Somme et Différence de Cubes

Apprends à factoriser des expressions de la forme a³ + b³ et a³ - b³ en utilisant des formules spéciales.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La somme de cubes et la différence de cubes sont des schémas de factorisation spéciaux pour des expressions où deux cubes parfaits sont additionnés ou soustraits.

Formule de la Somme de Cubes

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Formule de la Différence de Cubes

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Astuce mnémotechnique : MOTP
  • Même signe (que l'original)
  • Opposé
  • Toujours Positif
Dans (a±b)(a2∓ab+b2)(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) :
  • Premier facteur : même signe que l'original
  • Terme du milieu du trinôme : signe opposé
  • Dernier terme du trinôme : toujours positif

Essaie tout de suite

Lequel des nombres suivants est un cube parfait ?

Exemples résolus

Factorise x3+8x^3 + 8
1

Identifie les cubes parfaits

x3=(x)3x^3 = (x)^3 et 8=238 = 2^3 → a=xa = x, b=2b = 2
2

Applique la formule de la somme de cubes

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) → (x+2)(x2−2x+4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)
3

Vérifie en développant (optionnel)

(x+2)(x2−2x+4)=x3−2x2+4x+2x2−4x+8(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 - 2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x + 8 → x3+8x^3 + 8 \checkmark

Erreurs courantes

Confondre le schéma des signes dans le trinôme

Pourquoi c'est faux: Les élèves oublient souvent si le terme du milieu est positif ou négatif.

Correct: Utilise MOTP : Même, Opposé, Toujours Positif. Le terme du milieu a le signe OPPOSÉ au facteur binôme.

Penser que a2−ab+b2a^2 - ab + b^2 peut être factorisé davantage

Pourquoi c'est faux: Ce trinôme semble pouvoir être factorisé, mais il ne peut pas l'être sur les nombres réels.

Correct: Les trinômes a2−ab+b2a^2 - ab + b^2 et a2+ab+b2a^2 + ab + b^2 sont tous deux premiers (ne peuvent pas être factorisés davantage).

Ne pas identifier correctement les cubes

Pourquoi c'est faux: Les élèves peuvent ne pas reconnaître des nombres comme 2727, 6464 ou 125125 comme des cubes parfaits.

Correct: Mémorise les dix premiers cubes : 1,8,27,64,125,216,343,512,729,10001, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.

Ne pas mettre en facteur le PGCD d'abord

Pourquoi c'est faux: Passer directement aux formules de cubes sans vérifier les facteurs communs.

Correct: Vérifie toujours s'il y a un PGCD avant d'appliquer les formules de factorisation spéciales.

Visuel interactif

Solide composé

Volume

  • Cube: V = s³ = 27 unités³
  • − Cube (trou): V = s³ = 8 unités³

Volume total: 19 unités³

Le volume d'un solide composé est la somme des volumes de ses parties. Un trou est soustrait.

Aire de surface

  • Cube: 54 − 4 (ouvertures) = 50 unités²
  • + Cube (paroi intérieure): 24 − 4 (ouvertures) = 20 unités²

Aire totale: 70 unités²

Dans l'aire, seul l'extérieur compte : là où deux parties se touchent, cette face est cachée et disparaît pour les deux parties. Un trou enlève ses ouvertures et ajoute sa paroi intérieure.

Courbe de la fonction

-4-3-2-10123-20-100102030xy(-2 ; 0)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

x^3 + 8(x + 2)(x^2 - 2x + 4)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (-2 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (-2 ; 0)

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Lequel des nombres suivants est un cube parfait ?

Pourquoi c'est important

La somme et la différence de cubes apparaissent dans les mathématiques avancées :
  • Simplification d'expressions algébriques : De nombreuses expressions complexes peuvent être factorisées avec ces formules
  • Résolution d'équations cubiques : Reconnaître les schémas de cubes aide à résoudre des équations comme x3=27x^3 = 27
  • Analyse mathématique : Ces schémas apparaissent lors de la simplification de limites et de dérivées
  • Physique et ingénierie : Les calculs de volume impliquent souvent des expressions cubiques
Maîtriser ces formules te donne des outils puissants pour simplifier des expressions qui seraient autrement très difficiles à factoriser.

