Multiplier des polynômes

Apprends à multiplier des polynômes en utilisant la propriété distributive et la méthode FOIL.

Intermédiaire25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Multiplier des polynômes signifie distribuer chaque terme d'un polynôme à chaque terme de l'autre polynôme, puis regrouper les termes semblables.
La propriété distributive énonce :
a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac
Pour deux binômes, on utilise la méthode FOIL :
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
FOIL signifie :
  • First (Premiers termes) : a×ca \times c
  • Outer (Termes extérieurs) : a×da \times d
  • Inner (Termes intérieurs) : b×cb \times c
  • Last (Derniers termes) : b×db \times d

Essaie tout de suite

Que vaut 2x(x+3)2x(x + 3) ?

Exemples résolus

Multiplie : 3x(2x+5)3x(2x + 5)
1

Distribue le monôme à chaque terme

3x×2x+3x×53x \times 2x + 3x \times 5 → Appliquer la distributivité
2

Calcule le premier produit

3x×2x=6x23x \times 2x = 6x^2
3

Calcule le deuxième produit

3x×5=15x3x \times 5 = 15x
4

Combine les termes

6x2+15x6x^2 + 15x → Réponse finale

Erreurs courantes

Ne multiplier que les premiers et derniers termes : (x+3)(x+4)=x2+12(x + 3)(x + 4) = x^2 + 12

Pourquoi c'est faux: Chaque terme du premier polynôme doit être multiplié par chaque terme du second polynôme.

Correct: Utiliser FOIL : x2+4x+3x+12=x2+7x+12x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12

Oublier le terme du milieu en élevant au carré : (x+5)2=x2+25(x + 5)^2 = x^2 + 25

Pourquoi c'est faux: Élever un binôme au carré crée trois termes, pas deux. Le terme du milieu est 2ab2ab.

Correct: (x+5)2=x2+10x+25(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25

Erreurs de signe avec les termes négatifs : (−3)(5)=15(-3)(5) = 15

Pourquoi c'est faux: Un négatif fois un positif donne un négatif.

Correct: (−3)(5)=−15(-3)(5) = -15

Ajouter incorrectement les exposants : x×x=2xx \times x = 2x

Pourquoi c'est faux: En multipliant des variables, on additionne les exposants : x1×x1=x2x^1 \times x^1 = x^2

Correct: x×x=x2x \times x = x^2

Visuel interactif

Modèle d'aire : multiplier des binômes

Le rectangle mesure (x + a) sur (x + b). Ses quatre morceaux sont les quatre produits du développement.

x2x^2
3x3x
4x4x
1212
xx
33
xx
44

Longueur × largeur = aire

(x+3)(x+4)=x2+7x+12(x + 3)(x + 4) = x^2 + 7x + 12

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Que vaut 2x(x+3)2x(x + 3) ?

Pourquoi c'est important

Multiplier des polynômes est essentiel pour :
  • Factoriser : Pour factoriser, il faut comprendre comment les facteurs se multiplient
  • Résoudre des équations : Les équations du second degré viennent souvent de la multiplication de polynômes
  • Calculs d'aires : Trouver l'aire de rectangles avec des dimensions variables
  • Modélisation : La physique, l'ingénierie et l'économie utilisent les produits de polynômes
Maîtriser cette compétence ouvre les portes à des sujets d'algèbre plus avancés !

Applications dans le monde réel

Aire d'un jardin

Calculer des aires avec des dimensions variables nécessite la multiplication de polynômes.

Exemple:

Un jardin rectangulaire a une longueur de (x+5)(x + 5) mètres et une largeur de (x+3)(x + 3) mètres. L'aire est (x+5)(x+3)=x2+8x+15(x + 5)(x + 3) = x^2 + 8x + 15 mètres carrés.

1Essaie par toi-même

Un cadre autour d'une image ajoute 2 cm de chaque côté. L'image mesure xx cm sur xx cm.

Quelle est l'aire totale avec le cadre ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie (x+4)(x+4)(x + 4)(x + 4) :

Chiffre d'affaires

Les calculs de revenus impliquent souvent la multiplication d'expressions pour le prix et la quantité.

Exemple:

Si le prix est (20−x)(20 - x) euros et la quantité vendue est (100+5x)(100 + 5x) articles, le revenu est (20−x)(100+5x)=2000+100x−100x−5x2=2000−5x2(20 - x)(100 + 5x) = 2000 + 100x - 100x - 5x^2 = 2000 - 5x^2 euros.

2Essaie par toi-même

Un magasin vend (50+x)(50 + x) articles à (10−x)(10 - x) euros chacun.

Écris le revenu sous forme de polynôme.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie (50+x)(10−x)(50 + x)(10 - x) :

Points clés

  • 1Utilise la propriété distributive pour multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre
  • 2Pour deux binômes, utilise FOIL : First, Outer, Inner, Last
  • 3Regroupe toujours les termes semblables après la multiplication
  • 4Pour élever un binôme au carré : (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • 5Fais attention aux erreurs de signe, surtout avec les termes négatifs

Questions fréquentes

FOIL ne fonctionne que pour multiplier deux binômes. Pour les autres cas, utilise la propriété distributive générale.
FOIL ne fonctionne que pour multiplier deux binômes. Pour les autres cas, utilise la propriété distributive générale.
Élever au carré signifie multiplier par soi-même : (x+3)(x+3)(x + 3)(x + 3). Avec FOIL, on obtient x2+3x+3x+9=x2+6x+9x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9.
Regroupe les termes ayant la même variable et le même exposant. Arrête quand il ne reste plus de termes semblables.

Glossaire

Polynôme
Une expression avec un ou plusieurs termes impliquant des variables et des coefficients (ex. : 3x2+2x−53x^2 + 2x - 5)
Binôme
Un polynôme avec exactement deux termes (ex. : x+3x + 3)
Trinôme
Un polynôme avec exactement trois termes (ex. : x2+5x+6x^2 + 5x + 6)
FOIL
Une méthode pour multiplier deux binômes : First, Outer, Inner, Last
Termes semblables
Termes avec la même variable élevée à la même puissance (ex. : 3x23x^2 et 5x25x^2)

Carte des formules

Propriété distributive

a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac

Multiplier le terme extérieur par chaque terme intérieur

Méthode FOIL

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

First, Outer, Inner, Last pour deux binômes

Carré d'une somme

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Formule du trinôme carré parfait

Carré d'une différence

(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Note le signe moins sur le terme du milieu

Différence de carrés

(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Les termes du milieu s'annulent

Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Introduction aux polynômes

Intermédiaire25 min

Méthode FOIL

Intermédiaire25 min

Addition et soustraction de polynômes

Avancé25 min

Classifier les polynômes

Intermédiaire20 min