Problèmes de mots quadratiques

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Une balle est lancée vers le haut. Sa hauteur en mètres après secondes est . Quand la balle touche-t-elle le sol ?
1. a)Après 5 secondes
2. b)Après 10 secondes
3. c)Après 4 secondes
4. d)Après 2 secondes
Réponse: Après 4 secondes
En posant : , donc . Cela donne (début) ou (atterrissage).
2.
Le produit de deux entiers positifs consécutifs est 72. Quels sont les entiers ?
1. a)8 et 9
2. b)9 et 10
3. c)6 et 12
4. d)7 et 8
Réponse: 8 et 9
donne . Factorisation : , donc . Les entiers sont 8 et 9.
3.
Un jardin rectangulaire a une longueur de 3 mètres de plus que sa largeur. Si l'aire est de 40 mètres carrés, quelle est la largeur (en mètres) ?
Réponse: 5
devient . Factorisation : , donc mètres (car la largeur doit être positive).
4.
La somme d'un nombre et de son carré est 56. Quel est le nombre positif ?
Réponse: 7
se factorise en . Comme nous avons besoin de positif, .
5.
Quel type de problème de mots quadratique est-ce ? 'La hauteur d'une fusée est . Trouvez la hauteur maximale.'
1. a)Problème d'optimisation
2. b)Problème d'entiers consécutifs
3. c)Problème d'aire
4. d)Problème de nombres
Réponse: Problème d'optimisation
Trouver des valeurs maximales ou minimales est un problème d'optimisation. Utilisez la formule du sommet pour trouver quand le maximum se produit.
6.
Une balle est lancée vers le haut avec une vitesse initiale de 30 m/s depuis le niveau du sol. Sa hauteur est . Trouvez la hauteur maximale.
Réponse: 45
1. Quelle est la valeur de dans l'équation ? -5
2. Quelle est la valeur de ? 30
3. À quel temps la hauteur maximale se produit-elle ? Utilisez 3
4. Calculez quand : 45
7.
Un rectangle a un périmètre de 30 cm. Quelle largeur (en cm) maximise l'aire ?
Réponse: 7.5
Aire = . Maximum à cm. Un carré maximise l'aire pour un périmètre donné.
8.
La hauteur d'une balle est . À quel moment atteint-elle la hauteur maximale ?
1. a)1 seconde
2. b)2 secondes
3. c)4 secondes
4. d)3 secondes
Réponse: 2 secondes
secondes.
9.
Trouvez deux entiers pairs consécutifs dont le produit est 168.
Réponse: 12 and 14
1. Si le premier entier pair est , quel est l'entier pair consécutif suivant ? n + 2
2. Écrivez l'équation : . Développez-la. n^2 + 2n = 168
3. Réécrivez en forme standard : . Factorisez. (n + 14)(n - 12) = 0
4. Quelle est la valeur positive de ? 12
10.
Un cadre photo est large de 2 cm de tous les côtés. L'image à l'intérieur mesure 8 cm sur 6 cm. Quelle est l'aire totale du cadre (y compris l'image) en cm carrés ?
Réponse: 120
Dimensions totales : cm carrés.
11.
Le profit d'une entreprise (en euros) est où est le nombre d'unités vendues. Quel est le seuil de rentabilité (où ) ?
1. a)10 et 60 unités
2. b)25 et 75 unités
3. c)20 et 80 unités
4. d)30 et 70 unités
Réponse: 20 et 80 unités
se factorise en , donnant ou unités.
12.
Une balle est lancée d'un bâtiment de 20 mètres avec une vitesse initiale de 15 m/s vers le haut. Sa hauteur est . Quand touche-t-elle le sol ?
Réponse: 4
1. Posez . Quelle équation obtenez-vous ? -5t^2 + 15t + 20 = 0
2. Divisez par -5 pour simplifier. Quelle est l'équation ? t^2 - 3t - 4 = 0
3. Factorisez l'équation quadratique. (t - 4)(t + 1) = 0
4. Quelle est la solution positive pour ? 4
13.
La hauteur d'une fusée est . Quelle est sa hauteur maximale en mètres ?
Réponse: 125
Temps au max : . Hauteur : mètres.
14.
Un théâtre facture 25 euros par billet et vend 400 billets. Pour chaque augmentation de 5 euros, ils vendent 20 billets de moins. Quel prix maximise les revenus ?
Réponse: 75
1. Soit = nombre d'augmentations de 5 euros. Exprimez le prix. 25 + 5n
2. Exprimez le nombre de billets vendus. 400 - 20n
3. Revenus = prix × billets. Développez . 10000 + 1500n - 100n^2
4. Trouvez au revenu maximum avec . 7.5
5. Calculez le prix optimal : . 62.5
15.
Une balle lancée d'une hauteur de 10 m suit . Quand atteint-elle 40 mètres ?
1. a)N'atteint jamais 40 m
2. b)À 1 seconde seulement
3. c)À 2 et 3 secondes
4. d)À 1,5 et 4 secondes
Réponse: À 2 et 3 secondes
donne , ou . Factorisation : , donc ou secondes.
16.
Deux nombres diffèrent de 5. Leur produit est 126. Trouvez le plus grand nombre.
Réponse: 14
1. Soit le plus petit nombre . Quel est le plus grand nombre ? x + 5
2. Écrivez l'équation pour leur produit. x(x + 5) = 126
3. Développez et réarrangez en forme standard. x^2 + 5x - 126 = 0
4. Factorisez l'équation quadratique. (x + 14)(x - 9) = 0
5. Si (en prenant la valeur positive), quel est le plus grand nombre ? 14