Problèmes de factorisation

Applique les techniques de factorisation pour résoudre des problèmes concrets impliquant des aires, des mouvements de projectiles et des relations numériques.

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Définition

Les problèmes de factorisation nécessitent de traduire des situations de la vie réelle en équations quadratiques, puis de les résoudre par factorisation.
L'approche générale :
  1. 1.Lis le problème attentivement et identifie ce qu'on cherche
  2. 2.Définis ta variable (soit xx = ...)
  3. 3.Traduis les mots en équation
  4. 4.Réarrange sous forme canonique : ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
  5. 5.Factorise l'expression quadratique
  6. 6.Résous en utilisant la propriété du produit nul
  7. 7.Vérifie que ta réponse a du sens dans le contexte
Types courants de problèmes de factorisation :
  • Problèmes d'aire : Relations entre longueur et largeur
  • Problèmes numériques : Entiers consécutifs, relations de produit
  • Mouvement de projectile : Hauteur en fonction du temps

Essaie tout de suite

Un champ rectangulaire a une longueur de (x+5)(x + 5) mètres et une largeur de xx mètres. Quelle expression représente son aire ?

Exemples résolus

Un jardin rectangulaire a une longueur qui dépasse sa largeur de 3 mètres. Si l'aire est de 70 mètres carrés, trouve les dimensions.
1

Définis la variable

Soit xx = largeur du jardin (en mètres) → Longueur = x+3x + 3
2

Écris l'équation de l'aire

Aire = longueur ×\times largeur\n70=(x+3)×x70 = (x + 3) \times x → 70=x2+3x70 = x^2 + 3x
3

Réarrange sous forme canonique

x2+3x−70=0x^2 + 3x - 70 = 0 → Forme canonique atteinte
4

Factorise l'équation quadratique

Trouve des facteurs de −70-70 dont la somme est 33 :\n10×(−7)=−7010 \times (-7) = -70 et 10+(−7)=310 + (-7) = 3 → (x+10)(x−7)=0(x + 10)(x - 7) = 0
5

Applique la propriété du produit nul

x+10=0x + 10 = 0 ou x−7=0x - 7 = 0\nx=−10x = -10 ou x=7x = 7
6

Vérifie quelle solution a du sens

La largeur ne peut pas être négative, donc x=7x = 7 → Largeur = 7 m, Longueur = 10 m

Erreurs courantes

Oublier de vérifier si la solution a du sens dans le contexte

Pourquoi c'est faux: Mathématiquement, x=−10x = -10 pourrait être une solution valide de l'équation, mais une largeur ne peut pas être négative dans la vie réelle.

Correct: Demande-toi toujours : Cette réponse a-t-elle du sens ? Rejette les valeurs négatives pour les longueurs, temps ou quantités qui doivent être positives.

Établir l'équation incorrectement

Pourquoi c'est faux: Mal interpréter des expressions comme '3 de plus que' ou '5 de moins que' conduit à des équations fausses.

Correct: '3 de plus que xx' signifie x+3x + 3. '5 de moins que xx' signifie x−5x - 5. Lis attentivement et vérifie ta traduction.

Oublier de réarranger sous forme canonique avant de factoriser

Pourquoi c'est faux: Tu ne peux utiliser la factorisation efficacement que lorsque l'équation est égale à zéro.

Correct: Déplace toujours tous les termes d'un côté : ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 avant d'essayer de factoriser.

Oublier la deuxième bordure dans les problèmes d'aire

Pourquoi c'est faux: Une bordure de cadre s'ajoute des DEUX côtés, donc largeur totale = originale + 2x2x, pas xx.

Correct: Pour les bordures ou marges, souviens-toi qu'elles sont ajoutées des deux côtés. Dessine un schéma pour visualiser.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-0,500,511,522,533,5010203040th(0 ; 0)(3 ; 0)(1,5 ; 36)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

h = 48t - 16t^2
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (0 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (3 ; 0)
  • Sommet : (1,5 ; 36)

Résolveur d'équations

Résoudre pour xx:

x(x+3)=70x\left(x + 3\right) = 70
1
x(x+3)=70x\left(x + 3\right) = 70
Tout passer d'un côté : ax² + bx + c = 0Une équation du second degré se résout sous sa forme développée

Conseils:

  • • Ce que tu fais d'un côté, fais-le de l'autre
  • • Annule les opérations dans l'ordre inverse
  • • Vérifie ta réponse en substituant

Suis pendant que nous résolvons l'équation étape par étape.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Un champ rectangulaire a une longueur de (x+5)(x + 5) mètres et une largeur de xx mètres. Quelle expression représente son aire ?

