La formule quadratique

Apprends à résoudre toute équation du second degré avec la formule quadratique.

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Définition

La formule quadratique résout toute équation de la forme ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 :
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Où :
  • aa, bb et cc sont les coefficients de l'équation
  • a≠0a \neq 0 (sinon ce n'est pas une équation quadratique)
  • Le symbole ±\pm signifie qu'il y a généralement deux solutions
L'expression sous la racine, b2−4acb^2 - 4ac, s'appelle le discriminant.

Essaie tout de suite

Dans l'équation x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0, quelles sont les valeurs de aa, bb et cc ?

Exemples résolus

Résous x2+6x+5=0x^2 + 6x + 5 = 0 avec la formule quadratique.
1

Identifie a, b et c

En comparant avec ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 : a=1a = 1, b=6b = 6, c=5c = 5
2

Calcule le discriminant

b2−4ac=62−4(1)(5)=36−20=16b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16 → D=16D = 16
3

Applique la formule

x=−6±162(1)=−6±42x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-6 \pm 4}{2} → x=−6±42x = \frac{-6 \pm 4}{2}
4

Trouve les deux solutions

x1=−6+42=−22=−1x_1 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 x2=−6−42=−102=−5x_2 = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5 → x=−1x = -1 ou x=−5x = -5

Erreurs courantes

Oublier de rendre b négatif quand il est déjà négatif

Pourquoi c'est faux: Si b=−7b = -7, alors −b=−(−7)=7-b = -(-7) = 7, pas −7-7. La formule dit −b-b, donc tu nies ce que b est.

Correct: Écris toujours −b-b d'abord, puis substitue : si b=−7b = -7, écris −(−7)=7-(-7) = 7

Calculer incorrectement b2b^2 quand b est négatif

Pourquoi c'est faux: Les élèves écrivent parfois −72=−49-7^2 = -49 au lieu de (−7)2=49(-7)^2 = 49

Correct: Le coefficient entier est mis au carré : (−7)2=(−7)×(−7)=49(-7)^2 = (-7) \times (-7) = 49

Diviser seulement une partie du numérateur par 2a

Pourquoi c'est faux: Écrire −b2a±b2−4ac\frac{-b}{2a} \pm \sqrt{b^2-4ac} au lieu de −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Correct: Le numérateur entier (−b±...)(-b \pm \sqrt{...}) est divisé par 2a2a

S'arrêter à une seule solution

Pourquoi c'est faux: Le ±\pm signifie plus OU moins, donnant deux solutions potentielles

Correct: Calcule toujours les deux : x1=−b+D2ax_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} et x2=−b−D2ax_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}

Visuel interactif

Explorateur quadratique

y = x² + 6x + 5

Contrôle la largeur et la direction

Déplace la parabole

Ordonnée à l'origine

xy

Sommet

(-3, -4)

Axe de symétrie

x = -3

Racines (abscisses à l'origine)

x = -1, x = -5

Ordonnée à l'origine

(0, 5)

Direction

Ouvre vers le haut

Discriminant

b² - 4ac = 16

Table de valeurs

x-3-2-10123
y-4-305122132
SommetRacinesOrdonnée à l'origineAxe de symétrie

Résolveur d'équations

Résoudre pour xx:

x2+6x+5=0x^{2} + 6x + 5 = 0
1
x2+6x+5=0x^{2} + 6x + 5 = 0
Lire a, b et cUne équation du second degré se résout sous sa forme développée

Conseils:

  • • Ce que tu fais d'un côté, fais-le de l'autre
  • • Annule les opérations dans l'ordre inverse
  • • Vérifie ta réponse en substituant

Suis pendant que nous résolvons l'équation étape par étape.

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = x^2 + 6x + 5

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Dans l'équation x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0, quelles sont les valeurs de aa, bb et cc ?

