Inéquations avec valeur absolue

Apprends à résoudre des inéquations impliquant la valeur absolue en comprenant la distance par rapport à zéro.

Avancé25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une inéquation avec valeur absolue compare la valeur absolue d'une expression à un nombre.
Rappelle-toi que ∣x∣|x| représente la distance de xx à zéro sur la droite numérique.

Deux types principaux

Inférieur à (<< ou ≤\leq) : L'expression est à l'intérieur d'une certaine distance de zéro.
∣x∣<a⇒−a<x<a|x| < a \Rightarrow -a < x < a
Supérieur à (>> ou ≥\geq) : L'expression est au-delà d'une certaine distance de zéro.
∣x∣>a⇒x<−a ou x>a|x| > a \Rightarrow x < -a \text{ ou } x > a

Point clé

  • ∣x∣<3|x| < 3 signifie que xx est à moins de 3 unités de zéro : −3<x<3-3 < x < 3
  • ∣x∣>3|x| > 3 signifie que xx est à plus de 3 unités de zéro : x<−3x < -3 ou x>3x > 3

Essaie tout de suite

Quelle inéquation composée représente ∣x∣<5|x| < 5 ?

Exemples résolus

Résous ∣x−2∣<5|x - 2| < 5
1

Reconnaître le type

∣x−2∣<5|x - 2| < 5 est une inéquation "inférieur à" → L'expression est à moins de 5 unités de zéro
2

Écrire comme inéquation composée

Pour ∣A∣<a|A| < a, écrire −a<A<a-a < A < a → −5<x−2<5-5 < x - 2 < 5
3

Résoudre en ajoutant 2 à toutes les parties

−5+2<x−2+2<5+2-5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2 → −3<x<7-3 < x < 7
4

Écrire l'ensemble solution

Tous les nombres entre −3-3 et 77 → x∈(−3,7)x \in (-3, 7)

Erreurs courantes

Écrire ∣x∣<3|x| < 3 comme x<3x < 3 ou x<−3x < -3

Pourquoi c'est faux: Les élèves oublient que "inférieur à" crée une inéquation ET (entre deux valeurs), pas un OU.

Correct: ∣x∣<3|x| < 3 signifie −3<x<3-3 < x < 3 (valeurs entre −3-3 et 33)

Écrire ∣x∣>3|x| > 3 comme −3<x<3-3 < x < 3

Pourquoi c'est faux: Confusion entre les deux cas. "Supérieur à" signifie que la valeur est LOIN de zéro, pas proche.

Correct: ∣x∣>3|x| > 3 signifie x<−3x < -3 OU x>3x > 3 (valeurs en dehors de l'intervalle)

Oublier d'inverser l'inéquation en multipliant par un nombre négatif

Pourquoi c'est faux: En résolvant, si tu multiplies ou divises par un nombre négatif, le sens de l'inéquation s'inverse.

Correct: Exemple : ∣3−2x∣<5|3 - 2x| < 5 donne −5<3−2x<5-5 < 3 - 2x < 5, donc −8<−2x<2-8 < -2x < 2. En divisant par −2-2, les deux signes s'inversent : 4>x>−14 > x > -1, c'est-à-dire −1<x<4-1 < x < 4

Ne pas vérifier si l'inéquation n'a aucune solution ou tous les nombres réels

Pourquoi c'est faux: La valeur absolue est toujours non négative, donc ∣A∣<neˊgatif|A| < \text{négatif} n'a pas de solution, et ∣A∣>neˊgatif|A| > \text{négatif} est toujours vrai.

Correct: Vérifie toujours : Cette inéquation peut-elle réellement être satisfaite ?

Visuel interactif

à

-1 ≤ x ≤ 5·[-1, 5]

Clique sur les nombres pour les sélectionner. Ajuste la plage pour explorer différentes valeurs.

à

x < -4 ou x > 3·(−∞, -4) ∪ (3, ∞)

Clique sur les nombres pour les sélectionner. Ajuste la plage pour explorer différentes valeurs.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

17 exercices
Problème 1 sur 17
Facile
Quelle inéquation composée représente ∣x∣<5|x| < 5 ?

Pourquoi c'est important

Les inéquations avec valeur absolue sont essentielles dans de nombreuses applications réelles :
  • Contrôle qualité : Une pièce de machine doit être à ±0,02\pm 0{,}02 mm de la taille cible : ∣x−50∣≤0,02|x - 50| \leq 0{,}02
  • Plages de température : Conserver un médicament à 3 degrés près de 20 degrés Celsius : ∣T−20∣≤3|T - 20| \leq 3
  • Statistiques : Valeurs à 2 écarts-types de la moyenne
  • Ingénierie : Plages de tolérance pour les mesures et spécifications
Comprendre ces inéquations t'aide à exprimer mathématiquement les plages acceptables et les marges d'erreur.

