Introduction aux équations du second degré

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Laquelle des suivantes est une équation du second degré ?
1. a) $x^2 - 4x + 3 = 0$
2. b) $x^3 + 2x = 1$
3. c) $\frac{1}{x} + 2 = 0$
4. d) $3x + 5 = 0$
Réponse: $x^2 - 4x + 3 = 0$
$x^2 - 4x + 3 = 0$ est du second degré car la plus haute puissance de $x$ est 2. La première est linéaire (degré 1), la troisième est cubique (degré 3), et la quatrième n'est pas un polynôme.
2.
Dans l'équation $2x^2 + 5x - 3 = 0$ , quelle est la valeur de $a$ ?
Réponse: 2
En comparant $2x^2 + 5x - 3 = 0$ avec $ax^2 + bx + c = 0$ , le coefficient de $x^2$ est 2, donc $a = 2$ .
3.
Pour l'équation $x^2 - 7x + 10 = 0$ , quelle est la valeur de $b$ ?
1. a) $7$
2. b) $10$
3. c) $1$
4. d) $-7$
Réponse: $-7$
Écris $x^2 - 7x + 10 = 0$ comme $x^2 + (-7)x + 10 = 0$ . Le coefficient de $x$ est $-7$ , donc $b = -7$ . Une erreur courante est d'oublier le signe négatif.
4.
Dans $-3x^2 + 9x - 6 = 0$ , quelle est la valeur de $c$ ?
Réponse: -6
Dans $-3x^2 + 9x - 6 = 0$ , le terme constant est $-6$ , donc $c = -6$ . N'oublie pas le signe négatif !
5.
Si $a = 3$ dans une équation du second degré, dans quelle direction s'ouvre la parabole ?
1. a)À gauche
2. b)À droite
3. c)Vers le haut (∪)
4. d)Vers le bas (∩)
Réponse: Vers le haut (∪)
Puisque $a = 3 > 0$ (positif), la parabole s'ouvre vers le haut. Si $a$ était négatif, elle s'ouvrirait vers le bas.
6.
Réécris $3x = x^2 - 10$ en forme standard et identifie $a$ , $b$ et $c$ .
Réponse: a=1, b=-3, c=-10
1. Soustrais $3x$ des deux côtés. Qu'obtiens-tu ? 0 = x^2 - 3x - 10
2. Réécris avec le terme quadratique d'abord : $x^2 - 3x - 10 = 0$ . Quelle est la valeur de $a$ ? 1
3. Quelle est la valeur de $b$ ? -3
4. Quelle est la valeur de $c$ ? -10
7.
Trouve l'abscisse du sommet pour $f(x) = x^2 - 6x + 5$ .
Réponse: 3
Avec $a = 1$ et $b = -6$ : $x = -\frac{-6}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3$ . Le sommet est en $x = 3$ .
8.
Trouve le sommet de $f(x) = x^2 + 4x - 5$ .
Réponse: (-2, -9)
1. Identifie $a$ et $b$ . a=1, b=4
2. Calcule $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(1)}$ . -2
3. Trouve $y$ en substituant $x = -2$ : $f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 5$ . -9
4. Écris le sommet comme un couple ordonné. (-2, -9)
9.
Pour $f(x) = -x^2 + 6x - 8$ , le sommet représente :
1. a)Un point maximum
2. b)L'ordonnée à l'origine
3. c)Un point minimum
4. d)L'abscisse à l'origine
Réponse: Un point maximum
Puisque $a = -1 < 0$ , la parabole s'ouvre vers le bas (forme ∩), donc le sommet est le point le plus haut - un maximum.
10.
Si le sommet d'une parabole est en $(3, 5)$ et $a < 0$ , 5 est-il la valeur maximale ou minimale ? (Écris 'maximum' ou 'minimum')
Réponse: maximum
Quand $a < 0$ , la parabole s'ouvre vers le bas, faisant du sommet le point le plus haut. Donc $y = 5$ est la valeur maximale.
11.
Pour $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$ , trouve l'axe de symétrie et le sommet.
Réponse: x=2, sommet (2, -2)
1. Quels sont $a$ et $b$ ? a=2, b=-8
2. Trouve l'axe de symétrie : $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2(2)}$ 2
3. Calcule $f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 6$ -2
4. Écris le sommet. (2, -2)
12.
Une balle est lancée vers le haut. Sa hauteur est $h = -5t^2 + 20t + 2$ . Quand atteint-elle la hauteur maximale ?
1. a) $t = 1$ seconde
2. b) $t = 0,5$ seconde
3. c) $t = 4$ secondes
4. d) $t = 2$ secondes
Réponse: $t = 2$ secondes
La hauteur maximale se produit au sommet. $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$ secondes.
13.
Le profit d'une entreprise est $P = -2x^2 + 120x - 1000$ euros, où $x$ est le nombre d'articles vendus. Trouve le nombre d'articles pour maximiser le profit.
Réponse: 30
1. Est-ce un problème de maximum ou de minimum ? (Regarde le signe de $a$ ) maximum
2. Quelle est la valeur de $b$ ? 120
3. Calcule $x = -\frac{120}{2(-2)}$ 30
14.
Pour $f(x) = -3x^2 + 18x - 24$ , quelle est la valeur maximale de la fonction ?
Réponse: 3
Abscisse du sommet : $x = -\frac{18}{2(-3)} = 3$ . Valeur maximale : $f(3) = -3(9) + 18(3) - 24 = -27 + 54 - 24 = 3$ .
15.
Réécris $x^2 + 2x = 15$ en forme standard, identifie $a$ , $b$ , $c$ , et trouve le sommet.
Réponse: (-1, -16)
1. Soustrais 15 des deux côtés. Écris la forme standard. x^2 + 2x - 15 = 0
2. Quels sont $a$ , $b$ et $c$ ? a=1, b=2, c=-15
3. Trouve l'abscisse du sommet : $x = -\frac{2}{2(1)}$ -1
4. Trouve l'ordonnée : $f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 15$ -16
5. Écris le sommet comme couple ordonné. (-1, -16)