Inéquations à une étape

Apprends à résoudre des inéquations qui ne nécessitent qu'une seule opération, et comprends pourquoi le signe de l'inégalité s'inverse lors d'une multiplication ou division par un nombre négatif.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une inéquation à une étape est une inéquation qui peut être résolue avec une seule opération (addition, soustraction, multiplication ou division).
Principe clé : Résous les inéquations de la même façon que les équations - effectue la même opération des deux côtés !
x+5>8⇒x>3x + 5 > 8 \quad \Rightarrow \quad x > 3
RÈGLE CRITIQUE : Lorsque tu multiplies ou divises les deux membres par un nombre négatif, tu dois INVERSER le signe de l'inégalité !
−2x>6⇒x<−3-2x > 6 \quad \Rightarrow \quad x < -3
OriginalAprès × ou ÷ par négatif
<<>>
>><<
≤\leq≥\geq
≥\geq≤\leq

Essaie tout de suite

Résous : x+5>9x + 5 > 9

Exemples résolus

Résous : x+7>12x + 7 > 12
1

Identifie l'opération

7 est ajouté à xx → Opération : addition
2

Utilise l'opération inverse

Soustrais 7 des deux côtés : x+7−7>12−7x + 7 - 7 > 12 - 7 → x>5x > 5
3

Vérifie avec une valeur

Essaie x=6x = 6 : 6+7=136 + 7 = 13, et 13>1213 > 12 ✓ → Solution vérifiée

Erreurs courantes

Oublier d'inverser le signe en divisant par un négatif

Pourquoi c'est faux: C'est l'erreur la plus courante ! Les élèves appliquent correctement les opérations inverses mais oublient cette règle spéciale.

Correct: TOUJOURS vérifier : Est-ce que je multiplie ou divise par un NÉGATIF ? Si oui, INVERSE le signe de l'inégalité !

Inverser le signe pour toute opération avec des nombres négatifs

Pourquoi c'est faux: Les élèves sur-appliquent la règle, inversant aussi lors de l'addition ou soustraction de nombres négatifs.

Correct: Inverse UNIQUEMENT lors de la MULTIPLICATION ou DIVISION par un négatif. x+(−5)>3x + (-5) > 3 ne nécessite PAS d'inversion !

Faire des opérations différentes de chaque côté

Pourquoi c'est faux: Contrairement aux équations, la différence visuelle dans les inéquations peut confondre les élèves.

Correct: Comme pour les équations : ce que tu fais à gauche, tu DOIS le faire à droite aussi.

Écrire la réponse dans le mauvais sens

Pourquoi c'est faux: Après résolution, les élèves écrivent 5>x5 > x au lieu de x<5x < 5.

Correct: La convention est d'écrire la variable à gauche : x<5x < 5 est plus clair que 5>x5 > x.

Visuel interactif

à

x ≥ 7·[7, ∞)

Clique sur les nombres pour les sélectionner. Ajuste la plage pour explorer différentes valeurs.

à

x < -5·(−∞, -5)

Clique sur les nombres pour les sélectionner. Ajuste la plage pour explorer différentes valeurs.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Résous : x+5>9x + 5 > 9

Pourquoi c'est important

Les inéquations à une étape sont la base pour résoudre des inéquations plus complexes et apparaissent partout dans la vie réelle :
  • Budget : Si tu as 50 euros et veux économiser au moins 20, combien peux-tu dépenser ? (50−x≥2050 - x \geq 20)
  • Gestion du temps : Si tu as besoin d'au moins 8 heures de sommeil et te réveilles à 7h, à quelle heure dois-tu dormir ? (7−t≥87 - t \geq 8)
  • Sport : De combien de points une équipe a-t-elle besoin pour gagner ? (score+x>adversaire\text{score} + x > \text{adversaire})
  • Cuisine : Si une recette est pour 4 personnes et tu dois nourrir au moins 12 personnes, combien de portions ? (4n≥124n \geq 12)
Maîtriser les inéquations à une étape te prépare aux inéquations à plusieurs étapes et à la résolution de problèmes réels !

Applications dans le monde réel

Budget et épargne

Quand tu dois économiser un montant minimum, les inéquations aident à déterminer combien tu peux dépenser.

Exemple:

Tu as 75 euros et veux garder au moins 30 euros pour les urgences. Combien peux-tu dépenser ? 75−x≥3075 - x \geq 30, donc x≤45x \leq 45.

