrables problèmes d'algèbre !

Applications dans le monde réel

Calcul mental de multiplication

Calcule des produits de nombres équidistants d'un nombre rond en utilisant le motif de la différence de carrés.

Exemple:

Pour calculer 23×2723 \times 27 : Les deux nombres sont à 2 de 25, donc 23×27=(25−2)(25+2)=252−22=625−4=62123 \times 27 = (25-2)(25+2) = 25^2 - 2^2 = 625 - 4 = 621

1Essaie par toi-même

Un magasin vend des articles à 48 euros et 52 euros. Un client achète un de chaque.

Utilise la différence de carrés pour trouver le total mentalement.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris comme (50−2)(50+2)(50-2)(50+2) et simplifie :

Aire et géométrie

La différence de carrés apparaît lors du calcul de l'aire entre deux carrés.

Exemple:

Un grand carré a un côté de x+3x + 3 et un petit carré à l'intérieur a un côté de x−3x - 3. L'aire du cadre est (x+3)2−(x−3)2(x+3)^2 - (x-3)^2. Avec notre motif (avec a=x+3a = x+3 et b=x−3b = x-3) : =[(x+3)+(x−3)][(x+3)−(x−3)]=(2x)(6)=12x= [(x+3)+(x-3)][(x+3)-(x-3)] = (2x)(6) = 12x

2Essaie par toi-même

Un cadre photo est fabriqué en découpant un trou carré (côté 10 cm) d'un carré plus grand (côté 14 cm).

Trouve l'aire du cadre en utilisant la différence de carrés.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule 142−10214^2 - 10^2 avec le motif :

Points clés

  • 1La formule de la différence de carrés est a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
  • 2Les deux termes doivent être des carrés parfaits avec un signe moins entre eux
  • 3Les facteurs (a+b)(a + b) et (a−b)(a - b) sont appelés conjugués
  • 4Vérifie toujours si le résultat peut être factorisé davantage (comme x4−16x^4 - 16)
  • 5La somme de carrés a2+b2a^2 + b^2 ne peut pas être factorisée sur les nombres réels

Questions fréquentes

Non, la somme de carrés ne peut pas être factorisée avec les nombres réels. Le motif de la différence de carrés fonctionne UNIQUEMENT quand il y a un signe moins : a2−b2a^2 - b^2.
Non, la somme de carrés ne peut pas être factorisée avec les nombres réels. Le motif de la différence de carrés fonctionne UNIQUEMENT quand il y a un signe moins : a2−b2a^2 - b^2.
Quand tu développes (a+b)(a−b)(a+b)(a-b), tu obtiens a2−ab+ab−b2a^2 - ab + ab - b^2. Les termes −ab-ab et +ab+ab s'annulent, il ne reste que a2−b2a^2 - b^2.
Pour les nombres : vérifie s'il est dans la liste 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, etc. Pour les variables : l'exposant doit être pair (comme x2x^2, x4x^4, y6y^6), et tout coefficient doit lui-même être un carré parfait (comme 4x2=(2x)24x^2 = (2x)^2).

Glossaire

Différence de carrés
Une expression de la forme a2−b2a^2 - b^2 qui se factorise en (a+b)(a−b)(a+b)(a-b)
Carré parfait
Un nombre ou une expression qui est le carré d'un entier ou d'un monôme (par ex. 16, x2x^2, 9y49y^4)
Conjugués
Une paire de binômes qui ne diffèrent que par le signe entre leurs termes : (a+b)(a+b) et (a−b)(a-b)
Factoriser complètement
Décomposer une expression en facteurs qui ne peuvent plus être factorisés

Carte des formules

Différence de carrés

a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Factorise la différence de deux carrés parfaits en binômes conjugués

Carré d'une somme

a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

Factorise un trinôme comme le carré d'une somme

Carré d'une différence

a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2

Factorise un trinôme comme le carré d'une différence

Défi du jourUn problème, trois essais

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