Division synthétique de base

Divise $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)$ par $(x - 2)$

Identifie la valeur du diviseur: $(x - 2)$ signifie $c = 2$ = $c = 2$

Écris les coefficients dans l'ordre: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ a pour coefficients : $1, -6, 11, -6$ = $1 \quad -6 \quad 11 \quad -6$

Mets en place la division synthétique: $$\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array}$$ = Prêt pour le calcul

Descends le premier coefficient: $$\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & 1 & & & \end{array}$$ = Premier coefficient : $1$

Multiplie et additionne pour chaque colonne: $2 \times 1 = 2$, puis $-6 + 2 = -4$ $2 \times (-4) = -8$, puis $11 + (-8) = 3$ $2 \times 3 = 6$, puis $-6 + 6 = 0$ = $$\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 2 & -8 & 6 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 0 \end{array}$$

Écris le quotient et le reste: Ligne du bas : $1, -4, 3$ sont les coefficients du quotient ; $0$ est le reste = Quotient : $x^2 - 4x + 3$, Reste : $0$

Answer: $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) \div (x - 2) = x^2 - 4x + 3$ Puisque le reste est $0$, $(x - 2)$ est un facteur du polynôme.

Division synthétique avec termes manquants

Divise $(x^4 - 16)$ par $(x - 2)$

Identifie les termes manquants: $x^4 - 16 = x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x - 16$ = Coefficients : $1, 0, 0, 0, -16$

Mets en place avec c = 2: $$\begin{array}{c|ccccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & -16 \\ & & & & & \\ \hline & & & & & \end{array}$$ = Inclus des zéros pour les termes manquants

Effectue la division synthétique: Descends $1$ $2 \times 1 = 2$, $0 + 2 = 2$ $2 \times 2 = 4$, $0 + 4 = 4$ $2 \times 4 = 8$, $0 + 8 = 8$ $2 \times 8 = 16$, $-16 + 16 = 0$ = $$\begin{array}{c|ccccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & -16 \\ & & 2 & 4 & 8 & 16 \\ \hline & 1 & 2 & 4 & 8 & 0 \end{array}$$

Écris le résultat: Coefficients du quotient : $1, 2, 4, 8$ = Quotient : $x^3 + 2x^2 + 4x + 8$

Answer: $(x^4 - 16) \div (x - 2) = x^3 + 2x^2 + 4x + 8$ avec reste $0$

Division synthétique avec (x + c)

Divise $(2x^3 + 5x^2 - x - 6)$ par $(x + 2)$

Convertis le diviseur en forme standard: $(x + 2) = (x - (-2))$, donc $c = -2$ = $c = -2$

Écris les coefficients: $2x^3 + 5x^2 - x - 6$ a pour coefficients : $2, 5, -1, -6$ = Tous les termes présents

Effectue la division synthétique avec $c = -2$: Descends $2$ $(-2) \times 2 = -4$, $5 + (-4) = 1$ $(-2) \times 1 = -2$, $-1 + (-2) = -3$ $(-2) \times (-3) = 6$, $-6 + 6 = 0$ = $$\begin{array}{c|cccc} -2 & 2 & 5 & -1 & -6 \\ & & -4 & -2 & 6 \\ \hline & 2 & 1 & -3 & 0 \end{array}$$

Interprète le résultat: Quotient : $2x^2 + x - 3$, Reste : $0$ = $(x + 2)$ est un facteur !

Answer: $(2x^3 + 5x^2 - x - 6) \div (x + 2) = 2x^2 + x - 3$ Note : En divisant par $(x + c)$, utilise $c = -c$ dans la division synthétique.

Trouver un reste non nul

Divise $(3x^3 - 2x^2 + 5x - 1)$ par $(x - 1)$

Mets en place avec c = 1: Coefficients : $3, -2, 5, -1$ = $$\begin{array}{c|cccc} 1 & 3 & -2 & 5 & -1 \end{array}$$

Effectue la division synthétique: Descends $3$ $1 \times 3 = 3$, $-2 + 3 = 1$ $1 \times 1 = 1$, $5 + 1 = 6$ $1 \times 6 = 6$, $-1 + 6 = 5$ = $$\begin{array}{c|cccc} 1 & 3 & -2 & 5 & -1 \\ & & 3 & 1 & 6 \\ \hline & 3 & 1 & 6 & 5 \end{array}$$

Écris la réponse complète: Quotient : $3x^2 + x + 6$, Reste : $5$ = Reste non nul

Answer: $(3x^3 - 2x^2 + 5x - 1) \div (x - 1) = 3x^2 + x + 6 + \frac{5}{x - 1}$ Par le théorème du reste : $P(1) = 3(1)^3 - 2(1)^2 + 5(1) - 1 = 3 - 2 + 5 - 1 = 5$ (égal au reste !)

