Division synthétique de base

Divisez $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)$ par $(x - 2)$

Identifiez la valeur du diviseur: $(x - 2)$ signifie $c = 2$ = $c = 2$

Écrivez les coefficients dans l'ordre: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ a pour coefficients : $1, -6, 11, -6$ = $1 \quad -6 \quad 11 \quad -6$

Mettez en place la division synthétique: $$\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array}$$ = Prêt pour le calcul

Descendez le premier coefficient: $$\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & 1 & & & \end{array}$$ = Premier coefficient : $1$

Multipliez et additionnez pour chaque colonne: $2 \times 1 = 2$, puis $-6 + 2 = -4$ $2 \times (-4) = -8$, puis $11 + (-8) = 3$ $2 \times 3 = 6$, puis $-6 + 6 = 0$ = $$\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 2 & -8 & 6 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 0 \end{array}$$

Écrivez le quotient et le reste: Ligne du bas : $1, -4, 3$ sont les coefficients du quotient ; $0$ est le reste = Quotient : $x^2 - 4x + 3$, Reste : $0$

Answer: $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) \div (x - 2) = x^2 - 4x + 3$ Puisque le reste est $0$, $(x - 2)$ est un facteur du polynôme.

Division synthétique avec termes manquants

Divisez $(x^4 - 16)$ par $(x - 2)$

Identifiez les termes manquants: $x^4 - 16 = x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x - 16$ = Coefficients : $1, 0, 0, 0, -16$

Mettez en place avec c = 2: $$\begin{array}{c|ccccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & -16 \\ & & & & & \\ \hline & & & & & \end{array}$$ = Incluez des zéros pour les termes manquants

Effectuez la division synthétique: Descendez $1$ $2 \times 1 = 2$, $0 + 2 = 2$ $2 \times 2 = 4$, $0 + 4 = 4$ $2 \times 4 = 8$, $0 + 8 = 8$ $2 \times 8 = 16$, $-16 + 16 = 0$ = $$\begin{array}{c|ccccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & -16 \\ & & 2 & 4 & 8 & 16 \\ \hline & 1 & 2 & 4 & 8 & 0 \end{array}$$

Écrivez le résultat: Coefficients du quotient : $1, 2, 4, 8$ = Quotient : $x^3 + 2x^2 + 4x + 8$

Answer: $(x^4 - 16) \div (x - 2) = x^3 + 2x^2 + 4x + 8$ avec reste $0$

Division synthétique avec (x + c)

Divisez $(2x^3 + 5x^2 - x - 6)$ par $(x + 2)$

Convertissez le diviseur en forme standard: $(x + 2) = (x - (-2))$, donc $c = -2$ = $c = -2$

Écrivez les coefficients: $2x^3 + 5x^2 - x - 6$ a pour coefficients : $2, 5, -1, -6$ = Tous les termes présents

Effectuez la division synthétique avec $c = -2$: Descendez $2$ $(-2) \times 2 = -4$, $5 + (-4) = 1$ $(-2) \times 1 = -2$, $-1 + (-2) = -3$ $(-2) \times (-3) = 6$, $-6 + 6 = 0$ = $$\begin{array}{c|cccc} -2 & 2 & 5 & -1 & -6 \\ & & -4 & -2 & 6 \\ \hline & 2 & 1 & -3 & 0 \end{array}$$

Interprétez le résultat: Quotient : $2x^2 + x - 3$, Reste : $0$ = $(x + 2)$ est un facteur !

Answer: $(2x^3 + 5x^2 - x - 6) \div (x + 2) = 2x^2 + x - 3$ Note : En divisant par $(x + c)$, utilisez $c = -c$ dans la division synthétique.

Trouver un reste non nul

Divisez $(3x^3 - 2x^2 + 5x - 1)$ par $(x - 1)$

Mettez en place avec c = 1: Coefficients : $3, -2, 5, -1$ = $$\begin{array}{c|cccc} 1 & 3 & -2 & 5 & -1 \end{array}$$

Effectuez la division synthétique: Descendez $3$ $1 \times 3 = 3$, $-2 + 3 = 1$ $1 \times 1 = 1$, $5 + 1 = 6$ $1 \times 6 = 6$, $-1 + 6 = 5$ = $$\begin{array}{c|cccc} 1 & 3 & -2 & 5 & -1 \\ & & 3 & 1 & 6 \\ \hline & 3 & 1 & 6 & 5 \end{array}$$

Écrivez la réponse complète: Quotient : $3x^2 + x + 6$, Reste : $5$ = Reste non nul

Answer: $(3x^3 - 2x^2 + 5x - 1) \div (x - 1) = 3x^2 + x + 6 + \frac{5}{x - 1}$ Par le théorème du reste : $P(1) = 3(1)^3 - 2(1)^2 + 5(1) - 1 = 3 - 2 + 5 - 1 = 5$ (égal au reste !)

