Ecrire à partir de la pente et de l'ordonnée à l'origine

Ecris l'équation d'une droite de pente $m = 3$ et d'ordonnée à l'origine $b = -2$.

Identifier la pente: $m = 3$ = La pente est 3

Identifier l'ordonnée à l'origine: $b = -2$ = L'ordonnée à l'origine est $-2$

Substituer dans la forme réduite: $y = mx + b$ $y = 3x + (-2)$ = $y = 3x - 2$

Answer: $y = 3x - 2$

Ecrire à partir d'un point et de la pente

Ecris l'équation d'une droite de pente $m = 2$ passant par le point $(3, 7)$.

Ecrire la forme point-pente: $y - y_1 = m(x - x_1)$ = Modèle prêt

Substituer les valeurs: $y - 7 = 2(x - 3)$ = Forme point-pente

Distribuer la pente: $y - 7 = 2x - 6$ = Côté droit simplifié

Résoudre pour y: $y = 2x - 6 + 7$ $y = 2x + 1$ = $y = 2x + 1$

Answer: $y = 2x + 1$

Ecrire à partir de deux points

Ecris l'équation de la droite passant par $(1, 2)$ et $(4, 11)$.

Calculer la pente: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3}$ = $m = 3$

Utiliser la forme point-pente avec $(1, 2)$: $y - 2 = 3(x - 1)$ = Equation point-pente

Distribuer: $y - 2 = 3x - 3$ = Forme développée

Résoudre pour y: $y = 3x - 3 + 2$ $y = 3x - 1$ = $y = 3x - 1$

Answer: $y = 3x - 1$

Ecrire à partir d'un tableau

Ecris l'équation pour ce tableau : | $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | |-----|---|---|---|---| | $y$ | 4 | 7 | 10 | 13 |

Trouver le taux de variation (pente): Quand $x$ augmente de 1, $y$ augmente de 3 $m = \frac{7-4}{1-0} = 3$ = $m = 3$

Trouver l'ordonnée à l'origine: Quand $x = 0$, $y = 4$ $b = 4$ = $b = 4$

Ecrire l'équation: $y = mx + b$ $y = 3x + 4$ = $y = 3x + 4$

Vérifier avec un autre point: Vérifier $(2, 10)$ : $3(2) + 4 = 10$ ✓ = Equation confirmée !

Answer: $y = 3x + 4$

Ecrire à partir d'un problème

Un taxi facture 3€ de prise en charge plus 2€ par kilomètre. Ecris une équation pour le coût total $C$ en fonction des kilomètres $k$.

Identifier le taux de variation: Le coût augmente de 2€ par kilomètre = Pente $= 2$

Identifier la valeur initiale: La prise en charge est de 3€ (quand $k = 0$) = Ordonnée à l'origine $= 3$

Ecrire l'équation: $C = 2k + 3$ = Equation du coût total

Interpréter: Pour 5 km : $C = 2(5) + 3 = 13$€ = 13€ pour 5 km

Answer: $C = 2k + 3$

Mistake: Confondre la pente et l'ordonnée à l'origine

Why: Dans $y = mx + b$, le coefficient de $x$ est TOUJOURS la pente, et la constante est TOUJOURS l'ordonnée à l'origine.

Correct: Retiens : $m$ multiplie $x$ (pente), $b$ est seul (ordonnée à l'origine). Dans $y = 5 + 3x$, la pente est 3, pas 5 !

Mistake: Calculer la pente comme $\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$

Why: Cela donne l'inverse de la bonne pente !

Correct: La pente est toujours $\frac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (les y au-dessus, les x en-dessous)

Mistake: Oublier de distribuer les pentes négatives

Why: Quand $m = -2$ et le point est $(3, 5)$ : $y - 5 = -2(x - 3)$ devient $y - 5 = -2x + 6$, pas $-2x - 6$

Correct: Un négatif fois un négatif donne un positif : $-2 \times (-3) = +6$

Mistake: Utiliser des points incohérents dans la formule de la pente

Why: Changer l'ordre des points en cours de calcul donne des réponses fausses.

Correct: Si tu commences avec $(x_1, y_1) = (2, 5)$, utilise-le de façon cohérente : $m = \frac{y_2 - 5}{x_2 - 2}$

Forfaits téléphoniques

Les opérateurs téléphoniques utilisent des équations linéaires pour calculer les factures mensuelles avec des frais fixes et des coûts à l'unité.

Un forfait coûte 30€ par mois plus 0,10€ par SMS. L'équation est $C = 0{,}10t + 30$.

Expériences scientifiques

Les scientifiques utilisent des équations linéaires pour modéliser des relations comme les changements de température ou les distances parcourues.

L'eau refroidit de 5 degrés par minute depuis 80 degrés initiaux : $T = -5t + 80$

Objectifs d'épargne

Les équations linéaires aident à suivre les progrès d'épargne vers des objectifs financiers.

En commençant avec 200€ et en épargnant 50€ par semaine : $E = 50s + 200$

Q: Quelle forme dois-je utiliser - forme réduite ou point-pente ?

A: Si tu connais l'ordonnée à l'origine, utilise la forme réduite ($y = mx + b$). Si tu connais seulement un point qui n'est pas sur l'axe des y, la forme point-pente ($y - y_1 = m(x - x_1)$) est plus facile. Les deux donnent la même droite !

Q: Et si j'obtiens une équation différente avec un point différent ?

A: Des points différents donnent des équations qui semblent différentes mais représentent la même droite. Par exemple, avec les points $(1, 5)$ et $(2, 8)$ de pente 3 : $y - 5 = 3(x - 1)$ et $y - 8 = 3(x - 2)$ se simplifient tous deux en $y = 3x + 2$.

Q: Comment savoir si mon équation est correcte ?

A: Substitue un point connu dans ton équation. Si les deux côtés sont égaux, c'est correct ! Par exemple, si ta droite passe par $(2, 7)$ et ton équation est $y = 2x + 3$, vérifie : $7 = 2(2) + 3 = 7$ ✓