Division synthétique
Apprenez une méthode plus rapide pour diviser des polynômes par des facteurs linéaires en utilisant la division synthétique.
Définition
- Le diviseur doit être linéaire : ou
- Le coefficient de dans le diviseur doit être
Essaie tout de suite
Exemples résolus
Divisez par
Identifiez la valeur du diviseur
signifie →
Écrivez les coefficients dans l'ordre
a pour coefficients : →
Mettez en place la division synthétique
Descendez le premier coefficient
Multipliez et additionnez pour chaque colonne
, puis
, puis
, puis →
Écrivez le quotient et le reste
Ligne du bas : sont les coefficients du quotient ; est le reste → Quotient : , Reste :
Réponse: Puisque le reste est , est un facteur du polynôme.
Erreurs courantes
Oublier d'inclure des zéros pour les termes manquants
Pourquoi c'est faux: Chaque puissance de du plus haut degré à la constante doit avoir un coefficient. Les termes manquants ont un coefficient de .
Correct: Pour , écrivez : (zéros pour , et )
Utiliser le mauvais signe pour c en divisant par
Pourquoi c'est faux: La division synthétique utilise la forme racine . En divisant par , vous avez besoin de .
Correct: , donc utilisez dans la mise en place de la division synthétique
Additionner quand vous devriez multiplier, ou vice versa
Pourquoi c'est faux: Le schéma est : multiplier par , puis ajouter au coefficient suivant.
Correct: Toujours : descendre le premier coefficient, puis répéter (multiplier par , ajouter au coefficient suivant)
Écrire le quotient avec le mauvais degré
Pourquoi c'est faux: Le quotient a un degré de moins que le polynôme original.
Correct: Si vous divisez un cubique () par un linéaire, le quotient est quadratique ()
Visuel interactif
Résolveur d'équations
Prêt à résoudre des équations ?
Suis pendant que nous résolvons l'équation étape par étape.
Bac à sable interactif
Calculateur d'expressions
Essayez ceux-ci:
Historique
Aucun calcul encore
Exercices pratiques
18 exercicesQuelle valeur de utilisez-vous dans la division synthétique par ?
Pourquoi c'est important
- Rapidité : Beaucoup plus rapide que la division polynomiale longue
- Simplicité : N'utilise que l'arithmétique de base (addition et multiplication)
- Factorisation : Aide à trouver rapidement les racines des polynômes
- Théorème du reste : Si vous divisez par , le reste est égal à
- Ingénierie : Analyse des fonctions de transfert dans les systèmes de contrôle
- Infographie : Calculs de courbes polynomiales
- Finance : Modélisation de schémas de croissance avec des fonctions polynomiales
Applications dans le monde réel
Ingénierie : Fonctions de transfert
Les ingénieurs utilisent la division polynomiale lors de l'analyse des systèmes de contrôle. La fonction de transfert d'un système est souvent un rapport de polynômes.
Exemple:
Si un système a une fonction de transfert , la division synthétique la simplifie en .
Un circuit de filtre a une réponse polynomiale . Vous devez le factoriser en testant si est une racine.
Utilisez la division synthétique pour tester si est un facteur.
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Mise en place : les coefficients sont avec
Informatique : Optimisation d'algorithmes
L'évaluation efficace des polynômes utilise des idées de la division synthétique. La méthode de Horner est essentiellement une division synthétique pour l'évaluation de fonctions.
Exemple:
Pour trouver pour , utilisez la division synthétique avec . Le reste est égal à .
Vous devez évaluer en pour un calcul graphique.
Utilisez la division synthétique pour trouver .
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Coefficients : (n'oubliez pas le terme manquant !)
Points clés
- 1La division synthétique est un raccourci pour diviser des polynômes par
- 2Utilisez uniquement les coefficients, y compris pour les termes manquants
- 3Schéma : descendre, multiplier par , ajouter, répéter
- 4Le dernier nombre est le reste ; les autres nombres sont les coefficients du quotient
- 5Pour , utilisez dans la mise en place
- 6Théorème du reste : le reste est égal à
Questions fréquentes
Glossaire
- Division synthétique
- Une méthode raccourcie pour diviser un polynôme par un binôme linéaire en utilisant uniquement les coefficients
- Diviseur
- Le polynôme par lequel vous divisez ; en division synthétique, il doit être de la forme
- Quotient
- Le résultat de la division (sans le reste)
- Reste
- La quantité restante après la division ; égal à par le théorème du reste
- Théorème du reste
- Énonce que quand est divisé par , le reste est égal à
- Théorème du facteur
- Énonce que est un facteur de si et seulement si
Carte des formules
Mise en place de la division synthétique
Écrivez $c$ à gauche, les coefficients en ordre décroissant à droite
L'algorithme
Continuez jusqu'à ce que tous les coefficients soient traités
Interprétation du résultat
Le dernier nombre est le reste $R$ ; les autres forment le quotient $Q(x)$
Théorème du reste
Le reste est égal au polynôme évalué en $c$