Applications dans le monde réel

Calculs de Volume

Lors du calcul de la différence entre deux conteneurs cubiques, les formules de somme et différence de cubes simplifient l'algèbre.

Exemple:

Un grand cube a un côté de longueur x+2x + 2 et un petit cube a un côté de longueur xx. La différence de volumes est (x+2)3−x3(x+2)^3 - x^3.

1Essaie par toi-même

Un sculpteur retire un cube de 3 cm de côté d'un cube de 5 cm de côté.

Factorise l'expression du volume restant : 53−335^3 - 3^3

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise la formule de la différence de cubes avec a=5a = 5 et b=3b = 3 :

Ingénierie et Physique

Les relations cubiques apparaissent dans les formules de puissance, d'énergie et de dynamique des fluides.

Exemple:

L'énergie cinétique du vent est proportionnelle au cube de la vitesse du vent. Comparer deux vitesses de vent implique des expressions cubiques.

2Essaie par toi-même

La puissance éolienne à la vitesse vv est proportionnelle à v3v^3. Combien de puissance supplémentaire un vent de 10 m/s a-t-il par rapport à un vent de 4 m/s ?

Simplifie 103−4310^3 - 4^3 en factorisant

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Applique la différence de cubes :

Points clés

  • 1Somme de cubes : a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
  • 2Différence de cubes : a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
  • 3Utilise MOTP pour retenir les signes : Même, Opposé, Toujours Positif
  • 4Cubes parfaits à mémoriser : 1,8,27,64,125,216,343,512,729,10001, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000
  • 5Le facteur trinôme (a2±ab+b2a^2 \pm ab + b^2) ne peut pas être factorisé davantage sur les réels
  • 6Mets toujours en facteur le PGCD avant d'appliquer les formules de cubes

Questions fréquentes

Le discriminant de a2−ab+b2a^2 - ab + b^2 est b2−4(1)(b2)=−3b2<0b^2 - 4(1)(b^2) = -3b^2 < 0. Puisqu'il est négatif, il n'y a pas de racines réelles, donc il ne peut pas être factorisé sur les nombres réels.
Le discriminant de a2−ab+b2a^2 - ab + b^2 est b2−4(1)(b2)=−3b2<0b^2 - 4(1)(b^2) = -3b^2 < 0. Puisqu'il est négatif, il n'y a pas de racines réelles, donc il ne peut pas être factorisé sur les nombres réels.
Vérifie si tu peux trouver un entier qui, élevé au cube, donne ce nombre. Par exemple, 64=4364 = 4^3 car 4×4×4=644 \times 4 \times 4 = 64. Mémorise les cubes courants : 1,8,27,64,125,216,343,512,729,10001, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.
Différence de carrés : a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) donne deux binômes. Différence de cubes : a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) donne un binôme et un trinôme.

Glossaire

Cube parfait
Un nombre qui peut s'écrire sous la forme n3n^3 où nn est un entier (ex. 8=238 = 2^3, 27=3327 = 3^3)
Somme de cubes
Une expression de la forme a3+b3a^3 + b^3, qui se factorise en (a+b)(a2−ab+b2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)
Différence de cubes
Une expression de la forme a3−b3a^3 - b^3, qui se factorise en (a−b)(a2+ab+b2)(a - b)(a^2 + ab + b^2)
MOTP
Moyen mnémotechnique : Même, Opposé, Toujours Positif - décrit les signes dans les formules de factorisation des cubes

Carte des formules

Somme de Cubes

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Factorise la somme de deux cubes en binôme et trinôme

Différence de Cubes

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Factorise la différence de deux cubes en binôme et trinôme

Schéma MOTP

(a±b)(a2∓ab+b2)(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

Même, Opposé, Toujours Positif - schéma des signes

Défi du jourUn problème, trois essais

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