Aire d'un rectangle

Un jardin rectangulaire a une longueur qui dépasse sa largeur de 3 mètres. Si l'aire est de 70 mètres carrés, trouve les dimensions.

Définis la variable: Soit $x$ = largeur du jardin (en mètres) = Longueur = $x + 3$

Écris l'équation de l'aire: Aire = longueur $\times$ largeur\n$70 = (x + 3) \times x$ = $70 = x^2 + 3x$

Réarrange sous forme canonique: $x^2 + 3x - 70 = 0$ = Forme canonique atteinte

Factorise l'équation quadratique: Trouve des facteurs de $-70$ dont la somme est $3$ :\n$10 \times (-7) = -70$ et $10 + (-7) = 3$ = $(x + 10)(x - 7) = 0$

Applique la propriété du produit nul: $x + 10 = 0$ ou $x - 7 = 0$\n$x = -10$ ou $x = 7$ = $x = -10$ ou $x = 7$

Vérifie quelle solution a du sens: La largeur ne peut pas être négative, donc $x = 7$ = Largeur = 7 m, Longueur = 10 m

Answer: Le jardin mesure 7 mètres de large et 10 mètres de long.

Produit d'entiers consécutifs

Le produit de deux entiers positifs consécutifs est 156. Trouve ces entiers.

Définis la variable: Soit $x$ = premier entier = Deuxième entier = $x + 1$

Écris l'équation: Produit = $x(x + 1) = 156$ = $x^2 + x = 156$

Réarrange sous forme canonique: $x^2 + x - 156 = 0$ = Forme canonique atteinte

Factorise l'équation quadratique: Trouve des facteurs de $-156$ dont la somme est $1$ :\n$13 \times (-12) = -156$ et $13 + (-12) = 1$ = $(x + 13)(x - 12) = 0$

Résous pour x: $x = -13$ ou $x = 12$ = Comme les entiers sont positifs, $x = 12$

Trouve les deux entiers: Premier = 12, Deuxième = $12 + 1 = 13$ = Vérification : $12 \times 13 = 156$ ✓

Answer: Les entiers consécutifs sont 12 et 13.

Mouvement de projectile

Une balle est lancée vers le haut depuis le sol avec une vitesse initiale de 15 mètres par seconde. Sa hauteur $h$ (en mètres) après $t$ secondes est donnée par $h = 15t - 5t^2$. Quand la balle touchera-t-elle le sol ?

Établis l'équation: La balle touche le sol quand $h = 0$\n$0 = 15t - 5t^2$ = $15t - 5t^2 = 0$

Mets en facteur le PGCD: $5t(3 - t) = 0$ = Le PGCD est $5t$

Applique la propriété du produit nul: $5t = 0$ ou $3 - t = 0$\n$t = 0$ ou $t = 3$ = Deux solutions trouvées

Interprète les solutions: $t = 0$ : quand la balle a été lancée\n$t = 3$ : quand elle atterrit = La balle atterrit à $t = 3$

Answer: La balle touchera le sol après 3 secondes.

Bordure de cadre photo

Une photo de 8 cm sur 12 cm est placée dans un cadre avec une bordure uniforme. Si l'aire totale (photo plus cadre) est de 192 centimètres carrés, trouve la largeur de la bordure.

Définis la variable: Soit $x$ = largeur de la bordure (en cm) = Largeur de bordure est $x$

Trouve les dimensions totales: Largeur totale = $8 + 2x$ (bordure des deux côtés)\nLongueur totale = $12 + 2x$ = Dimensions incluant les bordures

Écris l'équation de l'aire: $(8 + 2x)(12 + 2x) = 192$ = Aire totale = 192

Développe et simplifie: $96 + 16x + 24x + 4x^2 = 192$\n$4x^2 + 40x + 96 = 192$\n$4x^2 + 40x - 96 = 0$ = Forme développée

Divise par 4 pour simplifier: $x^2 + 10x - 24 = 0$ = Équation simplifiée

Factorise l'équation quadratique: Trouve des facteurs de $-24$ dont la somme est $10$ :\n$12 \times (-2) = -24$ et $12 + (-2) = 10$ = $(x + 12)(x - 2) = 0$

Applique la propriété du produit nul: $x + 12 = 0$ ou $x - 2 = 0$\n$x = -12$ ou $x = 2$ = $x = -12$ ou $x = 2$

Vérifie quelle solution a du sens: La largeur ne peut pas être négative, donc $x = 2$ = Largeur de bordure = 2 cm

Answer: La bordure mesure 2 cm de large.

Mistake: Oublier de vérifier si la solution a du sens dans le contexte

Why: Mathématiquement, $x = -10$ pourrait être une solution valide de l'équation, mais une largeur ne peut pas être négative dans la vie réelle.

Correct: Demande-toi toujours : Cette réponse a-t-elle du sens ? Rejette les valeurs négatives pour les longueurs, temps ou quantités qui doivent être positives.

Mistake: Établir l'équation incorrectement

Why: Mal interpréter des expressions comme '3 de plus que' ou '5 de moins que' conduit à des équations fausses.

Correct: '3 de plus que $x$' signifie $x + 3$. '5 de moins que $x$' signifie $x - 5$. Lis attentivement et vérifie ta traduction.

Mistake: Oublier de réarranger sous forme canonique avant de factoriser

Why: Tu ne peux utiliser la factorisation efficacement que lorsque l'équation est égale à zéro.

Correct: Déplace toujours tous les termes d'un côté : $ax^2 + bx + c = 0$ avant d'essayer de factoriser.

Mistake: Oublier la deuxième bordure dans les problèmes d'aire

Why: Une bordure de cadre s'ajoute des DEUX côtés, donc largeur totale = originale + $2x$, pas $x$.

Correct: Pour les bordures ou marges, souviens-toi qu'elles sont ajoutées des deux côtés. Dessine un schéma pour visualiser.

Architecture et design

Les architectes connaissent souvent l'aire nécessaire mais doivent calculer les dimensions selon des contraintes.

Une pièce doit avoir 20 mètres carrés de surface au sol. Si la longueur doit dépasser la largeur de 4 mètres, quelles sont les dimensions ?

Sports et physique

La hauteur des objets lancés suit une trajectoire quadratique. La factorisation aide à trouver les moments clés.

La hauteur d'un ballon de basket (en mètres) est $h = -5t^2 + 6t + 2$. Quand le ballon est-il à 2 mètres ?

Commerce et économie

Les équations de profit sont souvent quadratiques. Trouver les seuils de rentabilité utilise la factorisation.

Le profit d'une entreprise est modélisé par $P = -x^2 + 50x - 400$, où $x$ est le nombre d'unités vendues. Trouve les seuils de rentabilité (où $P = 0$).

Q: Que faire si l'équation quadratique ne se factorise pas bien ?

A: Tous les problèmes ne conduisent pas à des équations qui se factorisent avec des entiers. Si tu ne trouves pas de facteurs entiers, tu devras peut-être utiliser la formule quadratique : $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Q: Comment savoir quelle solution utiliser quand j'obtiens deux réponses ?

A: Considère le contexte. Pour les grandeurs physiques comme longueur, largeur, temps ou quantité, les solutions négatives sont généralement rejetées. Choisis la solution qui a du sens dans la situation réelle.

Q: Pourquoi les problèmes d'aire donnent-ils des équations quadratiques ?

A: Aire = longueur $\times$ largeur. Quand les deux dimensions dépendent de la même variable $x$ (comme $x$ et $x + 3$), leur multiplication crée un terme en $x^2$, ce qui la rend quadratique.