Inéquation avec addition

Résous : $x + 7 > 12$

Identifie l'opération: 7 est ajouté à $x$ = Opération : addition

Utilise l'opération inverse: Soustrais 7 des deux côtés : $x + 7 - 7 > 12 - 7$ = $x > 5$

Vérifie avec une valeur: Essaie $x = 6$ : $6 + 7 = 13$, et $13 > 12$ ✓ = Solution vérifiée

Answer: $x > 5$. Tout nombre supérieur à 5 est une solution.

Inéquation avec soustraction

Résous : $x - 4 \leq 9$

Identifie l'opération: 4 est soustrait de $x$ = Opération : soustraction

Utilise l'opération inverse: Ajoute 4 aux deux côtés : $x - 4 + 4 \leq 9 + 4$ = $x \leq 13$

Vérifie la valeur limite: Essaie $x = 13$ : $13 - 4 = 9$, et $9 \leq 9$ ✓ = Limite incluse

Answer: $x \leq 13$. Tout nombre inférieur ou égal à 13 est une solution.

Inéquation avec multiplication (Positif)

Résous : $5x \geq 35$

Identifie l'opération: $x$ est multiplié par 5 = Opération : multiplication par positif

Utilise l'opération inverse: Divise les deux côtés par 5 : $\frac{5x}{5} \geq \frac{35}{5}$ = $x \geq 7$

Vérifie (pas d'inversion): Division par 5 positif, donc le signe reste le même = Pas d'inversion nécessaire

Answer: $x \geq 7$. La solution est 7 ou tout nombre supérieur.

Inéquation avec division

Résous : $\frac{x}{3} < 4$

Identifie l'opération: $x$ est divisé par 3 = Opération : division par positif

Utilise l'opération inverse: Multiplie les deux côtés par 3 : $\frac{x}{3} \times 3 < 4 \times 3$ = $x < 12$

Vérifie (pas d'inversion): Multiplication par 3 positif, donc le signe reste le même = Pas d'inversion nécessaire

Answer: $x < 12$. Tout nombre inférieur à 12 est une solution.

Multiplication par négatif (INVERSE !)

Résous : $-3x > 15$

Identifie l'opération: $x$ est multiplié par $-3$ = Opération : multiplication par NÉGATIF

Divise par négatif: Divise les deux côtés par $-3$ : $\frac{-3x}{-3}$ ? $\frac{15}{-3}$ = Il faut inverser !

INVERSE l'inégalité: Division par négatif : $>$ devient $<$ = $x < -5$

Vérifie l'inversion: Essaie $x = -6$ : $-3(-6) = 18$, et $18 > 15$ ✓ = Inversion confirmée !

Answer: $x < -5$. Parce que nous avons divisé par un nombre négatif, nous avons inversé le signe !

Division par négatif (INVERSE !)

Résous : $\frac{x}{-2} \geq 6$

Identifie l'opération: $x$ est divisé par $-2$ = Opération : division par NÉGATIF

Multiplie par négatif: Multiplie les deux côtés par $-2$ : $\frac{x}{-2} \times (-2)$ ? $6 \times (-2)$ = Il faut inverser !

INVERSE l'inégalité: Multiplication par négatif : $\geq$ devient $\leq$ = $x \leq -12$

Vérifie l'inversion: Essaie $x = -14$ : $\frac{-14}{-2} = 7$, et $7 \geq 6$ ✓ = Inversion confirmée !

Answer: $x \leq -12$. Multiplier par $-2$ signifie qu'on inverse $\geq$ en $\leq$.

Pourquoi le signe s'inverse-t-il ?

Démontre pourquoi $-x > 3$ devient $x < -3$

Commence par un fait connu: Nous savons que $5 > 2$ est VRAI = 5 est supérieur à 2

Multiplie les deux par $-1$: $5 \times (-1)$ ? $2 \times (-1)$ = $-5$ ? $-2$

Compare les résultats: Est-ce que $-5 > -2$ ? NON ! $-5 < -2$ = L'ordre s'est inversé !

Applique à l'original: $-x > 3 \Rightarrow$ multiplie par $-1$ et inverse : $x < -3$ = $x < -3$

Answer: Multiplier par un nombre négatif inverse l'ordre des nombres sur la droite numérique, donc nous devons inverser le signe de l'inégalité.

Mistake: Oublier d'inverser le signe en divisant par un négatif

Why: C'est l'erreur la plus courante ! Les élèves appliquent correctement les opérations inverses mais oublient cette règle spéciale.

Correct: TOUJOURS vérifier : Est-ce que je multiplie ou divise par un NÉGATIF ? Si oui, INVERSE le signe de l'inégalité !

Mistake: Inverser le signe pour toute opération avec des nombres négatifs

Why: Les élèves sur-appliquent la règle, inversant aussi lors de l'addition ou soustraction de nombres négatifs.

Correct: Inverse UNIQUEMENT lors de la MULTIPLICATION ou DIVISION par un négatif. $x + (-5) > 3$ ne nécessite PAS d'inversion !

Mistake: Faire des opérations différentes de chaque côté

Why: Contrairement aux équations, la différence visuelle dans les inéquations peut confondre les élèves.

Correct: Comme pour les équations : ce que tu fais à gauche, tu DOIS le faire à droite aussi.

Mistake: Écrire la réponse dans le mauvais sens

Why: Après résolution, les élèves écrivent $5 > x$ au lieu de $x < 5$.

Correct: La convention est d'écrire la variable à gauche : $x < 5$ est plus clair que $5 > x$.

Budget et épargne

Quand tu dois économiser un montant minimum, les inéquations aident à déterminer combien tu peux dépenser.

Tu as 75 euros et veux garder au moins 30 euros pour les urgences. Combien peux-tu dépenser ? $75 - x \geq 30$, donc $x \leq 45$.

Limites de température

Les expériences scientifiques nécessitent souvent des températures dans certaines plages.

Une réaction chimique nécessite que la température reste sous 100°C. Si la pièce est à 25°C et la chaleur augmente de 15° par minute : $25 + 15t < 100$.

Sports et jeux

Déterminer quels scores sont nécessaires pour gagner ou se qualifier.

Ton équipe a 48 points. Chaque panier vaut 2 points. Combien de paniers encore pour atteindre 60 ? $48 + 2b \geq 60$, donc $b \geq 6$.

Q: Pourquoi inverse-t-on l'inégalité en multipliant par un négatif ?

A: Quand tu multiplies des nombres par $-1$, leur ordre s'inverse. Par exemple, $3 > 2$ mais $-3 < -2$. L'inversion garde l'inégalité VRAIE après l'opération.

Q: Est-ce que j'inverse pour additionner ou soustraire des nombres négatifs ?

A: Non ! Inverse UNIQUEMENT lors de la MULTIPLICATION ou DIVISION par un négatif. Ajouter $-5$ aux deux côtés n'inverse rien.

Q: Comment vérifier ma réponse ?

A: Choisis n'importe quel nombre de ton ensemble solution et remplace-le dans l'inéquation originale. Si ça marche, c'est correct ! Essaie aussi un nombre qui N'EST PAS dans l'ensemble solution pour confirmer qu'il échoue.

Q: Et si la variable est du côté droit ?

A: Tu peux résoudre normalement, puis réécrire avec la variable à gauche. Rappelle-toi : $5 > x$ est identique à $x < 5$.