Addition et soustraction de polynômes

Apprends à additionner et soustraire des polynômes en combinant les termes semblables.

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Définition

Additionner et soustraire des polynômes signifie combiner les termes semblables – des termes qui ont la même variable élevée à la même puissance.
Les termes semblables ont la même variable et le même exposant :
  • 3x23x^2 et 5x25x^2 sont semblables (tous deux ont x2x^2)
  • 2x2x et −7x-7x sont semblables (tous deux ont x1x^1)
  • 44 et −9-9 sont semblables (tous deux sont des constantes)
Les termes non semblables ne peuvent pas être combinés :
  • 3x23x^2 et 5x5x ne sont PAS semblables (puissances différentes)
  • 2x2x et 2y2y ne sont PAS semblables (variables différentes)
Pour additionner des polynômes : Combine les termes semblables en additionnant leurs coefficients.
(3x2+2x+1)+(5x2−4x+3)=(3x2+5x2)+(2x−4x)+(1+3)=8x2−2x+4\begin{align}(3x^2 + 2x + 1) + (5x^2 - 4x + 3) &= (3x^2 + 5x^2) + (2x - 4x) + (1 + 3) \\ &= 8x^2 - 2x + 4\end{align}
Pour soustraire des polynômes : Distribue le signe négatif, puis combine les termes semblables.
(3x2+2x+1)−(5x2−4x+3)=3x2+2x+1−5x2+4x−3=−2x2+6x−2\begin{align}(3x^2 + 2x + 1) - (5x^2 - 4x + 3) &= 3x^2 + 2x + 1 - 5x^2 + 4x - 3 \\ &= -2x^2 + 6x - 2\end{align}

Essaie tout de suite

Quels termes sont semblables ?

Exemples résolus

Additionne : (4x2+3x−5)+(2x2−7x+8)(4x^2 + 3x - 5) + (2x^2 - 7x + 8)
1

Identifie les termes semblables

Termes en x2x^2 : 4x24x^2 et 2x22x^2 Termes en xx : 3x3x et −7x-7x Constantes : −5-5 et 88 → Trois groupes de termes semblables
2

Additionne les termes en x2x^2

4x2+2x2=6x24x^2 + 2x^2 = 6x^2
3

Additionne les termes en xx

3x+(−7x)=3x−7x=−4x3x + (-7x) = 3x - 7x = -4x
4

Additionne les constantes

−5+8=3-5 + 8 = 3
5

Écris le polynôme final

Combine tous les résultats sous forme standard → 6x2−4x+36x^2 - 4x + 3

Erreurs courantes

Oublier de distribuer le signe négatif à TOUS les termes lors de la soustraction

Pourquoi c'est faux: Lors de la soustraction de (3x2+2x−1)(3x^2 + 2x - 1), le moins s'applique à chaque terme à l'intérieur des parenthèses.

Correct: (5x2)−(3x2+2x−1)=5x2−3x2−2x+1(5x^2) - (3x^2 + 2x - 1) = 5x^2 - 3x^2 - 2x + 1, PAS 5x2−3x2+2x−15x^2 - 3x^2 + 2x - 1

Additionner des termes non semblables

Pourquoi c'est faux: 3x2+5x3x^2 + 5x ne peut pas être simplifié car x2x^2 et xx sont des puissances différentes.

Correct: Ne combine que les termes avec la MÊME variable ET le MÊME exposant. 3x2+5x3x^2 + 5x est déjà simplifié.

Confondre coefficients et exposants lors de la combinaison

Pourquoi c'est faux: Lors de l'addition de 3x2+5x23x^2 + 5x^2, on additionne les coefficients (3 et 5), pas les exposants.

Correct: 3x2+5x2=8x23x^2 + 5x^2 = 8x^2 (PAS 8x48x^4). L'exposant reste le même !

Oublier les termes sans terme semblable correspondant

Pourquoi c'est faux: S'il n'y a pas de terme correspondant, le terme reste seul dans la réponse.

Correct: (x3+2x)+(5x2−x)=x3+5x2+x(x^3 + 2x) + (5x^2 - x) = x^3 + 5x^2 + x. Le x3x^3 et le 5x25x^2 n'ont pas de partenaire.

Visuel interactif

Tuiles algébriques : réduire les termes semblables

Chaque tuile est un terme : les grands carrés valent x², les longues bandes x, les petits carrés 1. Les tuiles rouges sont négatives.

4x24x^2
3x3x
−5-5
2x22x^2
−7x-7x
88

4x2+3x−5+2x2−7x+84x^2 + 3x - 5 + 2x^2 - 7x + 8

Chaque terme devient des tuiles : le coefficient dit combien.

=x2= x^2=x= x=1= 1négatif

Courbe de la fonction

-3-2-10123-10010203040xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

p(x)q(x)p(x) + q(x)

Tableau de valeurs

x-2-1012
p(x)5-4-5217
q(x)3017832
p(x) + q(x)35133519

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Quels termes sont semblables ?