Applications dans le monde réel

Tolérances de fabrication

Les machines d'usine doivent produire des pièces dans des tolérances spécifiques. Un boulon doit mesurer 10 mm avec une tolérance de 0,05 mm.

Exemple:

L'inéquation ∣d−10∣≤0,05|d - 10| \leq 0{,}05 signifie que le diamètre dd doit être entre 9,95 mm et 10,05 mm.

1Essaie par toi-même

Une usine produit des tiges qui doivent mesurer 25 cm de long, avec une erreur acceptable de 0,2 cm.

Écris et résous l'inéquation pour les longueurs de tige acceptables.

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Quelle inéquation décrit les longueurs acceptables LL ?

Contrôle de température

De nombreux produits nécessitent un stockage dans des plages de température spécifiques.

Exemple:

Les vaccins doivent être conservés à 4 degrés Celsius avec une variation de 2 degrés maximum : ∣T−4∣≤2|T - 4| \leq 2, donc 2≤T≤62 \leq T \leq 6 degrés.

2Essaie par toi-même

Une cave à vin maintient la température à 13 degrés Celsius. La température ne doit pas varier de plus de 1,5 degré.

Quelle est la plage de température acceptable ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Quelle inéquation décrit les températures permises TT ?

Limitations de vitesse et radar

Les radars de police ont une marge d'erreur. Un conducteur pourrait contester une amende si la vitesse mesurée est dans la marge d'erreur.

Exemple:

Si la précision du radar est de 3 km/h et la limite est de 50 km/h, les vitesses entre 47 et 53 pourraient être dans la marge d'erreur : ∣v−50∣≤3|v - 50| \leq 3.

3Essaie par toi-même

Un radar a une marge d'erreur de 2 km/h. Un conducteur a été enregistré à 62 km/h dans une zone à 60 km/h.

La vitesse enregistrée est-elle dans la marge d'erreur de la limite ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Quelle affirmation est vraie pour ce conducteur ?

Points clés

  • 1La valeur absolue mesure la distance par rapport à zéro, donc ∣x∣|x| est toujours non négatif
  • 2Pour ∣A∣<a|A| < a (inférieur à) : écrire −a<A<a-a < A < a (inéquation ET)
  • 3Pour ∣A∣>a|A| > a (supérieur à) : écrire A<−aA < -a OU A>aA > a (inéquation OU)
  • 4Si comparé à un nombre négatif : ∣A∣<neˊgatif|A| < \text{négatif} n'a pas de solution ; ∣A∣>neˊgatif|A| > \text{négatif} est vrai pour tous les nombres réels
  • 5Toujours isoler l'expression de valeur absolue avant de séparer en cas

Questions fréquentes

Pense à la distance : "inférieur à" signifie PROCHE de zéro (entre deux valeurs = ET). "Supérieur à" signifie LOIN de zéro (à l'extérieur = OU). Astuce : inférieur à donne un seul morceau au milieu, supérieur à donne deux morceaux à l'extérieur.
Pense à la distance : "inférieur à" signifie PROCHE de zéro (entre deux valeurs = ET). "Supérieur à" signifie LOIN de zéro (à l'extérieur = OU). Astuce : inférieur à donne un seul morceau au milieu, supérieur à donne deux morceaux à l'extérieur.
Pour ∣A∣=a|A| = a, tu obtiens exactement deux solutions : A=aA = a ou A=−aA = -a. C'est une équation, pas une inéquation.
Oui, mais vérifie attentivement ! Puisque la valeur absolue est toujours non négative : ∣A∣<neˊgatif|A| < \text{négatif} n'a pas de solution, tandis que ∣A∣>neˊgatif|A| > \text{négatif} est vrai pour toutes les valeurs.

Glossaire

Valeur absolue
La distance d'un nombre par rapport à zéro sur la droite numérique, toujours non négative. Écrite ∣x∣|x|
Inéquation composée
Deux inéquations jointes par ET ou OU
Notation d'intervalle
Une façon d'écrire les ensembles solutions avec des parenthèses (exclure l'extrémité) et des crochets (inclure l'extrémité)
Ensemble solution
L'ensemble de toutes les valeurs qui rendent une inéquation vraie

Carte des formules

Cas inférieur à (ou égal)

∣A∣<a⇒−a<A<a|A| < a \Rightarrow -a < A < a

L'expression $A$ est à moins de $a$ unités de zéro

Cas supérieur à (ou égal)

∣A∣>a⇒A<−a ou A>a|A| > a \Rightarrow A < -a \text{ ou } A > a

L'expression $A$ est à plus de $a$ unités de zéro

Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Introduction aux inégalités

Intermédiaire20 min

Résoudre et représenter des inégalités

Intermédiaire25 min

Représenter les inégalités sur une droite numérique

Intermédiaire25 min

Inéquations à une étape

Intermédiaire25 min