Différence de carrés basique

Factorise $x^2 - 16$

Vérifie si c'est une différence de carrés: $x^2$ est un carré parfait, $16 = 4^2$ est un carré parfait, et il y a un signe moins entre eux = Oui, c'est une différence de carrés

Identifie $a$ et $b$: $a^2 = x^2 \Rightarrow a = x$, et $b^2 = 16 \Rightarrow b = 4$ = $a = x$, $b = 4$

Applique la formule: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ = $(x + 4)(x - 4)$

Vérifie en développant: $(x + 4)(x - 4) = x^2 - 4x + 4x - 16 = x^2 - 16$ \checkmark = Correct !

Answer: $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$

Coefficient supérieur à 1

Factorise $9y^2 - 25$

Identifie les carrés parfaits: $9y^2 = (3y)^2$ et $25 = 5^2$ = Les deux sont des carrés parfaits

Identifie $a$ et $b$: $a = 3y$ et $b = 5$ = $a = 3y$, $b = 5$

Applique la formule: $(3y)^2 - 5^2 = (3y + 5)(3y - 5)$ = $(3y + 5)(3y - 5)$

Vérifie: $(3y + 5)(3y - 5) = 9y^2 - 15y + 15y - 25 = 9y^2 - 25$ \checkmark = Correct !

Answer: $9y^2 - 25 = (3y + 5)(3y - 5)$

Factorisation multiple

Factorise complètement : $x^4 - 81$

Reconnais comme différence de carrés: $x^4 = (x^2)^2$ et $81 = 9^2$ = $(x^2)^2 - 9^2$

Applique la formule une fois: $(x^2 + 9)(x^2 - 9)$ = Première factorisation terminée

Vérifie si les facteurs peuvent être factorisés davantage: $x^2 + 9$ est une somme de carrés (ne peut pas être factorisée sur les réels), mais $x^2 - 9$ est une autre différence de carrés ! = $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$

Écris la factorisation complète: $x^4 - 81 = (x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)$ = Complètement factorisé

Answer: $x^4 - 81 = (x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)$

Mistake: Essayer de factoriser $a^2 + b^2$ comme $(a + b)(a - b)$

Why: Le motif ne fonctionne que pour la SOUSTRACTION. Quand tu développes $(a + b)(a - b)$, tu obtiens $a^2 - b^2$, pas $a^2 + b^2$.

Correct: La somme de carrés $a^2 + b^2$ ne peut pas être factorisée sur les nombres réels. Seule la DIFFÉRENCE de carrés peut être factorisée.

Mistake: Oublier de vérifier si chaque facteur peut être factorisé davantage

Why: Certaines expressions comme $x^4 - 16$ peuvent être factorisées plusieurs fois : d'abord en $(x^2 + 4)(x^2 - 4)$, puis $(x^2 - 4)$ se factorise encore.

Correct: Vérifie toujours : le résultat est-il encore une différence de carrés ? Si oui, factorise encore jusqu'à ce qu'aucune autre factorisation ne soit possible.

Mistake: Ne pas reconnaître les carrés parfaits comme $49$, $121$ ou $4x^2$

Why: Pour utiliser ce motif, tu dois identifier que les deux termes sont des carrés parfaits.

Correct: Mémorise les carrés parfaits : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$. Pour les variables : $(2x)^2 = 4x^2$, $(3y)^2 = 9y^2$.

Calcul mental de multiplication

Calcule des produits de nombres équidistants d'un nombre rond en utilisant le motif de la différence de carrés.

Pour calculer $23 \times 27$ : Les deux nombres sont à 2 de 25, donc $23 \times 27 = (25-2)(25+2) = 25^2 - 2^2 = 625 - 4 = 621$

Aire et géométrie

La différence de carrés apparaît lors du calcul de l'aire entre deux carrés.

Un grand carré a un côté de $x + 3$ et un petit carré à l'intérieur a un côté de $x - 3$. L'aire du cadre est $(x+3)^2 - (x-3)^2$. Avec notre motif (avec $a = x+3$ et $b = x-3$) : $= [(x+3)+(x-3)][(x+3)-(x-3)] = (2x)(6) = 12x$

Q: Puis-je factoriser $x^2 + 9$ ?

A: Non, la somme de carrés ne peut pas être factorisée avec les nombres réels. Le motif de la différence de carrés fonctionne UNIQUEMENT quand il y a un signe moins : $a^2 - b^2$.

Q: Pourquoi le terme du milieu disparaît-il ?

A: Quand tu développes $(a+b)(a-b)$, tu obtiens $a^2 - ab + ab - b^2$. Les termes $-ab$ et $+ab$ s'annulent, il ne reste que $a^2 - b^2$.

Q: Comment reconnaître un carré parfait ?

A: Pour les nombres : vérifie s'il est dans la liste 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, etc. Pour les variables : l'exposant doit être pair (comme $x^2$, $x^4$, $y^6$), et tout coefficient doit lui-même être un carré parfait (comme $4x^2 = (2x)^2$).