Compléter le carré

Maîtrise la technique de compléter le carré pour résoudre des équations quadratiques et les réécrire sous forme canonique.

Avancé30 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Compléter le carré est une technique pour réécrire une expression quadratique ax2+bx+cax^2 + bx + c sous la forme a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k, appelée forme canonique.
L'idée clé : nous ajoutons et soustrayons la même valeur pour créer un trinôme carré parfait.
x2+bx+(b2)2=(x+b2)2x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2
Par exemple :
x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
Ici, (62)2=9\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9 complète le carré.

Essaie tout de suite

Quelle valeur complète le carré pour x2+6xx^2 + 6x ?

Exemples résolus

Complète le carré : x2+8xx^2 + 8x
1

Identifie le coefficient de x

b=8b = 8 → Le coefficient est 8
2

Prends la moitié de b

82=4\frac{8}{2} = 4 → La moitié est 4
3

Élève le résultat au carré

42=164^2 = 16 → On doit ajouter 16
4

Ajoute et soustrais cette valeur

x2+8x+16−16x^2 + 8x + 16 - 16 → Équilibre maintenu
5

Factorise le trinôme carré parfait

(x+4)2−16(x + 4)^2 - 16 → Forme carré complété

Erreurs courantes

Oublier d'ajouter aux deux côtés lors de la résolution d'une équation

Pourquoi c'est faux: Lors de la complétion du carré dans une équation, tout ce qui est ajouté d'un côté doit être ajouté de l'autre pour maintenir l'égalité.

Correct: Après avoir ajouté (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2 à gauche, ajoute la même valeur à droite.

Ne pas factoriser d'abord le coefficient dominant

Pourquoi c'est faux: Quand a≠1a \neq 1 dans ax2+bx+cax^2 + bx + c, compléter le carré directement donne des résultats incorrects.

Correct: D'abord factoriser aa des termes x2x^2 et xx, puis compléter le carré à l'intérieur.

Utiliser bb au lieu de b2\frac{b}{2} pour compléter le carré

Pourquoi c'est faux: La formule nécessite la moitié du coefficient de xx, au carré.

Correct: Toujours utiliser (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2, pas b2b^2.

Oublier de multiplier lors de la distribution

Pourquoi c'est faux: Quand aa est factorisé, la valeur soustraite à l'intérieur est multipliée par aa.

Correct: Dans 2(x2+6x+9−9)2(x^2 + 6x + 9 - 9), le −9-9 devient −18-18 lors de la distribution : 2(−9)=−182(-9) = -18.

Visuel interactif

Modèle d'aire : compléter le carré

x² + bx est un carré auquel il manque un coin. Ajouter (b/2)² le complète.

x2x^2
4x4x
4x4x
+16+16
xx
44
xx
44

Longueur × largeur = aire

x2+8x=(x+4)2−16x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16

Ajoute 16 pour remplir le coin et obtenir un carré parfait.

Résolveur d'équations

Résoudre pour xx:

x2+6x+2=0x^{2} + 6x + 2 = 0
1
x2+6x+2=0x^{2} + 6x + 2 = 0
Soustraire 22 des deux côtésGarder seulement les termes avec la variable à gauche

Conseils:

  • • Ce que tu fais d'un côté, fais-le de l'autre
  • • Annule les opérations dans l'ordre inverse
  • • Vérifie ta réponse en substituant

Suis pendant que nous résolvons l'équation étape par étape.

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = x^2 - 4x + 7

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Quelle valeur complète le carré pour x2+6xx^2 + 6x ?

Pourquoi c'est important

Compléter le carré est l'une des techniques algébriques les plus puissantes car elle :
  • Résout toute équation quadratique (même quand la factorisation ne fonctionne pas)
  • Révèle le sommet d'une parabole directement depuis l'équation
  • Dérive la formule quadratique (qui vient de cette technique !)
  • Transforme les cercles de la forme générale à la forme standard en géométrie
Sans cette technique, beaucoup d'équations quadratiques seraient insolubles à la main !

Applications dans le monde réel

Mouvement de projectile

Les ingénieurs utilisent la complétion du carré pour trouver la hauteur maximale des projectiles.