Utiliser la division synthétique pour tester les racines

Est-ce que $x = 3$ est une racine de $P(x) = x^3 - 7x + 6$ ?

Mettez en place la division synthétique: Coefficients de $x^3 + 0x^2 - 7x + 6$ : $1, 0, -7, 6$ Testez $c = 3$ = Incluez $0$ pour le terme $x^2$ manquant

Effectuez la division synthétique: $$\begin{array}{c|cccc} 3 & 1 & 0 & -7 & 6 \\ & & 3 & 9 & 6 \\ \hline & 1 & 3 & 2 & 12 \end{array}$$ = Reste : $12$

Interprétez le résultat: Reste $= 12 \neq 0$ = $x = 3$ n'est PAS une racine

Answer: Non, $x = 3$ n'est pas une racine de $P(x) = x^3 - 7x + 6$ car le reste est $12$ et non $0$. Une valeur n'est une racine que si le reste est égal à zéro.

Mistake: Oublier d'inclure des zéros pour les termes manquants

Why: Chaque puissance de $x$ du plus haut degré à la constante doit avoir un coefficient. Les termes manquants ont un coefficient de $0$.

Correct: Pour $x^4 - 16$, écrivez : $1, 0, 0, 0, -16$ (zéros pour $x^3$, $x^2$ et $x$)

Mistake: Utiliser le mauvais signe pour c en divisant par $(x + c)$

Why: La division synthétique utilise la forme racine $(x - c)$. En divisant par $(x + 2)$, vous avez besoin de $c = -2$.

Correct: $(x + 2) = (x - (-2))$, donc utilisez $c = -2$ dans la mise en place de la division synthétique

Mistake: Additionner quand vous devriez multiplier, ou vice versa

Why: Le schéma est : multiplier par $c$, puis ajouter au coefficient suivant.

Correct: Toujours : descendre le premier coefficient, puis répéter (multiplier par $c$, ajouter au coefficient suivant)

Mistake: Écrire le quotient avec le mauvais degré

Why: Le quotient a un degré de moins que le polynôme original.

Correct: Si vous divisez un cubique ($x^3$) par un linéaire, le quotient est quadratique ($x^2$)

Ingénierie : Fonctions de transfert

Les ingénieurs utilisent la division polynomiale lors de l'analyse des systèmes de contrôle. La fonction de transfert d'un système est souvent un rapport de polynômes.

Si un système a une fonction de transfert $\frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x - 2}$, la division synthétique la simplifie en $x^2 - 4x + 3$.

Informatique : Optimisation d'algorithmes

L'évaluation efficace des polynômes utilise des idées de la division synthétique. La méthode de Horner est essentiellement une division synthétique pour l'évaluation de fonctions.

Pour trouver $P(5)$ pour $P(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 7$, utilisez la division synthétique avec $c = 5$. Le reste est égal à $P(5) = 213$.

Q: Puis-je utiliser la division synthétique pour n'importe quel diviseur ?

A: Non, la division synthétique ne fonctionne que pour diviser par un binôme linéaire $(x - c)$ où le coefficient de $x$ est $1$. Pour d'autres diviseurs comme $(2x - 3)$ ou $(x^2 + 1)$, utilisez la division polynomiale longue.

Q: Pourquoi est-ce que j'utilise $c = -2$ en divisant par $(x + 2)$ ?

A: La division synthétique est basée sur la forme racine $(x - c)$. Puisque $(x + 2) = (x - (-2))$, la valeur de $c$ est $-2$. Pensez à ce qui annule le diviseur : $x + 2 = 0$ signifie $x = -2$.

Q: Comment le théorème du reste est-il lié à la division synthétique ?

A: Quand vous divisez $P(x)$ par $(x - c)$, le reste que vous obtenez est égal à $P(c)$ - la valeur du polynôme en $x = c$. Cela signifie que vous pouvez utiliser la division synthétique pour évaluer rapidement des polynômes !