La propriété du produit nul

Apprends comment la propriété du produit nul aide à résoudre des équations quadratiques en égalisant chaque facteur à zéro.

Intermédiaire25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La propriété du produit nul énonce que si le produit de deux ou plusieurs facteurs est égal à zéro, alors au moins un des facteurs doit être égal à zéro.
Si a⋅b=0, alors a=0 ou b=0 (ou les deux)\text{Si } a \cdot b = 0, \text{ alors } a = 0 \text{ ou } b = 0 \text{ (ou les deux)}
Cette propriété est la clé pour résoudre les équations quadratiques factorisées :
Si (x−3)(x+2)=0\text{Si } (x - 3)(x + 2) = 0
Alors x−3=0 ou x+2=0\text{Alors } x - 3 = 0 \text{ ou } x + 2 = 0
Donc x=3 ou x=−2\text{Donc } x = 3 \text{ ou } x = -2
Pourquoi ça marche ? La seule façon de multiplier des nombres et d'obtenir zéro est si au moins l'un d'entre eux est zéro. Essaie : 5×0=05 \times 0 = 0, 0×(−7)=00 \times (-7) = 0, mais 3×4=12≠03 \times 4 = 12 \neq 0.

Essaie tout de suite

Que dit la propriété du produit nul ?

Exemples résolus

Résous (x−5)(x+3)=0(x - 5)(x + 3) = 0
1

Applique la propriété du produit nul

Si (x−5)(x+3)=0(x - 5)(x + 3) = 0, alors un facteur doit être égal à zéro → x−5=0x - 5 = 0 ou x+3=0x + 3 = 0
2

Résous la première équation

x−5=0⇒x=5x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5
3

Résous la deuxième équation

x+3=0⇒x=−3x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3
4

Énonce les deux solutions

L'équation a deux solutions → x=5x = 5 ou x=−3x = -3

Erreurs courantes

Diviser les deux côtés par un facteur variable

Pourquoi c'est faux: Si tu divises par xx, tu perds la solution x=0x = 0. Par exemple, dans x(x−3)=0x(x-3) = 0, diviser par xx donne seulement x=3x = 3, en oubliant x=0x = 0.

Correct: Ne divise jamais par une variable. Utilise plutôt la propriété du produit nul pour obtenir TOUTES les solutions.

Appliquer aux équations non égales à zéro

Pourquoi c'est faux: La propriété fonctionne SEULEMENT quand le produit est égal à zéro. (x−2)(x+1)=6(x-2)(x+1) = 6 ne signifie PAS x−2=6x-2 = 6 ou x+1=6x+1 = 6.

Correct: D'abord, ramène tous les termes d'un côté pour obtenir =0= 0, puis factorise, puis applique la propriété.

Oublier de factoriser d'abord

Pourquoi c'est faux: L'équation x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 n'est pas encore sous forme factorisée. Tu ne peux pas appliquer la propriété directement.

Correct: Factorise d'abord en (x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3) = 0, puis applique la propriété du produit nul.

Oublier des solutions quand un facteur est juste xx

Pourquoi c'est faux: Dans x(x−4)=0x(x-4) = 0, les élèves trouvent parfois seulement x=4x = 4 et oublient que x=0x = 0 est aussi une solution.

Correct: Rappelle-toi : xx seul est aussi un facteur ! Si x=0x = 0, le produit est zéro.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-6-4-202468-20-1001020xy(-3 ; 0)(5 ; 0)(1 ; -16)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = (x - 5)(x + 3)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (-3 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (5 ; 0)
  • Sommet : (1 ; -16)

Résolveur d'équations

Résoudre pour xx:

(x−5)(x+3)=0\left(x - 5\right)\left(x + 3\right) = 0
1
(x−5)(x+3)=0\left(x - 5\right)\left(x + 3\right) = 0
Tout passer d'un côté : ax² + bx + c = 0Une équation du second degré se résout sous sa forme développée

Conseils:

  • • Ce que tu fais d'un côté, fais-le de l'autre
  • • Annule les opérations dans l'ordre inverse
  • • Vérifie ta réponse en substituant

Suis pendant que nous résolvons l'équation étape par étape.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

17 exercices
Problème 1 sur 17
Facile
Que dit la propriété du produit nul ?