1Essaie par toi-même

Tu gagnes 12 euros de l'heure dans ton travail à temps partiel. Tu veux gagner au moins 60 euros cette semaine.

Combien d'heures dois-tu travailler ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Quelle inéquation convient pour les heures hh ?

Limites de température

Les expériences scientifiques nécessitent souvent des températures dans certaines plages.

Exemple:

Une réaction chimique nécessite que la température reste sous 100°C. Si la pièce est à 25°C et la chaleur augmente de 15° par minute : 25+15t<10025 + 15t < 100.

2Essaie par toi-même

Un congélateur doit maintenir les aliments à −18°C-18°C ou moins. La température actuelle est −10°C-10°C, et elle baisse de 2°C2°C par heure.

Après combien d'heures le congélateur atteindra-t-il la température requise ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Après hh heures, la température est −10−2h-10 - 2h. Quelle inéquation convient ?

Sports et jeux

Déterminer quels scores sont nécessaires pour gagner ou se qualifier.

Exemple:

Ton équipe a 48 points. Chaque panier vaut 2 points. Combien de paniers encore pour atteindre 60 ? 48+2b≥6048 + 2b \geq 60, donc b≥6b \geq 6.

3Essaie par toi-même

Une plongeuse a besoin d'au moins 50 points pour se qualifier. Chaque plongeon est noté sur 10, et elle a réalisé 4 plongeons avec une moyenne de 8,5.

Quelle moyenne doit-elle obtenir sur ses 2 plongeons restants ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Si son total sur 4 plongeons est 4×8,5=344 \times 8{,}5 = 34, quelle inéquation convient ?

Points clés

  • 1Résous les inéquations à une étape en utilisant les opérations inverses, comme pour les équations
  • 2Addition et soustraction : applique simplement l'opération inverse
  • 3Multiplication et division par des nombres POSITIFS : applique l'opération inverse normalement
  • 4CRITIQUE : Lors de la multiplication ou division par un nombre NÉGATIF, INVERSE le signe de l'inégalité
  • 5Vérifie toujours ta réponse en substituant une valeur de l'ensemble solution

Questions fréquentes

Quand tu multiplies des nombres par −1-1, leur ordre s'inverse. Par exemple, 3>23 > 2 mais −3<−2-3 < -2. L'inversion garde l'inégalité VRAIE après l'opération.
Quand tu multiplies des nombres par −1-1, leur ordre s'inverse. Par exemple, 3>23 > 2 mais −3<−2-3 < -2. L'inversion garde l'inégalité VRAIE après l'opération.
Non ! Inverse UNIQUEMENT lors de la MULTIPLICATION ou DIVISION par un négatif. Ajouter −5-5 aux deux côtés n'inverse rien.
Choisis n'importe quel nombre de ton ensemble solution et remplace-le dans l'inéquation originale. Si ça marche, c'est correct ! Essaie aussi un nombre qui N'EST PAS dans l'ensemble solution pour confirmer qu'il échoue.
Tu peux résoudre normalement, puis réécrire avec la variable à gauche. Rappelle-toi : 5>x5 > x est identique à x<5x < 5.

Glossaire

Inéquation à une étape
Une inéquation qui peut être résolue avec une seule opération (addition, soustraction, multiplication ou division)
Opération inverse
L'opération qui en annule une autre : l'addition annule la soustraction, la multiplication annule la division
Ensemble solution
Toutes les valeurs qui rendent l'inéquation vraie
Inverser le signe
Changer la direction d'une inégalité (par ex., >> devient <<) lors de la multiplication ou division par un négatif

Carte des formules

Règle Addition/Soustraction

x+a>b⇒x>b−ax + a > b \Rightarrow x > b - a

Soustrais $a$ des deux côtés (pas d'inversion)

Multiplication positive

ax>b⇒x>baax > b \Rightarrow x > \frac{b}{a} (quand a>0a > 0)

Divise les deux côtés par $a$ (pas d'inversion)

Multiplication négative

ax>b⇒x<baax > b \Rightarrow x < \frac{b}{a} (quand a<0a < 0)

Divise par $a$ ET INVERSE le signe !

Règle d'inversion

−x>c⇒x<−c-x > c \Rightarrow x < -c

Multiplie par $-1$ et inverse l'inégalité

Défi du jourUn problème, trois essais

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