Identifier une fonction linéaire à partir d'une équation

Est-ce que $y = 3x - 2$ est une fonction linéaire ?

Vérifier la forme: Comparer à $y = mx + b$ = Elle correspond au modèle

Identifier la pente: Le coefficient de $x$ est $3$ = $m = 3$

Identifier l'ordonnée à l'origine: Le terme constant est $-2$ = $b = -2$

Vérifier la linéarité: Pas d'exposant sur $x$, pas de $x$ au dénominateur = Elle est linéaire

Answer: Oui, $y = 3x - 2$ est une fonction linéaire avec une pente de $3$ et une ordonnée à l'origine de $-2$.

Créer un tableau de valeurs

Crée un tableau de valeurs pour $y = 2x + 1$ en utilisant $x = -1, 0, 1, 2$.

Substitue $x = -1$: $y = 2(-1) + 1 = -2 + 1$ = $y = -1$

Substitue $x = 0$: $y = 2(0) + 1 = 0 + 1$ = $y = 1$

Substitue $x = 1$: $y = 2(1) + 1 = 2 + 1$ = $y = 3$

Substitue $x = 2$: $y = 2(2) + 1 = 4 + 1$ = $y = 5$

Vérifier le changement constant: Chaque fois que $x$ augmente de $1$, $y$ augmente de $2$ = Le taux de variation est constant

Answer: Tableau : $(-1, -1)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 5)$. Remarque le taux de variation constant de $2$.

Identifier les fonctions non linéaires

Laquelle de ces fonctions N'EST PAS linéaire ? a) $y = 5x$ b) $y = x^2 + 1$ c) $y = -4x + 7$

Vérifie $y = 5x$: Peut s'écrire $y = 5x + 0$ = Linéaire (m=5, b=0)

Vérifie $y = x^2 + 1$: Contient $x^2$ (exposant 2) = NON linéaire - c'est quadratique

Vérifie $y = -4x + 7$: Correspond à la forme $y = mx + b$ = Linéaire (m=-4, b=7)

Answer: $y = x^2 + 1$ N'EST PAS linéaire car la variable $x$ est au carré. Les fonctions linéaires n'ont $x$ qu'à la première puissance.

Application concrète

Un taxi facture 3€ plus 2€ par kilomètre. Écris la fonction linéaire et trouve le coût pour une course de 5 km.

Identifier les parties: Coût fixe : 3€, Tarif : 2€ par km = b = 3, m = 2

Écrire la fonction: Soit $x$ = kilomètres, $y$ = coût total = $y = 2x + 3$

Substitue $x = 5$: $y = 2(5) + 3 = 10 + 3$ = $y = 13$

Interpréter la réponse: Le coût total est de 13€ = 13€ pour 5 km

Answer: La fonction est $y = 2x + 3$. Une course de 5 km coûte 13€.

Mistake: Penser que $y = x^2$ est linéaire parce qu'il contient un $x$

Why: L'exposant compte ! $x^2$ signifie $x$ multiplié par lui-même, ce qui crée une courbe, pas une droite.

Correct: Les fonctions linéaires ont $x$ uniquement à la première puissance. Vérifie qu'il n'y a pas de $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, ou $\frac{1}{x}$.

Mistake: Confondre la pente et l'ordonnée à l'origine dans $y = mx + b$

Why: Il est facile de les confondre. La pente ($m$) est le coefficient de $x$, tandis que $b$ est le terme constant.

Correct: Dans $y = 3x + 5$, la pente est $3$ (multiplie $x$) et l'ordonnée à l'origine est $5$ (seul).

Mistake: Penser que $y = 5$ n'est pas une fonction linéaire

Why: C'est en fait $y = 0x + 5$, une droite horizontale avec une pente de $0$.

Correct: $y = 5$ est linéaire - c'est un cas particulier avec une pente nulle. Le graphique est une droite horizontale à $y = 5$.

Forfaits téléphoniques

Beaucoup de forfaits ont des frais de base plus un tarif à l'utilisation, créant une fonction linéaire.

Un forfait coûte 25€ par mois plus 10 centimes par minute au-delà de la limite. Si $x$ représente les minutes supplémentaires, alors $y = 0{,}10x + 25$.

Distance et vitesse

En voyageant à vitesse constante, la distance est une fonction linéaire du temps.

Conduire à 90 km/h : $d = 90t$, où $d$ est la distance en km et $t$ est le temps en heures.

Revenus et heures travaillées

Les salaires horaires créent une relation linéaire entre les heures travaillées et l'argent gagné.

Gagner 12€ par heure : $y = 12x$, où $x$ représente les heures et $y$ les revenus en euros.

Q: Qu'est-ce qui rend une fonction linéaire ou non linéaire ?

A: Une fonction est linéaire si son graphique est une droite. Mathématiquement, cela signifie que l'équation peut s'écrire $y = mx + b$ sans exposant sur les variables, sans variables au dénominateur et sans variables sous des radicaux.

Q: La pente peut-elle être nulle ou négative ?

A: Oui ! Une pente de 0 donne une droite horizontale ($y = b$). Une pente négative signifie que la droite descend de gauche à droite (comme une piste de ski).

Q: Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une équation linéaire ?

A: Une équation linéaire est toute équation dont le graphique est une droite. Une fonction linéaire est spécifiquement écrite avec $y$ seul d'un côté : $y = mx + b$. Toute fonction linéaire est une équation linéaire, mais toute équation linéaire n'est pas écrite comme une fonction.