Résoudre une inéquation inférieur à

Résous $|x - 2| < 5$

Reconnaître le type: $|x - 2| < 5$ est une inéquation "inférieur à" = L'expression est à moins de 5 unités de zéro

Écrire comme inéquation composée: Pour $|A| < a$, écrire $-a < A < a$ = $-5 < x - 2 < 5$

Résoudre en ajoutant 2 à toutes les parties: $-5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2$ = $-3 < x < 7$

Écrire l'ensemble solution: Tous les nombres entre $-3$ et $7$ = $x \in (-3, 7)$

Answer: $-3 < x < 7$ ou en notation d'intervalle : $(-3, 7)$

Résoudre une inéquation supérieur à

Résous $|2x + 1| > 7$

Reconnaître le type: $|2x + 1| > 7$ est une inéquation "supérieur à" = L'expression est à plus de 7 unités de zéro

Écrire comme deux inéquations séparées: Pour $|A| > a$, écrire $A < -a$ OU $A > a$ = $2x + 1 < -7$ OU $2x + 1 > 7$

Résoudre la première inéquation: $2x + 1 < -7 \Rightarrow 2x < -8 \Rightarrow x < -4$ = $x < -4$

Résoudre la deuxième inéquation: $2x + 1 > 7 \Rightarrow 2x > 6 \Rightarrow x > 3$ = $x > 3$

Combiner avec OU: La solution inclut les deux régions = $x < -4$ ou $x > 3$

Answer: $x < -4$ ou $x > 3$, soit $(-\infty, -4) \cup (3, \infty)$

Inéquation avec coefficient

Résous $|3x - 6| \leq 9$

Identifier le type et la méthode: Type "inférieur ou égal" : écrire comme inéquation composée = $-9 \leq 3x - 6 \leq 9$

Ajouter 6 à toutes les parties: $-9 + 6 \leq 3x - 6 + 6 \leq 9 + 6$ = $-3 \leq 3x \leq 15$

Diviser toutes les parties par 3: $\frac{-3}{3} \leq \frac{3x}{3} \leq \frac{15}{3}$ = $-1 \leq x \leq 5$

Écrire en notation d'intervalle: Inclure les extrémités (crochets fermés) = $x \in [-1, 5]$

Answer: $-1 \leq x \leq 5$ ou $[-1, 5]$

Cas particulier : Aucune solution

Résous $|x + 4| < -2$

Considérer ce que signifie la valeur absolue: La valeur absolue est toujours $\geq 0$ = $|x + 4| \geq 0$ pour tout $x$

Comparer à l'inéquation: Nous avons besoin que $|x + 4| < -2$, mais la valeur absolue ne peut pas être négative = Aucune valeur ne peut satisfaire cela

Énoncer la conclusion: Il est impossible qu'un nombre non négatif soit inférieur à $-2$ = Aucune solution

Answer: Aucune solution (l'ensemble solution est vide : $\emptyset$)

Cas particulier : Tous les nombres réels

Résous $|x - 1| > -5$

Considérer ce que signifie la valeur absolue: La valeur absolue est toujours $\geq 0$ = $|x - 1| \geq 0$ pour tout $x$

Comparer à l'inéquation: Tout nombre non négatif est supérieur à $-5$ = Chaque $x$ fonctionne

Énoncer la conclusion: Puisque $|x - 1| \geq 0 > -5$ toujours = Tous les nombres réels

Answer: Tous les nombres réels : $x \in (-\infty, \infty)$ ou $\mathbb{R}$

Mistake: Écrire $|x| < 3$ comme $x < 3$ ou $x < -3$

Why: Les élèves oublient que "inférieur à" crée une inéquation ET (entre deux valeurs), pas un OU.

Correct: $|x| < 3$ signifie $-3 < x < 3$ (valeurs entre $-3$ et $3$)

Mistake: Écrire $|x| > 3$ comme $-3 < x < 3$

Why: Confusion entre les deux cas. "Supérieur à" signifie que la valeur est LOIN de zéro, pas proche.

Correct: $|x| > 3$ signifie $x < -3$ OU $x > 3$ (valeurs en dehors de l'intervalle)

Mistake: Oublier d'inverser l'inéquation en multipliant par un nombre négatif

Why: En résolvant, si tu multiplies ou divises par un nombre négatif, le sens de l'inéquation s'inverse.

Correct: Fais attention quand le coefficient de $x$ est négatif à l'intérieur de la valeur absolue

Mistake: Ne pas vérifier si l'inéquation n'a aucune solution ou tous les nombres réels

Why: La valeur absolue est toujours non négative, donc $|A| < \text{négatif}$ n'a pas de solution, et $|A| > \text{négatif}$ est toujours vrai.

Correct: Vérifie toujours : Cette inéquation peut-elle réellement être satisfaite ?

Tolérances de fabrication

Les machines d'usine doivent produire des pièces dans des tolérances spécifiques. Un boulon doit mesurer 10 mm avec une tolérance de 0,05 mm.

L'inéquation $|d - 10| \leq 0,05$ signifie que le diamètre $d$ doit être entre 9,95 mm et 10,05 mm.

Contrôle de température

De nombreux produits nécessitent un stockage dans des plages de température spécifiques.

Les vaccins doivent être conservés à 4 degrés Celsius avec une variation de 2 degrés maximum : $|T - 4| \leq 2$, donc $2 \leq T \leq 6$ degrés.

Limitations de vitesse et radar

Les radars de police ont une marge d'erreur. Un conducteur pourrait contester une amende si la vitesse mesurée est dans la marge d'erreur.

Si la précision du radar est de 3 km/h et la limite est de 50 km/h, les vitesses entre 47 et 53 pourraient être dans l'erreur : $|v - 50| \leq 3$.

Q: Comment me souvenir quand utiliser ET vs OU ?

A: Pense à la distance : "inférieur à" signifie PROCHE de zéro (entre deux valeurs = ET). "Supérieur à" signifie LOIN de zéro (à l'extérieur = OU). Astuce : Inférieur = entre.

Q: Et si la valeur absolue est égale à un nombre, pas inférieure ou supérieure ?

A: Pour $|A| = a$, tu obtiens exactement deux solutions : $A = a$ ou $A = -a$. C'est une équation, pas une inéquation.

Q: Le nombre à droite peut-il être négatif ?

A: Oui, mais vérifie attentivement ! Puisque la valeur absolue est toujours non négative : $|A| < \text{négatif}$ n'a pas de solution, tandis que $|A| > \text{négatif}$ est vrai pour toutes les valeurs.