Utiliser la division synthétique pour tester les racines

Est-ce que $x = 3$ est une racine de $P(x) = x^3 - 7x + 6$ ?

Mets en place la division synthétique: Coefficients de $x^3 + 0x^2 - 7x + 6$ : $1, 0, -7, 6$ Teste $c = 3$ = Inclus $0$ pour le terme $x^2$ manquant

Effectue la division synthétique: $$\begin{array}{c|cccc} 3 & 1 & 0 & -7 & 6 \\ & & 3 & 9 & 6 \\ \hline & 1 & 3 & 2 & 12 \end{array}$$ = Reste : $12$

Interprète le résultat: Reste $= 12 \neq 0$ = $x = 3$ n'est PAS une racine

Answer: Non, $x = 3$ n'est pas une racine de $P(x) = x^3 - 7x + 6$ car le reste est $12$ et non $0$. Une valeur n'est une racine que si le reste est égal à zéro.

Mistake: Oublier d'inclure des zéros pour les termes manquants

Why: Chaque puissance de $x$ du plus haut degré à la constante doit avoir un coefficient. Les termes manquants ont un coefficient de $0$.

Correct: Pour $x^4 - 16$, écris : $1, 0, 0, 0, -16$ (zéros pour $x^3$, $x^2$ et $x$)

Mistake: Utiliser le mauvais signe pour c en divisant par $(x + c)$

Why: La division synthétique utilise la forme racine $(x - c)$. En divisant par $(x + 2)$, tu as besoin de $c = -2$.

Correct: $(x + 2) = (x - (-2))$, donc utilise $c = -2$ dans la mise en place de la division synthétique

Mistake: Additionner quand tu devrais multiplier, ou vice versa

Why: Le schéma est : multiplier par $c$, puis ajouter au coefficient suivant.

Correct: Toujours : descendre le premier coefficient, puis répéter (multiplier par $c$, ajouter au coefficient suivant)

Mistake: Écrire le quotient avec le mauvais degré

Why: Le quotient a un degré de moins que le polynôme original.

Correct: Si tu divises un cubique ($x^3$) par un linéaire, le quotient est quadratique ($x^2$)

Ingénierie : Fonctions de transfert

Les ingénieurs utilisent la division polynomiale lors de l'analyse des systèmes de contrôle. La fonction de transfert d'un système est souvent un rapport de polynômes.

Si un système a une fonction de transfert $\frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x - 2}$, la division synthétique la simplifie en $x^2 - 4x + 3$.

Informatique : Optimisation d'algorithmes

L'évaluation efficace des polynômes utilise des idées de la division synthétique. La méthode de Horner est essentiellement une division synthétique pour l'évaluation de fonctions.

Pour trouver $P(5)$ pour $P(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 7$, utilise la division synthétique avec $c = 5$. Le reste est égal à $P(5) = 213$.

Q: Puis-je utiliser la division synthétique pour n'importe quel diviseur ?

A: Non, la division synthétique ne fonctionne que pour diviser par un binôme linéaire $(x - c)$ où le coefficient de $x$ est $1$. Pour d'autres diviseurs comme $(2x - 3)$ ou $(x^2 + 1)$, utilise la division polynomiale longue.

Q: Pourquoi est-ce que j'utilise $c = -2$ en divisant par $(x + 2)$ ?

A: La division synthétique est basée sur la forme racine $(x - c)$. Puisque $(x + 2) = (x - (-2))$, la valeur de $c$ est $-2$. Pense à ce qui annule le diviseur : $x + 2 = 0$ signifie $x = -2$.

Q: Comment le théorème du reste est-il lié à la division synthétique ?

A: Quand tu divises $P(x)$ par $(x - c)$, le reste que tu obtiens est égal à $P(c)$ - la valeur du polynôme en $x = c$. Cela signifie que tu peux utiliser la division synthétique pour évaluer rapidement des polynômes !