Résoudre une inégalité ET

Résous : $-3 < 2x + 1 < 7$

Comprendre l'inégalité composée: Cela signifie $-3 < 2x + 1$ ET $2x + 1 < 7$ simultanément = Les deux doivent être vraies

Soustraire 1 aux trois parties: $-3 - 1 < 2x + 1 - 1 < 7 - 1$ = $-4 < 2x < 6$

Diviser les trois parties par 2: $\frac{-4}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{6}{2}$ = $-2 < x < 3$

Écrire en notation intervalle: Cercles ouverts à $-2$ et $3$ (non inclus) = $(-2, 3)$

Answer: $-2 < x < 3$ ou en notation intervalle : $(-2, 3)$

Résoudre une inégalité OU

Résous : $3x - 2 < -8$ OU $3x - 2 > 4$

Résoudre la première inégalité: $3x - 2 < -8 \Rightarrow 3x < -6 \Rightarrow x < -2$ = $x < -2$

Résoudre la deuxième inégalité: $3x - 2 > 4 \Rightarrow 3x > 6 \Rightarrow x > 2$ = $x > 2$

Combiner avec OU: La solution inclut les valeurs des deux régions = $x < -2$ OU $x > 2$

Écrire en notation intervalle: Union de deux intervalles = $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$

Answer: $x < -2$ OU $x > 2$, ou en notation intervalle : $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$

Inégalité ET sans solution

Résous : $x > 5$ ET $x < 2$

Analyser la première condition: $x > 5$ signifie que $x$ doit être supérieur à 5 = Valeurs : 6, 7, 8, ...

Analyser la deuxième condition: $x < 2$ signifie que $x$ doit être inférieur à 2 = Valeurs : 1, 0, -1, ...

Trouver l'intersection: Aucun nombre ne peut être à la fois supérieur à 5 ET inférieur à 2 = Pas de chevauchement

Énoncer la solution: Il n'y a pas de valeur qui satisfait les deux conditions = Pas de solution : $\emptyset$

Answer: Pas de solution ($\emptyset$) - les conditions sont contradictoires

Inégalité OU avec tous les nombres réels

Résous : $x \leq 4$ OU $x \geq 1$

Analyser la première condition: $x \leq 4$ inclut tous les nombres jusqu'à 4 inclus = $(-\infty, 4]$

Analyser la deuxième condition: $x \geq 1$ inclut tous les nombres à partir de 1 = $[1, \infty)$

Trouver l'union: Chaque nombre réel satisfait au moins une condition = Couverture complète

Énoncer la solution: Tout nombre est soit $\leq 4$ soit $\geq 1$ (ou les deux) = Tous les nombres réels : $\mathbb{R}$

Answer: Tous les nombres réels ($\mathbb{R}$) ou $(-\infty, \infty)$

Inégalité ET du monde réel

Un colis doit peser au moins 2 kg mais pas plus de 10 kg pour être éligible à l'envoi standard. Écris et résous une inégalité pour le poids $p$.

Identifier les conditions: Au moins 2 kg : $p \geq 2$. Pas plus de 10 kg : $p \leq 10$ = Deux conditions

Combiner avec ET: Les deux conditions doivent être satisfaites simultanément = $p \geq 2$ ET $p \leq 10$

Écrire comme inégalité composée: Combine en un seul énoncé = $2 \leq p \leq 10$

Écrire en notation intervalle: Crochets fermés (extrémités incluses) = $[2, 10]$

Answer: $2 \leq p \leq 10$ ou $[2, 10]$ kg

Mistake: Confondre ET et OU lors de la représentation graphique

Why: ET nécessite le chevauchement (intersection), tandis que OU inclut tout des deux ensembles (union).

Correct: ET = intersection (région plus petite, les deux conditions). OU = union (région plus grande, l'une des conditions).

Mistake: Oublier d'inverser l'inégalité lors de la multiplication/division par un négatif

Why: Lors de la résolution de chaque partie d'une inégalité composée, les mêmes règles s'appliquent que pour les inégalités simples.

Correct: Si tu multiplies ou divises par un nombre négatif, inverse TOUS les signes d'inégalité dans cette étape.

Mistake: Écrire $5 < x < 2$ et penser qu'il y a des solutions

Why: Cela nécessiterait que $x$ soit à la fois supérieur à 5 ET inférieur à 2 simultanément, ce qui est impossible.

Correct: Vérifie toujours si une inégalité ET a un sens logique. Si $a > b$ dans $a < x < b$, il n'y a pas de solution.

Mistake: Utiliser les mauvais crochets en notation intervalle

Why: Les crochets $[$ $]$ signifient que l'extrémité est incluse ($\leq$ ou $\geq$), les parenthèses $($ $)$ signifient qu'elle est exclue ($<$ ou $>$).

Correct: $x > 3$ : utilise $(3, \infty)$. $x \geq 3$ : utilise $[3, \infty)$. L'infini utilise toujours des parenthèses.

Zones de fréquence cardiaque saines

Les entraîneurs de fitness utilisent des inégalités composées pour définir les zones de fréquence cardiaque pendant l'exercice.

La zone de combustion des graisses est quand ta fréquence cardiaque est entre 60% et 70% de ton maximum. Pour un max de 190 bpm : $114 \leq f \leq 133$

Contrôle qualité en fabrication

Les produits doivent respecter des spécifications dans des plages de tolérance. Les articles hors plage sont rejetés.

Un boulon doit mesurer entre 9,8 mm et 10,2 mm pour passer l'inspection : $9{,}8 \leq d \leq 10{,}2$

Vitesse de conduite sûre

Le code de la route utilise des inégalités composées pour définir les plages de vitesse légales.

Sur une autoroute, tu dois conduire au moins à 50 km/h mais pas plus de 130 km/h : $50 \leq v \leq 130$

Q: Quelle est la différence entre 'et' et 'ou' dans les inégalités composées ?

A: ET signifie que les deux conditions doivent être vraies simultanément (intersection). OU signifie qu'au moins une condition doit être vraie (union). ET donne généralement un ensemble de solutions plus petit ; OU donne un ensemble plus grand.

Q: Comment savoir quand utiliser des crochets ou des parenthèses en notation intervalle ?

A: Utilise des crochets $[ ]$ quand l'extrémité est incluse ($\leq$ ou $\geq$). Utilise des parenthèses $( )$ quand l'extrémité N'EST PAS incluse ($<$ ou $>$). L'infini ($\infty$) utilise TOUJOURS des parenthèses car on ne peut jamais atteindre l'infini.

Q: Une inégalité composée peut-elle n'avoir aucune solution ?

A: Oui ! Une inégalité ET n'a pas de solution quand les conditions se contredisent (comme $x > 5$ ET $x < 2$). Cependant, une inégalité OU aura toujours une solution à moins que les inégalités individuelles elles-mêmes n'aient pas de solutions.