Additionner deux polynômes

Additionne : $(4x^2 + 3x - 5) + (2x^2 - 7x + 8)$

Identifie les termes semblables: Termes en $x^2$ : $4x^2$ et $2x^2$ Termes en $x$ : $3x$ et $-7x$ Constantes : $-5$ et $8$ = Trois groupes de termes semblables

Additionne les termes en $x^2$: $4x^2 + 2x^2 = 6x^2$ = $6x^2$

Additionne les termes en $x$: $3x + (-7x) = 3x - 7x = -4x$ = $-4x$

Additionne les constantes: $-5 + 8 = 3$ = $3$

Écris le polynôme final: Combine tous les résultats sous forme standard = $6x^2 - 4x + 3$

Answer: $6x^2 - 4x + 3$

Soustraire des polynômes

Soustrais : $(5x^2 - 2x + 4) - (3x^2 + 6x - 1)$

Distribue le signe négatif: Change chaque signe dans le second polynôme : $-(3x^2 + 6x - 1) = -3x^2 - 6x + 1$ = $5x^2 - 2x + 4 - 3x^2 - 6x + 1$

Groupe les termes semblables: $(5x^2 - 3x^2) + (-2x - 6x) + (4 + 1)$ = Groupés par degré

Combine les termes en $x^2$: $5x^2 - 3x^2 = 2x^2$ = $2x^2$

Combine les termes en $x$: $-2x - 6x = -8x$ = $-8x$

Combine les constantes: $4 + 1 = 5$ = $5$

Écris le résultat: Assemble le tout = $2x^2 - 8x + 5$

Answer: $2x^2 - 8x + 5$

Polynômes avec termes manquants

Simplifie : $(x^3 - 4x + 2) + (3x^2 + 5x - 7)$

Identifie tous les termes par degré: Premier polynôme : $x^3$ (degré 3), $-4x$ (degré 1), $2$ (degré 0) Second polynôme : $3x^2$ (degré 2), $5x$ (degré 1), $-7$ (degré 0) = Certains degrés n'ont qu'un seul terme

Traite les termes sans correspondance: $x^3$ n'a pas de terme semblable – garde-le $3x^2$ n'a pas de terme semblable – garde-le = $x^3 + 3x^2$

Combine les termes en $x$: $-4x + 5x = x$ = $x$

Combine les constantes: $2 + (-7) = 2 - 7 = -5$ = $-5$

Écris sous forme standard: Arrange par degré décroissant = $x^3 + 3x^2 + x - 5$

Answer: $x^3 + 3x^2 + x - 5$

Soustraction avec coefficient dominant négatif

Simplifie : $(2x^2 - 5x + 3) - (-4x^2 + 2x - 6)$

Distribue le moins au second polynôme: $-(-4x^2) = +4x^2$ $-(+2x) = -2x$ $-(-6) = +6$ = $2x^2 - 5x + 3 + 4x^2 - 2x + 6$

Combine les termes en $x^2$: $2x^2 + 4x^2 = 6x^2$ = $6x^2$

Combine les termes en $x$: $-5x - 2x = -7x$ = $-7x$

Combine les constantes: $3 + 6 = 9$ = $9$

Écris la réponse finale: Forme standard : degré le plus élevé en premier = $6x^2 - 7x + 9$

Answer: $6x^2 - 7x + 9$

Mistake: Oublier de distribuer le signe négatif à TOUS les termes lors de la soustraction

Why: Lors de la soustraction de $(3x^2 + 2x - 1)$, le moins s'applique à chaque terme à l'intérieur des parenthèses.

Correct: $(5x^2) - (3x^2 + 2x - 1) = 5x^2 - 3x^2 - 2x + 1$, PAS $5x^2 - 3x^2 + 2x - 1$

Mistake: Additionner des termes non semblables

Why: $3x^2 + 5x$ ne peut pas être simplifié car $x^2$ et $x$ sont des puissances différentes.

Correct: Ne combine que les termes avec la MÊME variable ET le MÊME exposant. $3x^2 + 5x$ est déjà simplifié.

Mistake: Confondre coefficients et exposants lors de la combinaison

Why: Lors de l'addition de $3x^2 + 5x^2$, on additionne les coefficients (3 et 5), pas les exposants.

Correct: $3x^2 + 5x^2 = 8x^2$ (PAS $8x^4$). L'exposant reste le même !

Mistake: Oublier les termes sans terme semblable correspondant

Why: S'il n'y a pas de terme correspondant, le terme reste seul dans la réponse.

Correct: $(x^3 + 2x) + (5x^2 - x) = x^3 + 5x^2 + x$. Le $x^3$ et le $5x^2$ n'ont pas de partenaire.

Économie : Calculs de profit

Les entreprises calculent le profit en soustrayant les coûts des revenus, les deux étant souvent des fonctions polynomiales.

Si le revenu est $R(x) = 50x - 0{,}5x^2$ et le coût est $C(x) = 20x + 100$, alors le profit $P(x) = R(x) - C(x) = 50x - 0{,}5x^2 - 20x - 100 = -0{,}5x^2 + 30x - 100$

Physique : Combiner des équations de mouvement

Quand des objets se déplacent dans la même direction, leurs équations de position peuvent être additionnées.

Si deux forces créent des déplacements $d_1 = 3t^2 + 2t$ et $d_2 = t^2 - 5t + 10$, le déplacement total est $d = d_1 + d_2 = 4t^2 - 3t + 10$

Architecture : Calculs de surface

Lors de la combinaison ou de la suppression de sections de plans d'étage, les architectes additionnent ou soustraient des expressions polynomiales de surface.

Une pièce de surface $A_1 = x^2 + 6x$ reçoit une alcôve de surface $A_2 = 2x + 5$. Surface totale : $A_1 + A_2 = x^2 + 8x + 5$

Q: Puis-je additionner $3x^2$ et $5x$ ?

A: Non ! Ce sont des termes non semblables car ils ont des exposants différents. $3x^2 + 5x$ est déjà complètement simplifié.

Q: Qu'arrive-t-il aux exposants quand j'additionne des termes semblables ?

A: Les exposants restent les mêmes ! Lors de l'addition de $3x^2 + 5x^2$, on additionne seulement les coefficients : $3 + 5 = 8$, donc le résultat est $8x^2$.

Q: Pourquoi dois-je distribuer le négatif lors de la soustraction ?

A: Soustraire un polynôme signifie soustraire chaque terme qu'il contient. Le signe négatif devant les parenthèses s'applique à tous les termes à l'intérieur, donc chaque signe doit changer.