Pourquoi c'est important

Les opérations sur les polynômes sont des éléments fondamentaux en algèbre et au-delà :
  • Physique : Combiner des équations de mouvement comme s=ut+12at2s = ut + \frac{1}{2}at^2 nécessite l'arithmétique des polynômes
  • Ingénierie : Les calculs d'aires et de volumes impliquent souvent l'addition d'expressions polynomiales
  • Économie : Les fonctions de profit combinent des polynômes de revenus et de coûts : P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x)
  • Informatique : Les algorithmes polynomiaux et l'analyse de complexité utilisent ces opérations
Maîtriser l'addition et la soustraction de polynômes te prépare à la factorisation, la résolution d'équations et le calcul différentiel !

Applications dans le monde réel

Économie : Calculs de profit

Les entreprises calculent le profit en soustrayant les coûts des revenus, les deux étant souvent des fonctions polynomiales.

Exemple:

Si le revenu est R(x)=50x−0,5x2R(x) = 50x - 0{,}5x^2 et le coût est C(x)=20x+100C(x) = 20x + 100, alors le profit P(x)=R(x)−C(x)=50x−0,5x2−20x−100=−0,5x2+30x−100P(x) = R(x) - C(x) = 50x - 0{,}5x^2 - 20x - 100 = -0{,}5x^2 + 30x - 100

1Essaie par toi-même

Une entreprise a un revenu R(x)=100x−2x2R(x) = 100x - 2x^2 et des coûts C(x)=30x+500C(x) = 30x + 500 pour produire xx articles.

Quel est le polynôme de profit P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Soustrais : (100x−2x2)−(30x+500)(100x - 2x^2) - (30x + 500)

Physique : Combiner des équations de mouvement

Quand des objets se déplacent dans la même direction, leurs équations de position peuvent être additionnées.

Exemple:

Si deux forces créent des déplacements d1=3t2+2td_1 = 3t^2 + 2t et d2=t2−5t+10d_2 = t^2 - 5t + 10, le déplacement total est d=d1+d2=4t2−3t+10d = d_1 + d_2 = 4t^2 - 3t + 10

2Essaie par toi-même

Deux composantes de mouvement sont décrites par s1=5t2+3ts_1 = 5t^2 + 3t et s2=2t2−8t+4s_2 = 2t^2 - 8t + 4.

Trouve le mouvement total s=s1+s2s = s_1 + s_2.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Additionne : (5t2+3t)+(2t2−8t+4)(5t^2 + 3t) + (2t^2 - 8t + 4)

Architecture : Calculs de surface

Lors de la combinaison ou de la suppression de sections de plans d'étage, les architectes additionnent ou soustraient des expressions polynomiales de surface.

Exemple:

Une pièce de surface A1=x2+6xA_1 = x^2 + 6x reçoit une alcôve de surface A2=2x+5A_2 = 2x + 5. Surface totale : A1+A2=x2+8x+5A_1 + A_2 = x^2 + 8x + 5

3Essaie par toi-même

Une parcelle rectangulaire a une surface A=x2+10x+24A = x^2 + 10x + 24. Un abri de surface S=2x+8S = 2x + 8 y est construit.

Quelle est la surface utilisable restante ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Soustrais : (x2+10x+24)−(2x+8)(x^2 + 10x + 24) - (2x + 8)

Points clés

  • 1Les termes semblables ont la même variable élevée à la même puissance
  • 2Pour additionner des polynômes, combine les coefficients des termes semblables
  • 3Pour soustraire des polynômes, distribue le signe négatif à chaque terme, puis combine les termes semblables
  • 4Les termes sans terme semblable correspondant restent inchangés dans le résultat
  • 5Écris toujours ta réponse finale sous forme standard (degré le plus élevé en premier)

Questions fréquentes

Non ! Ce sont des termes non semblables car ils ont des exposants différents. 3x2+5x3x^2 + 5x est déjà complètement simplifié.
Non ! Ce sont des termes non semblables car ils ont des exposants différents. 3x2+5x3x^2 + 5x est déjà complètement simplifié.
Les exposants restent les mêmes ! Lors de l'addition de 3x2+5x23x^2 + 5x^2, on additionne seulement les coefficients : 3+5=83 + 5 = 8, donc le résultat est 8x28x^2.
Soustraire un polynôme signifie soustraire chaque terme qu'il contient. Le signe négatif devant les parenthèses s'applique à tous les termes à l'intérieur, donc chaque signe doit changer.

Glossaire

Polynôme
Une expression avec un ou plusieurs termes, où chaque terme a une variable élevée à une puissance entière non négative
Termes semblables
Termes qui ont exactement la même variable élevée à la même puissance (par ex., 3x23x^2 et −5x2-5x^2)
Coefficient
Le facteur numérique devant une variable (par ex., dans 7x27x^2, le coefficient est 7)
Forme standard
Un polynôme écrit avec les termes ordonnés du degré le plus élevé au plus bas
Degré
L'exposant le plus élevé dans un polynôme ; pour un terme, c'est l'exposant de la variable
Défi du jourUn problème, trois essais

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