Équation quadratique simple

Résous $x^2 + 6x + 5 = 0$ avec la formule quadratique.

Identifie a, b et c: En comparant avec $ax^2 + bx + c = 0$ : $a = 1$, $b = 6$, $c = 5$ = $a=1, b=6, c=5$

Calcule le discriminant: $b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$ = $D = 16$

Applique la formule: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-6 \pm 4}{2}$ = $x = \frac{-6 \pm 4}{2}$

Trouve les deux solutions: $x_1 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ $x_2 = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ = $x = -1$ ou $x = -5$

Answer: $x = -1$ ou $x = -5$

Équation avec coefficient principal différent de 1

Résous $2x^2 - 7x + 3 = 0$ avec la formule quadratique.

Identifie a, b et c: $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$ Note : $b$ est négatif ! = $a=2, b=-7, c=3$

Calcule le discriminant: $b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25$ = $D = 25$

Applique la formule: $x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{7 \pm 5}{4}$ = $x = \frac{7 \pm 5}{4}$

Trouve les deux solutions: $x_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$ $x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ = $x = 3$ ou $x = \frac{1}{2}$

Answer: $x = 3$ ou $x = \frac{1}{2}$

Équation avec solutions irrationnelles

Résous $x^2 - 4x - 1 = 0$ avec la formule quadratique.

Identifie a, b et c: $a = 1$, $b = -4$, $c = -1$ = $a=1, b=-4, c=-1$

Calcule le discriminant: $b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$ = $D = 20$

Applique la formule: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2}$ = $x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2}$

Simplifie le radical: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ $x = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ = $x = 2 + \sqrt{5}$ ou $x = 2 - \sqrt{5}$

Answer: $x = 2 + \sqrt{5} \approx 4,24$ ou $x = 2 - \sqrt{5} \approx -0,24$

Comprendre le discriminant

Combien de solutions a l'équation $x^2 + 2x + 5 = 0$ ?

Identifie a, b et c: $a = 1$, $b = 2$, $c = 5$ = $a=1, b=2, c=5$

Calcule le discriminant: $b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$ = $D = -16$

Interprète le discriminant: Puisque $D < 0$, on aurait besoin de $\sqrt{-16}$, qui n'est pas un nombre réel = Pas de solutions réelles

Conclusion: Quand le discriminant est négatif, la parabole ne coupe pas l'axe des x = Zéro solution réelle

Answer: Cette équation n'a pas de solutions réelles car le discriminant est négatif ($D = -16$).

Mistake: Oublier de rendre b négatif quand il est déjà négatif

Why: Si $b = -7$, alors $-b = -(-7) = 7$, pas $-7$. La formule dit $-b$, donc tu nies ce que b est.

Correct: Écris toujours $-b$ d'abord, puis substitue : si $b = -7$, écris $-(-7) = 7$

Mistake: Calculer incorrectement $b^2$ quand b est négatif

Why: Les élèves écrivent parfois $-7^2 = -49$ au lieu de $(-7)^2 = 49$

Correct: Le coefficient entier est mis au carré : $(-7)^2 = (-7) \times (-7) = 49$

Mistake: Diviser seulement une partie du numérateur par 2a

Why: Écrire $\frac{-b}{2a} \pm \sqrt{b^2-4ac}$ au lieu de $\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Correct: Le numérateur entier $(-b \pm \sqrt{...})$ est divisé par $2a$

Mistake: S'arrêter à une seule solution

Why: Le $\pm$ signifie plus OU moins, donnant deux solutions potentielles

Correct: Calcule toujours les deux : $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

Mouvement projectile

Quand tu lances une balle, sa hauteur suit une équation quadratique. La formule aide à trouver quand elle atterrit.

Une balle lancée vers le haut a une hauteur $h = -5t^2 + 20t + 1$ mètres après $t$ secondes. Pour trouver quand elle touche le sol ($h = 0$), résous $-5t^2 + 20t + 1 = 0$ avec la formule.

Optimisation des profits commerciaux

Les entreprises utilisent des équations quadratiques pour modéliser les profits et trouver les seuils de rentabilité.

Le profit d'une entreprise est $P = -2x^2 + 100x - 800$ euros, où $x$ est le nombre d'unités vendues. Pour trouver les seuils de rentabilité (où $P = 0$), utilise la formule quadratique.

Q: Quand dois-je utiliser la formule quadratique au lieu de la factorisation ?

A: Utilise la formule quadratique quand : (1) l'équation ne se factorise pas facilement, (2) les coefficients sont grands ou décimaux, ou (3) tu veux une méthode fiable qui fonctionne toujours. La factorisation est plus rapide quand elle fonctionne, mais la formule est plus universelle.

Q: Que signifie un discriminant égal à zéro ?

A: Quand $b^2 - 4ac = 0$, l'équation a exactement une solution (appelée racine double). Graphiquement, la parabole touche l'axe des x en un seul point.

Q: Pourquoi y a-t-il un signe plus-moins dans la formule ?

A: Le $\pm$ vient de l'extraction de la racine carrée. Puisque $5^2 = 25$ et $(-5)^2 = 25$, la racine carrée de 25 pourrait être +5 ou -5. Cela donne deux valeurs possibles pour x.