Compléter le carré de base

Complète le carré : $x^2 + 8x$

Identifie le coefficient de x: $b = 8$ = Le coefficient est 8

Prends la moitié de b: $\frac{8}{2} = 4$ = La moitié est 4

Élève le résultat au carré: $4^2 = 16$ = On doit ajouter 16

Ajoute et soustrais cette valeur: $x^2 + 8x + 16 - 16$ = Équilibre maintenu

Factorise le trinôme carré parfait: $(x + 4)^2 - 16$ = Forme carré complété

Answer: $x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$

Résoudre en complétant le carré

Résous $x^2 + 6x + 2 = 0$ en complétant le carré

Déplace la constante à droite: $x^2 + 6x = -2$ = Termes en x isolés

Trouve la valeur pour compléter le carré: $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$ = On doit ajouter 9

Ajoute aux deux côtés: $x^2 + 6x + 9 = -2 + 9$ = $(x + 3)^2 = 7$

Prends la racine carrée des deux côtés: $x + 3 = \pm\sqrt{7}$ = Deux solutions

Résous pour x: $x = -3 \pm \sqrt{7}$ = Réponse finale

Answer: $x = -3 + \sqrt{7}$ ou $x = -3 - \sqrt{7}$

Conversion en forme canonique

Écris $y = x^2 - 4x + 7$ sous forme canonique et identifie le sommet

Regroupe les termes en x: $y = (x^2 - 4x) + 7$ = Regroupé

Complète le carré dans les parenthèses: $\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$ = Ajouter et soustraire 4

Ajoute et soustrais, puis regroupe: $y = (x^2 - 4x + 4) + 7 - 4$ = Équilibre maintenu

Factorise et simplifie: $y = (x - 2)^2 + 3$ = Forme canonique

Identifie le sommet: Forme canonique : $y = (x - h)^2 + k$ = Le sommet est $(2, 3)$

Answer: $y = (x - 2)^2 + 3$, sommet en $(2, 3)$

Quand le coefficient dominant n'est pas 1

Complète le carré : $2x^2 + 12x + 5$

Factorise le coefficient dominant des termes en x: $2(x^2 + 6x) + 5$ = 2 factorisé

Complète le carré à l'intérieur: $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$ = 9 est nécessaire

Ajoute et soustrais 9 à l'intérieur: $2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 5$ = 9 ajouté, 9 soustrait

Distribue le -9 et simplifie: $2(x^2 + 6x + 9) - 18 + 5$ = Note : $2 \times (-9) = -18$

Factorise et combine les constantes: $2(x + 3)^2 - 13$ = Forme canonique finale

Answer: $2x^2 + 12x + 5 = 2(x + 3)^2 - 13$

Mistake: Oublier d'ajouter aux deux côtés lors de la résolution d'une équation

Why: Lors de la complétion du carré dans une équation, tout ce qui est ajouté d'un côté doit être ajouté de l'autre pour maintenir l'égalité.

Correct: Après avoir ajouté $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ à gauche, ajoute la même valeur à droite.

Mistake: Ne pas factoriser d'abord le coefficient dominant

Why: Quand $a \neq 1$ dans $ax^2 + bx + c$, compléter le carré directement donne des résultats incorrects.

Correct: D'abord factoriser $a$ des termes $x^2$ et $x$, puis compléter le carré à l'intérieur.

Mistake: Utiliser $b$ au lieu de $\frac{b}{2}$ pour compléter le carré

Why: La formule nécessite la moitié du coefficient de $x$, au carré.

Correct: Toujours utiliser $\left(\frac{b}{2}\right)^2$, pas $b^2$.

Mistake: Oublier de multiplier lors de la distribution

Why: Quand $a$ est factorisé, la valeur soustraite à l'intérieur est multipliée par $a$.

Correct: Dans $2(x^2 + 6x + 9 - 9)$, le $-9$ devient $-18$ lors de la distribution : $2(-9) = -18$.

Mouvement de projectile

Les ingénieurs utilisent la complétion du carré pour trouver la hauteur maximale des projectiles.

La hauteur d'une balle est $h = -16t^2 + 64t + 5$ pieds. En complétant le carré : $h = -16(t - 2)^2 + 69$. La hauteur maximale est 69 pieds à $t = 2$ secondes.

Architecture et design

Les architectes utilisent la complétion du carré pour concevoir des arches paraboliques et déterminer leurs points les plus hauts.

L'arche d'un pont suit $y = -0,01x^2 + 2x$. En forme canonique : $y = -0,01(x - 100)^2 + 100$. L'arche atteint 100 mètres de haut en son centre.

Économie et optimisation des profits

Les entreprises utilisent des modèles quadratiques pour trouver le prix optimal pour un profit maximum.

Le profit d'une entreprise est $P = -2x^2 + 40x - 150$ euros où $x$ est le prix. Forme canonique : $P = -2(x - 10)^2 + 50$. Le profit maximum de 50€ se produit au prix de 10€.

Q: Quand dois-je utiliser la complétion du carré plutôt que la factorisation ?

A: Utilise la complétion du carré quand : (1) la quadratique ne se factorise pas bien avec des entiers, (2) tu dois trouver le sommet d'une parabole, ou (3) tu dérives la formule quadratique. La factorisation est plus rapide quand elle fonctionne, mais la complétion du carré fonctionne toujours.

Q: Pourquoi ajoutons-nous et soustrayons-nous la même valeur ?

A: Ajouter et soustraire la même valeur revient à ajouter zéro, ce qui ne change pas la valeur de l'expression. Cela nous permet de créer un trinôme carré parfait sans changer ce que l'expression vaut.

Q: Quel est le lien avec la formule quadratique ?

A: La formule quadratique est dérivée en complétant le carré de la forme générale $ax^2 + bx + c = 0$. La formule $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ vient directement de ce processus !