Monôme fois binôme

Multiplie : $3x(2x + 5)$

Distribue le monôme à chaque terme: $3x \times 2x + 3x \times 5$ = Appliquer la distributivité

Calcule le premier produit: $3x \times 2x = 6x^2$ = $6x^2$

Calcule le deuxième produit: $3x \times 5 = 15x$ = $15x$

Combine les termes: $6x^2 + 15x$ = Réponse finale

Answer: $3x(2x + 5) = 6x^2 + 15x$

Méthode FOIL avec binômes

Multiplie : $(x + 3)(x + 4)$

Appliquer FOIL - Premiers termes: $x \times x = x^2$ = $x^2$

Termes extérieurs: $x \times 4 = 4x$ = $4x$

Termes intérieurs: $3 \times x = 3x$ = $3x$

Derniers termes: $3 \times 4 = 12$ = $12$

Combiner tous les termes: $x^2 + 4x + 3x + 12$ = $x^2 + 7x + 12$

Answer: $(x + 3)(x + 4) = x^2 + 7x + 12$

Binômes avec soustraction

Multiplie : $(2x - 3)(x + 5)$

Premiers termes: $2x \times x = 2x^2$ = $2x^2$

Termes extérieurs: $2x \times 5 = 10x$ = $10x$

Termes intérieurs: $-3 \times x = -3x$ = $-3x$

Derniers termes: $-3 \times 5 = -15$ = $-15$

Regrouper les termes semblables: $2x^2 + 10x - 3x - 15$ = $2x^2 + 7x - 15$

Answer: $(2x - 3)(x + 5) = 2x^2 + 7x - 15$

Élever un binôme au carré

Développe : $(x + 4)^2$

Réécrire comme multiplication: $(x + 4)^2 = (x + 4)(x + 4)$ = Deux binômes identiques

Premiers termes: $x \times x = x^2$ = $x^2$

Termes extérieurs + intérieurs: $x \times 4 + 4 \times x = 4x + 4x = 8x$ = $8x$

Derniers termes: $4 \times 4 = 16$ = $16$

Combiner tous les termes: $x^2 + 8x + 16$ = Trinôme carré parfait

Answer: $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$

Binôme fois trinôme

Multiplie : $(x + 2)(x^2 - 3x + 1)$

Distribue x à chaque terme: $x(x^2 - 3x + 1) = x^3 - 3x^2 + x$ = $x^3 - 3x^2 + x$

Distribue 2 à chaque terme: $2(x^2 - 3x + 1) = 2x^2 - 6x + 2$ = $2x^2 - 6x + 2$

Combiner les deux résultats: $x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2$ = Tous les termes écrits

Grouper les termes semblables: $x^3 + (-3x^2 + 2x^2) + (x - 6x) + 2$ = Organiser par degré

Simplifier: $x^3 - x^2 - 5x + 2$ = Réponse finale

Answer: $(x + 2)(x^2 - 3x + 1) = x^3 - x^2 - 5x + 2$

Mistake: Ne multiplier que les premiers et derniers termes : $(x + 3)(x + 4) = x^2 + 12$

Why: Chaque terme du premier polynôme doit être multiplié par chaque terme du second polynôme.

Correct: Utiliser FOIL : $x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$

Mistake: Oublier le terme du milieu en élevant au carré : $(x + 5)^2 = x^2 + 25$

Why: Élever un binôme au carré crée trois termes, pas deux. Le terme du milieu est $2ab$.

Correct: $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$

Mistake: Erreurs de signe avec les termes négatifs : $(-3)(5) = 15$

Why: Un négatif fois un positif donne un négatif.

Correct: $(-3)(5) = -15$

Mistake: Ajouter incorrectement les exposants : $x \times x = 2x$

Why: En multipliant des variables, on additionne les exposants : $x^1 \times x^1 = x^2$

Correct: $x \times x = x^2$

Aire d'un jardin

Calculer des aires avec des dimensions variables nécessite la multiplication de polynômes.

Un jardin rectangulaire a une longueur de $(x + 5)$ mètres et une largeur de $(x + 3)$ mètres. L'aire est $(x + 5)(x + 3) = x^2 + 8x + 15$ mètres carrés.

Chiffre d'affaires

Les calculs de revenus impliquent souvent la multiplication d'expressions pour le prix et la quantité.

Si le prix est $(20 - x)$ euros et la quantité vendue est $(100 + 5x)$ articles, le revenu est $(20 - x)(100 + 5x) = 2000 + 100x - 100x - 5x^2 = 2000 - 5x^2$ euros.

Q: FOIL fonctionne-t-il pour toutes les multiplications de polynômes ?

A: FOIL ne fonctionne que pour multiplier deux binômes. Pour les autres cas, utilise la propriété distributive générale.

Q: Pourquoi $(x + 3)^2$ n'est-il pas égal à $x^2 + 9$ ?

A: Élever au carré signifie multiplier par soi-même : $(x + 3)(x + 3)$. Avec FOIL, on obtient $x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$.

Q: Comment savoir quand arrêter de regrouper les termes ?

A: Regroupe les termes ayant la même variable et le même exposant. Arrête quand il ne reste plus de termes semblables.