Équation basique à deux facteurs

Résous $(x - 5)(x + 3) = 0$

Applique la propriété du produit nul: Si $(x - 5)(x + 3) = 0$, alors un facteur doit être égal à zéro = $x - 5 = 0$ ou $x + 3 = 0$

Résous la première équation: $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ = $x = 5$

Résous la deuxième équation: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ = $x = -3$

Énonce les deux solutions: L'équation a deux solutions = $x = 5$ ou $x = -3$

Answer: $x = 5$ ou $x = -3$

Équation avec facteur commun

Résous $x(x - 7) = 0$

Identifie les facteurs: Les facteurs sont $x$ et $(x - 7)$ = Deux facteurs

Applique la propriété du produit nul: Si $x(x - 7) = 0$, alors $x = 0$ ou $x - 7 = 0$ = Égalise chaque facteur à zéro

Résous chaque équation: $x = 0$ (déjà résolu) et $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$ = $x = 0$ ou $x = 7$

Vérifie les solutions: $0(0-7) = 0(-7) = 0$ \checkmark et $7(7-7) = 7(0) = 0$ \checkmark = Les deux solutions sont correctes

Answer: $x = 0$ ou $x = 7$

Équation nécessitant une factorisation

Résous $x^2 - 4x - 21 = 0$

Factorise le trinôme: Trouve les facteurs de $-21$ qui donnent $-4$ : $(-7) + 3 = -4$ = $(x - 7)(x + 3) = 0$

Applique la propriété du produit nul: $(x - 7)(x + 3) = 0$ signifie $x - 7 = 0$ ou $x + 3 = 0$ = Deux équations

Résous la première équation: $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$ = $x = 7$

Résous la deuxième équation: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ = $x = -3$

Énonce les deux solutions: Vérification : $(7)^2 - 4(7) - 21 = 49 - 28 - 21 = 0$ \checkmark = $x = 7$ ou $x = -3$

Answer: $x = 7$ ou $x = -3$

Équation à trois facteurs

Résous $x(x + 2)(x - 4) = 0$

Applique la propriété du produit nul: Avec trois facteurs, au moins un doit être égal à zéro = $x = 0$ ou $x + 2 = 0$ ou $x - 4 = 0$

Résous chaque équation: $x = 0$, $x = -2$, $x = 4$ = Trois solutions

Énonce toutes les solutions: L'équation cubique a trois racines = $x = 0$, $x = -2$ ou $x = 4$

Answer: $x = 0$, $x = -2$ ou $x = 4$

Équation avec coefficient

Résous $2x^2 + 10x = 0$

Factorise par le PGCD: Les deux termes ont $2x$ comme facteur commun = $2x(x + 5) = 0$

Applique la propriété du produit nul: Si $2x(x + 5) = 0$, alors $2x = 0$ ou $x + 5 = 0$ = Deux équations

Résous la première équation: $2x = 0 \Rightarrow x = 0$ = $x = 0$

Résous la deuxième équation: $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$ = $x = -5$

Vérifie: $2(0)^2 + 10(0) = 0$ \checkmark et $2(-5)^2 + 10(-5) = 50 - 50 = 0$ \checkmark = $x = 0$ ou $x = -5$

Answer: $x = 0$ ou $x = -5$

Mistake: Diviser les deux côtés par un facteur variable

Why: Si tu divises par $x$, tu perds la solution $x = 0$. Par exemple, dans $x(x-3) = 0$, diviser par $x$ donne seulement $x = 3$, en oubliant $x = 0$.

Correct: Ne divise jamais par une variable. Utilise plutôt la propriété du produit nul pour obtenir TOUTES les solutions.

Mistake: Appliquer aux équations non égales à zéro

Why: La propriété fonctionne SEULEMENT quand le produit est égal à zéro. $(x-2)(x+1) = 6$ ne signifie PAS $x-2 = 6$ ou $x+1 = 6$.

Correct: D'abord, ramène tous les termes d'un côté pour obtenir $= 0$, puis factorise, puis applique la propriété.

Mistake: Oublier de factoriser d'abord

Why: L'équation $x^2 - 5x + 6 = 0$ n'est pas encore sous forme factorisée. Tu ne peux pas appliquer la propriété directement.

Correct: Factorise d'abord en $(x-2)(x-3) = 0$, puis applique la propriété du produit nul.

Mistake: Oublier des solutions quand un facteur est juste $x$

Why: Dans $x(x-4) = 0$, les élèves trouvent parfois seulement $x = 4$ et oublient que $x = 0$ est aussi une solution.

Correct: Rappelle-toi : $x$ seul est aussi un facteur ! Si $x = 0$, le produit est zéro.

Mouvement de projectile

Quand tu lances une balle, sa hauteur suit une trajectoire quadratique. Trouver quand la hauteur est nulle te dit quand elle atterrit.

La hauteur d'une balle est modélisée par $h = -16t^2 + 48t$ pieds. En posant $h = 0$ et factorisant : $-16t(t - 3) = 0$, donc $t = 0$ (lancement) ou $t = 3$ secondes (atterrissage).

Analyse du seuil de rentabilité

Les entreprises utilisent des équations quadratiques pour modéliser le profit. La propriété du produit nul trouve les points morts où le profit est nul.

Si le profit $P = x^2 - 100x$ euros où $x$ est le nombre d'unités vendues, alors $x(x - 100) = 0$ donne le seuil de rentabilité à $x = 0$ ou $x = 100$ unités.

Q: Pourquoi cela ne fonctionne-t-il pas pour des produits égaux à d'autres nombres ?

A: Zéro est spécial ! Si $ab = 12$, on ne peut rien conclure sur $a$ ou $b$ individuellement (pourrait être $3 \times 4$, $2 \times 6$, $1 \times 12$, etc.). Mais pour $ab = 0$, au moins un facteur DOIT être zéro.

Q: Que se passe-t-il si le même facteur apparaît deux fois ?

A: Comme $(x-3)^2 = 0$ ? Tu poses quand même $x - 3 = 0$, donnant $x = 3$. C'est ce qu'on appelle une 'racine double' - la parabole touche mais ne traverse pas l'axe des x à cet endroit.

Q: Peut-il y avoir plus de deux solutions ?

A: Oui ! Un polynôme de degré $n$ peut avoir jusqu'à $n$ solutions. Par exemple, $x(x-1)(x+2)(x-3) = 0$ a quatre solutions : $x = 0, 1, -2, 3$.