Pourquoi c'est important

La propriété du produit nul est ton outil le plus puissant pour résoudre des équations polynomiales :
  • Trouver les abscisses à l'origine : Les solutions indiquent où une parabole coupe l'axe des x
  • Problèmes de physique : Déterminer quand un projectile touche le sol (hauteur = 0)
  • Applications commerciales : Trouver les points morts (profit = 0)
  • Ingénierie : Trouver les points d'équilibre dans les systèmes
Une fois que tu sais factoriser un polynôme, cette propriété te donne instantanément les solutions !

Applications dans le monde réel

Mouvement de projectile

Quand tu lances une balle, sa hauteur suit une trajectoire quadratique. Trouver quand la hauteur est nulle te dit quand elle atterrit.

Exemple:

La hauteur d'une balle est modélisée par h=−16t2+48th = -16t^2 + 48t pieds. En posant h=0h = 0 et factorisant : −16t(t−3)=0-16t(t - 3) = 0, donc t=0t = 0 (lancement) ou t=3t = 3 secondes (atterrissage).

1Essaie par toi-même

La hauteur d'une fusée est donnée par h=−5t2+20th = -5t^2 + 20t mètres, où tt est le temps en secondes.

Quand la fusée touche-t-elle le sol ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Factorise et résous −5t2+20t=0-5t^2 + 20t = 0 :

Analyse du seuil de rentabilité

Les entreprises utilisent des équations quadratiques pour modéliser le profit. La propriété du produit nul trouve les points morts où le profit est nul.

Exemple:

Si le profit P=x2−100xP = x^2 - 100x euros où xx est le nombre d'unités vendues, alors x(x−100)=0x(x - 100) = 0 donne le seuil de rentabilité à x=0x = 0 ou x=100x = 100 unités.

2Essaie par toi-même

La fonction de profit d'une entreprise est P=x2−50xP = x^2 - 50x euros, où xx est le nombre de produits vendus.

À quels niveaux de ventes l'entreprise atteint-elle le seuil de rentabilité ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Factorise et résous x2−50x=0x^2 - 50x = 0 :

Points clés

  • 1La propriété du produit nul : si ab=0ab = 0, alors a=0a = 0 ou b=0b = 0
  • 2Pour l'utiliser, l'équation doit être sous la forme (facteur)(facteur) = 0
  • 3Égalise chaque facteur à zéro et résous pour trouver la variable
  • 4Ne divise jamais par une variable - tu pourrais perdre des solutions
  • 5Le nombre de solutions égale le nombre de facteurs linéaires distincts

Questions fréquentes

Zéro est spécial ! Si ab=12ab = 12, on ne peut rien conclure sur aa ou bb individuellement (pourrait être 3×43 \times 4, 2×62 \times 6, 1×121 \times 12, etc.). Mais pour ab=0ab = 0, au moins un facteur DOIT être zéro.
Zéro est spécial ! Si ab=12ab = 12, on ne peut rien conclure sur aa ou bb individuellement (pourrait être 3×43 \times 4, 2×62 \times 6, 1×121 \times 12, etc.). Mais pour ab=0ab = 0, au moins un facteur DOIT être zéro.
Comme (x−3)2=0(x-3)^2 = 0 ? Tu poses quand même x−3=0x - 3 = 0, donnant x=3x = 3. C'est ce qu'on appelle une 'racine double' - la parabole touche mais ne traverse pas l'axe des x à cet endroit.
Oui ! Un polynôme de degré nn peut avoir jusqu'à nn solutions. Par exemple, x(x−1)(x+2)(x−3)=0x(x-1)(x+2)(x-3) = 0 a quatre solutions : x=0,1,−2,3x = 0, 1, -2, 3.

Glossaire

Propriété du produit nul
Si ab=0ab = 0, alors a=0a = 0 ou b=0b = 0 (ou les deux)
Facteur
Une expression qui est multipliée avec d'autres pour former un produit
Racine/Solution
Une valeur de xx qui rend l'équation vraie
Racine double
Une solution qui apparaît deux fois, provenant d'un facteur répété comme (x−a)2(x-a)^2
Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Introduction à la factorisation

Intermédiaire25 min

Factoriser par le PGCD

Intermédiaire25 min

Factorisation par regroupement

Intermédiaire25 min

Factorisation de trinômes (a=1)

Intermédiaire25 min