Exemple:

La hauteur d'une balle est h=−16t2+64t+5h = -16t^2 + 64t + 5 pieds. En complétant le carré : h=−16(t−2)2+69h = -16(t - 2)^2 + 69. La hauteur maximale est 69 pieds à t=2t = 2 secondes.

1Essaie par toi-même

La hauteur d'une fusée est donnée par h=−5t2+30t+10h = -5t^2 + 30t + 10 mètres.

Quelle est la hauteur maximale ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Complète le carré pour trouver le sommet :

Architecture et design

Les architectes utilisent la complétion du carré pour concevoir des arches paraboliques et déterminer leurs points les plus hauts.

Exemple:

L'arche d'un pont suit y=−0,01x2+2xy = -0,01x^2 + 2x. En forme canonique : y=−0,01(x−100)2+100y = -0,01(x - 100)^2 + 100. L'arche atteint 100 mètres de haut en son centre.

2Essaie par toi-même

Une antenne parabolique est modélisée par y=−0,25x2+4x+3y = -0,25x^2 + 4x + 3.

À quelle coordonnée x l'antenne est-elle la plus profonde ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve la coordonnée x du sommet :

Économie et optimisation des profits

Les entreprises utilisent des modèles quadratiques pour trouver le prix optimal pour un profit maximum.

Exemple:

Le profit d'une entreprise est P=−2x2+40x−150P = -2x^2 + 40x - 150 euros où xx est le prix. Forme canonique : P=−2(x−10)2+50P = -2(x - 10)^2 + 50. Le profit maximum de 50€ se produit au prix de 10€.

3Essaie par toi-même

Le revenu est modélisé par R=−3x2+24xR = -3x^2 + 24x où xx est les unités vendues en milliers.

Combien d'unités maximisent le revenu ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve le sommet :

Points clés

  • 1Compléter le carré transforme x2+bxx^2 + bx en (x+b2)2−(b2)2(x + \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2
  • 2La valeur clé à ajouter est toujours (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2
  • 3Quand a≠1a \neq 1, factorise d'abord aa des termes en xx
  • 4La forme canonique a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k révèle directement le sommet (h,k)(h, k)
  • 5Cette technique peut résoudre n'importe quelle équation quadratique, même quand la factorisation échoue

Questions fréquentes

Utilise la complétion du carré quand : (1) la quadratique ne se factorise pas bien avec des entiers, (2) tu dois trouver le sommet d'une parabole, ou (3) tu dérives la formule quadratique. La factorisation est plus rapide quand elle fonctionne, mais la complétion du carré fonctionne toujours.
Utilise la complétion du carré quand : (1) la quadratique ne se factorise pas bien avec des entiers, (2) tu dois trouver le sommet d'une parabole, ou (3) tu dérives la formule quadratique. La factorisation est plus rapide quand elle fonctionne, mais la complétion du carré fonctionne toujours.
Ajouter et soustraire la même valeur revient à ajouter zéro, ce qui ne change pas la valeur de l'expression. Cela nous permet de créer un trinôme carré parfait sans changer ce que l'expression vaut.
La formule quadratique est dérivée en complétant le carré de la forme générale ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. La formule x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} vient directement de ce processus !

Glossaire

Compléter le carré
Une méthode pour réécrire une expression quadratique comme un carré parfait plus ou moins une constante
Trinôme carré parfait
Un trinôme qui se factorise en (x+a)2(x + a)^2 ou (x−a)2(x - a)^2, comme x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
Forme canonique
La forme a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k où (h,k)(h, k) est le sommet de la parabole
Forme standard
La forme ax2+bx+cax^2 + bx + c pour une expression quadratique

Carte des formules

Formule de complétion du carré

x2+bx=(x+b2)2−(b2)2x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2

La transformation fondamentale pour compléter le carré

Valeur à ajouter

(b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2

La valeur que tu ajoutes et soustrais pour créer un carré parfait

Forme canonique

y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k

Le sommet de la parabole est au point (h, k)

Motifs de carrés parfaits

(x+a)2=x2+2ax+a2(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2

Développer un binôme au carré crée un trinôme carré parfait

Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Résoudre des équations quadratiques par les racines carrées

Intermédiaire25 min

Introduction aux équations du second degré

Avancé25 min

Forme canonique

Intermédiaire25 min

La formule quadratique

Intermédiaire25 min