Compléter le carré de base

Complétez le carré : $x^2 + 8x$

Identifiez le coefficient de x: $b = 8$ = Le coefficient est 8

Prenez la moitié de b: $\frac{8}{2} = 4$ = La moitié est 4

Élevez le résultat au carré: $4^2 = 16$ = On doit ajouter 16

Ajoutez et soustrayez cette valeur: $x^2 + 8x + 16 - 16$ = Équilibre maintenu

Factorisez le trinôme carré parfait: $(x + 4)^2 - 16$ = Forme carré complété

Answer: $x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$

Résoudre en complétant le carré

Résolvez $x^2 + 6x + 2 = 0$ en complétant le carré

Déplacez la constante à droite: $x^2 + 6x = -2$ = Termes en x isolés

Trouvez la valeur pour compléter le carré: $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$ = On doit ajouter 9

Ajoutez aux deux côtés: $x^2 + 6x + 9 = -2 + 9$ = $(x + 3)^2 = 7$

Prenez la racine carrée des deux côtés: $x + 3 = \pm\sqrt{7}$ = Deux solutions

Résolvez pour x: $x = -3 \pm \sqrt{7}$ = Réponse finale

Answer: $x = -3 + \sqrt{7}$ ou $x = -3 - \sqrt{7}$

Conversion en forme canonique

Écrivez $y = x^2 - 4x + 7$ sous forme canonique et identifiez le sommet

Regroupez les termes en x: $y = (x^2 - 4x) + 7$ = Regroupé

Complétez le carré dans les parenthèses: $\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$ = Ajouter et soustraire 4

Ajoutez et soustrayez, puis regroupez: $y = (x^2 - 4x + 4) + 7 - 4$ = Équilibre maintenu

Factorisez et simplifiez: $y = (x - 2)^2 + 3$ = Forme canonique

Identifiez le sommet: Forme canonique : $y = (x - h)^2 + k$ = Le sommet est $(2, 3)$

Answer: $y = (x - 2)^2 + 3$, sommet en $(2, 3)$

Quand le coefficient dominant n'est pas 1

Complétez le carré : $2x^2 + 12x + 5$

Factorisez le coefficient dominant des termes en x: $2(x^2 + 6x) + 5$ = 2 factorisé

Complétez le carré à l'intérieur: $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$ = 9 est nécessaire

Ajoutez et soustrayez 9 à l'intérieur: $2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 5$ = 9 ajouté, 9 soustrait

Distribuez le -9 et simplifiez: $2(x^2 + 6x + 9) - 18 + 5$ = Note : $2 \times (-9) = -18$

Factorisez et combinez les constantes: $2(x + 3)^2 - 13$ = Forme canonique finale

Answer: $2x^2 + 12x + 5 = 2(x + 3)^2 - 13$

Mistake: Oublier d'ajouter aux deux côtés lors de la résolution d'une équation

Why: Lors de la complétion du carré dans une équation, tout ce qui est ajouté d'un côté doit être ajouté de l'autre pour maintenir l'égalité.

Correct: Après avoir ajouté $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ à gauche, ajoutez la même valeur à droite.

Mistake: Ne pas factoriser d'abord le coefficient dominant

Why: Quand $a \neq 1$ dans $ax^2 + bx + c$, compléter le carré directement donne des résultats incorrects.

Correct: D'abord factoriser $a$ des termes $x^2$ et $x$, puis compléter le carré à l'intérieur.

Mistake: Utiliser $b$ au lieu de $\frac{b}{2}$ pour compléter le carré

Why: La formule nécessite la moitié du coefficient de $x$, au carré.

Correct: Toujours utiliser $\left(\frac{b}{2}\right)^2$, pas $b^2$.

Mistake: Oublier de multiplier lors de la distribution

Why: Quand $a$ est factorisé, la valeur soustraite à l'intérieur est multipliée par $a$.

Correct: Dans $2(x^2 + 6x + 9 - 9)$, le $-9$ devient $-18$ lors de la distribution : $2(-9) = -18$.

Mouvement de projectile

Les ingénieurs utilisent la complétion du carré pour trouver la hauteur maximale des projectiles.

La hauteur d'une balle est $h = -16t^2 + 64t + 5$ pieds. En complétant le carré : $h = -16(t - 2)^2 + 69$. La hauteur maximale est 69 pieds à $t = 2$ secondes.

Architecture et design

Les architectes utilisent la complétion du carré pour concevoir des arches paraboliques et déterminer leurs points les plus hauts.

L'arche d'un pont suit $y = -0,01x^2 + 2x$. En forme canonique : $y = -0,01(x - 100)^2 + 100$. L'arche atteint 100 mètres de haut en son centre.

Économie et optimisation des profits

Les entreprises utilisent des modèles quadratiques pour trouver le prix optimal pour un profit maximum.

Le profit d'une entreprise est $P = -2x^2 + 40x - 150$ euros où $x$ est le prix. Forme canonique : $P = -2(x - 10)^2 + 50$. Le profit maximum de 50€ se produit au prix de 10€.

Q: Quand dois-je utiliser la complétion du carré plutôt que la factorisation ?

A: Utilisez la complétion du carré quand : (1) la quadratique ne se factorise pas bien avec des entiers, (2) vous devez trouver le sommet d'une parabole, ou (3) vous dérivez la formule quadratique. La factorisation est plus rapide quand elle fonctionne, mais la complétion du carré fonctionne toujours.

Q: Pourquoi ajoutons-nous et soustrayons-nous la même valeur ?

A: Ajouter et soustraire la même valeur revient à ajouter zéro, ce qui ne change pas la valeur de l'expression. Cela nous permet de créer un trinôme carré parfait sans changer ce que l'expression vaut.

Q: Quel est le lien avec la formule quadratique ?

A: La formule quadratique est dérivée en complétant le carré de la forme générale $ax^2 + bx + c = 0$. La formule $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ vient directement de ce processus !