Multiplication basique de binômes

Multiplie $(x + 2)(x + 3)$

First : Multiplie les premiers termes: $x \cdot x = x^2$ = $x^2$

Outer : Multiplie les termes extérieurs: $x \cdot 3 = 3x$ = $3x$

Inner : Multiplie les termes intérieurs: $2 \cdot x = 2x$ = $2x$

Last : Multiplie les derniers termes: $2 \cdot 3 = 6$ = $6$

Combine tous les termes: $x^2 + 3x + 2x + 6$ = $x^2 + 5x + 6$

Answer: $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6$

Binômes avec soustraction

Multiplie $(x + 5)(x - 2)$

First : Multiplie les premiers termes: $x \cdot x = x^2$ = $x^2$

Outer : Multiplie les termes extérieurs: $x \cdot (-2) = -2x$ = $-2x$

Inner : Multiplie les termes intérieurs: $5 \cdot x = 5x$ = $5x$

Last : Multiplie les derniers termes: $5 \cdot (-2) = -10$ = $-10$

Regroupe les termes semblables: $x^2 - 2x + 5x - 10 = x^2 + 3x - 10$ = $x^2 + 3x - 10$

Answer: $(x + 5)(x - 2) = x^2 + 3x - 10$

Binômes avec coefficients

Multiplie $(2x + 1)(x + 4)$

First : Multiplie les premiers termes: $2x \cdot x = 2x^2$ = $2x^2$

Outer : Multiplie les termes extérieurs: $2x \cdot 4 = 8x$ = $8x$

Inner : Multiplie les termes intérieurs: $1 \cdot x = x$ = $x$

Last : Multiplie les derniers termes: $1 \cdot 4 = 4$ = $4$

Regroupe les termes semblables: $2x^2 + 8x + x + 4 = 2x^2 + 9x + 4$ = $2x^2 + 9x + 4$

Answer: $(2x + 1)(x + 4) = 2x^2 + 9x + 4$

Les deux termes négatifs

Multiplie $(x - 3)(x - 4)$

First : Multiplie les premiers termes: $x \cdot x = x^2$ = $x^2$

Outer : Multiplie les termes extérieurs: $x \cdot (-4) = -4x$ = $-4x$

Inner : Multiplie les termes intérieurs: $(-3) \cdot x = -3x$ = $-3x$

Last : Multiplie les derniers termes: $(-3) \cdot (-4) = 12$ = $12$

Regroupe les termes semblables: $x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$ = $x^2 - 7x + 12$

Answer: $(x - 3)(x - 4) = x^2 - 7x + 12$

Mistake: Oublier de multiplier les QUATRE paires de termes

Why: Les élèves ne multiplient parfois que les premiers et derniers termes, oubliant complètement les termes du milieu.

Correct: Suis toujours F-O-I-L dans l'ordre : First, Outer, Inner, Last. Tu dois avoir 4 termes avant de regrouper.

Mistake: Erreurs de signe en multipliant des nombres négatifs

Why: Négatif fois négatif égale positif, mais les élèves oublient souvent cette règle.

Correct: Dans $(x - 3)(x - 4)$, l'étape Last donne $(-3)(-4) = +12$, pas $-12$.

Mistake: Ne pas regrouper les termes semblables à la fin

Why: Les termes Outer et Inner produisent souvent des termes semblables qui doivent être regroupés.

Correct: Après FOIL, vérifie toujours les termes semblables. Pour $(x+2)(x+3)$ : $3x + 2x = 5x$.

Mistake: Confondre $x \cdot x$ avec $x + x$

Why: L'étape First est une multiplication, pas une addition.

Correct: $x \cdot x = x^2$, pas $2x$. Rappel : multiplier des variables identiques signifie additionner les exposants.

Aire d'un jardin

Un jardin rectangulaire a des dimensions qui peuvent être exprimées comme des binômes.

Si un jardin mesure $(x + 3)$ mètres de long et $(x + 2)$ mètres de large, son aire est $(x+3)(x+2) = x^2 + 5x + 6$ mètres carrés.

Mouvement de projectile

En physique, la trajectoire d'un objet lancé implique souvent des produits de binômes.

Si la hauteur dépend de $(t + 2)(t - 5)$ où $t$ est le temps, le développement donne $t^2 - 3t - 10$ qui est plus facile à analyser.

Q: FOIL fonctionne-t-il pour multiplier tous les polynômes ?

A: FOIL ne fonctionne que pour multiplier deux binômes (expressions avec exactement 2 termes chacune). Pour les autres polynômes, utilise la distributivité pour multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre.

Q: Pourquoi les termes Outer et Inner se regroupent-ils généralement ?

A: Dans $(x + a)(x + b)$, Outer donne $bx$ et Inner donne $ax$. Les deux sont des termes en $x$ (termes semblables), donc ils se combinent en $(a + b)x$.

Q: Y a-t-il un pattern pour $(x + a)(x + b)$ ?

A: Oui ! $(x + a)(x + b) = x^2 + (a+b)x + ab$. Le coefficient du milieu est la somme de $a$ et $b$, et la constante est leur produit.