Pourquoi c'est important

Les problèmes de factorisation connectent l'algèbre abstraite aux applications pratiques :
  • Architecture : Calculer des dimensions quand on connaît l'aire
  • Sports : Déterminer quand une balle atteint une certaine hauteur
  • Commerce : Trouver les seuils de rentabilité dans les équations de profit
  • Ingénierie : Concevoir des espaces avec des exigences d'aire spécifiques
Maîtriser ces problèmes montre que tu peux appliquer le raisonnement mathématique à de vrais défis.

Applications dans le monde réel

Architecture et design

Les architectes connaissent souvent l'aire nécessaire mais doivent calculer les dimensions selon des contraintes.

Exemple:

Une pièce doit avoir 20 mètres carrés de surface au sol. Si la longueur doit dépasser la largeur de 4 mètres, quelles sont les dimensions ?

1Essaie par toi-même

Tu conçois une piscine rectangulaire avec une aire de 150 mètres carrés. La longueur est le double de la largeur.

Quelles sont les dimensions de la piscine ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Établis : largeur =x= x, longueur =2x= 2x, aire =x×2x=150= x \times 2x = 150

Sports et physique

La hauteur des objets lancés suit une trajectoire quadratique. La factorisation aide à trouver les moments clés.

Exemple:

La hauteur d'un ballon de basket (en mètres) est h=−5t2+6t+2h = -5t^2 + 6t + 2. Quand le ballon est-il à 2 mètres ?

2Essaie par toi-même

La hauteur d'une fusée est modélisée par h=−5t2+30th = -5t^2 + 30t. Quand revient-elle au sol ?

Trouve le moment où h=0h = 0 (retour au sol).

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous : −5t2+30t=0-5t^2 + 30t = 0

Commerce et économie

Les équations de profit sont souvent quadratiques. Trouver les seuils de rentabilité utilise la factorisation.

Exemple:

Le profit d'une entreprise est modélisé par P=−x2+50x−400P = -x^2 + 50x - 400, où xx est le nombre d'unités vendues. Trouve les seuils de rentabilité (où P=0P = 0).

3Essaie par toi-même

Le revenu est R=100x−x2R = 100x - x^2 et les coûts sont C=60x+200C = 60x + 200. Trouve le seuil de rentabilité.

Pose profit =0= 0 (Revenu −- Coûts =0= 0) et résous.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Profit : (100x−x2)−(60x+200)=0(100x - x^2) - (60x + 200) = 0

Points clés

  • 1Lis le problème attentivement et identifie ce qu'on cherche avant d'écrire des équations
  • 2Définis ta variable clairement (soit xx = ...) et exprime les autres quantités en fonction de xx
  • 3Traduis les expressions verbales en expressions algébriques : '3 de plus que' signifie +3+ 3, 'produit' signifie multiplier
  • 4Réarrange l'équation sous forme canonique (ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0) avant de factoriser
  • 5Applique la propriété du produit nul après factorisation pour trouver les solutions
  • 6Vérifie toujours si tes solutions ont du sens dans le contexte réel (pas de longueurs ou temps négatifs)

Questions fréquentes

Tous les problèmes ne conduisent pas à des équations qui se factorisent avec des entiers. Si tu ne trouves pas de facteurs entiers, tu devras peut-être utiliser la formule quadratique : x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Tous les problèmes ne conduisent pas à des équations qui se factorisent avec des entiers. Si tu ne trouves pas de facteurs entiers, tu devras peut-être utiliser la formule quadratique : x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Considère le contexte. Pour les grandeurs physiques comme longueur, largeur, temps ou quantité, les solutions négatives sont généralement rejetées. Choisis la solution qui a du sens dans la situation réelle.
Aire = longueur ×\times largeur. Quand les deux dimensions dépendent de la même variable xx (comme xx et x+3x + 3), leur multiplication crée un terme en x2x^2, ce qui la rend quadratique.

Glossaire

Problème concret
Un problème mathématique présenté en langage courant qui nécessite une traduction en équations
Forme canonique
Une équation quadratique écrite sous la forme ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
Propriété du produit nul
Si ab=0ab = 0, alors a=0a = 0 ou b=0b = 0 (utilisée après factorisation pour trouver les solutions)
Entiers consécutifs
Entiers qui se suivent dans l'ordre, comme 5, 6, 7 ou représentés par xx, x+1x+1, x+2x+2
Mouvement de projectile
La trajectoire d'un objet lancé, suivant typiquement une trajectoire parabolique (quadratique)
Défi du jourUn problème, trois essais

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