Pourquoi c'est important

La formule quadratique est l'un des outils les plus puissants de l'algèbre car :
  • Universelle : Elle fonctionne pour TOUTE équation quadratique, même quand la factorisation échoue
  • Prévisible : Suis les mêmes étapes à chaque fois
  • Applications réelles : Physique (mouvement projectile), ingénierie (structures paraboliques), finance (optimisation des profits)
Bien que la factorisation soit plus rapide quand elle fonctionne, de nombreux problèmes réels ont des nombres "compliqués" qui ne se factorisent pas facilement. La formule quadratique les gère tous !

Applications dans le monde réel

Mouvement projectile

Quand tu lances une balle, sa hauteur suit une équation quadratique. La formule aide à trouver quand elle atterrit.

Exemple:

Une balle lancée vers le haut a une hauteur h=−5t2+20t+1h = -5t^2 + 20t + 1 mètres après tt secondes. Pour trouver quand elle touche le sol (h=0h = 0), résous −5t2+20t+1=0-5t^2 + 20t + 1 = 0 avec la formule.

1Essaie par toi-même

La hauteur d'une fusée est modélisée par h=−4t2+32th = -4t^2 + 32t mètres.

Quand la fusée retourne-t-elle au sol ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Pose h=0h = 0 et identifie les coefficients :

Optimisation des profits commerciaux

Les entreprises utilisent des équations quadratiques pour modéliser les profits et trouver les seuils de rentabilité.

Exemple:

Le profit d'une entreprise est P=−2x2+100x−800P = -2x^2 + 100x - 800 euros, où xx est le nombre d'unités vendues. Pour trouver les seuils de rentabilité (où P=0P = 0), utilise la formule quadratique.

2Essaie par toi-même

Le profit hebdomadaire d'un magasin est P=−x2+50x−400P = -x^2 + 50x - 400 euros pour xx articles vendus.

À quels niveaux de ventes le magasin atteint-il l'équilibre ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous −x2+50x−400=0-x^2 + 50x - 400 = 0 :

Points clés

  • 1La formule quadratique est x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
  • 2Elle fonctionne pour toute équation de la forme ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
  • 3Le discriminant D=b2−4acD = b^2 - 4ac indique combien de solutions existent
  • 4Si D>0D > 0 : deux solutions réelles distinctes ; si D=0D = 0 : une solution répétée ; si D<0D < 0 : pas de solutions réelles
  • 5Vérifie toujours tes réponses en les substituant dans l'équation originale

Questions fréquentes

Utilise la formule quadratique quand : (1) l'équation ne se factorise pas facilement, (2) les coefficients sont grands ou décimaux, ou (3) tu veux une méthode fiable qui fonctionne toujours. La factorisation est plus rapide quand elle fonctionne, mais la formule est plus universelle.
Utilise la formule quadratique quand : (1) l'équation ne se factorise pas facilement, (2) les coefficients sont grands ou décimaux, ou (3) tu veux une méthode fiable qui fonctionne toujours. La factorisation est plus rapide quand elle fonctionne, mais la formule est plus universelle.
Quand b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0, l'équation a exactement une solution (appelée racine double). Graphiquement, la parabole touche l'axe des x en un seul point.
Le ±\pm vient de l'extraction de la racine carrée. Puisque 52=255^2 = 25 et (−5)2=25(-5)^2 = 25, la racine carrée de 25 pourrait être +5 ou -5. Cela donne deux valeurs possibles pour x.

Glossaire

Équation quadratique
Une équation de la forme ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 où a≠0a \neq 0
Discriminant
L'expression b2−4acb^2 - 4ac qui détermine le nombre et le type de solutions
Coefficient
Le facteur numérique d'un terme (ex : dans 3x23x^2, le coefficient est 3)
Racine/Solution
Une valeur de xx qui rend l'équation vraie (où la parabole coupe l'axe des x)

Carte des formules

Formule quadratique

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Résout toute équation $ax^2 + bx + c = 0$

Discriminant

D=b2−4acD = b^2 - 4ac

Détermine le nombre et le type de solutions

Deux solutions

D>0D > 0

Discriminant positif : deux racines réelles distinctes

Une solution

D=0D = 0

Discriminant nul : une racine double

Pas de solutions réelles

D<0D < 0

Discriminant négatif : pas de racines réelles

Défi du jourUn problème, trois essais

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