Identifier le sommet

Trouve le sommet de $y = 2(x - 3)^2 + 5$

Identifier la forme: C'est la forme canonique : $y = a(x - h)^2 + k$ = $a = 2$, $h = 3$, $k = 5$

Trouver h (abscisse): Dans $(x - h)^2$, on a $(x - 3)^2$, donc $h = 3$ = $h = 3$

Trouver k (ordonnée): La constante à la fin est $k = 5$ = $k = 5$

Écrire le sommet: Sommet = $(h, k)$ = $(3, 5)$

Answer: Le sommet est $(3, 5)$. Comme $a = 2 > 0$, la parabole s'ouvre vers le haut, donc $(3, 5)$ est le point minimum.

Gérer les signes négatifs

Trouve le sommet de $y = -(x + 4)^2 - 2$

Réécrire en forme canonique: $y = -(x + 4)^2 - 2 = -1(x - (-4))^2 + (-2)$ = Forme canonique identifiée

Identifier h: $(x + 4) = (x - (-4))$, donc $h = -4$ = $h = -4$

Identifier k: La constante est $-2$, donc $k = -2$ = $k = -2$

Donner le sommet: Sommet = $(h, k) = (-4, -2)$ = $(-4, -2)$

Answer: Le sommet est $(-4, -2)$. Comme $a = -1 < 0$, la parabole s'ouvre vers le bas, donc $(-4, -2)$ est le point maximum.

Écrire la forme canonique à partir d'un graphique

Une parabole a pour sommet $(2, -3)$, s'ouvre vers le haut et passe par $(4, 5)$. Écris son équation en forme canonique.

Commencer par la forme canonique: $y = a(x - h)^2 + k$ = Modèle prêt

Substituer le sommet: $h = 2$, $k = -3$ : $y = a(x - 2)^2 - 3$ = $y = a(x - 2)^2 - 3$

Utiliser le point pour trouver a: Substituer $(4, 5)$ : $5 = a(4 - 2)^2 - 3$ = $5 = a(2)^2 - 3$

Résoudre pour a: $5 = 4a - 3 \Rightarrow 8 = 4a \Rightarrow a = 2$ = $a = 2$

Écrire l'équation finale: $y = 2(x - 2)^2 - 3$ = Équation complète

Answer: $y = 2(x - 2)^2 - 3$

Trouver l'axe de symétrie

Trouve l'axe de symétrie et la direction de $y = -3(x - 1)^2 + 7$

Identifier h: De $(x - 1)^2$, on obtient $h = 1$ = $h = 1$

Écrire l'axe de symétrie: L'axe de symétrie est $x = h$ = $x = 1$

Déterminer la direction: $a = -3 < 0$, donc la parabole s'ouvre vers le bas = S'ouvre vers le bas

Interpréter le sommet: Le sommet $(1, 7)$ est le point maximum = Maximum en $(1, 7)$

Answer: Axe de symétrie : $x = 1$. La parabole s'ouvre vers le bas avec un point maximum $(1, 7)$.

Mistake: Se tromper sur le signe de h : penser que $(x + 4)^2$ signifie $h = 4$

Why: La formule est $(x - h)^2$. Quand tu vois $(x + 4)^2$, c'est en fait $(x - (-4))^2$.

Correct: Si tu vois $+$ dans la parenthèse, $h$ est négatif. $(x + 4)^2$ signifie $h = -4$.

Mistake: Confondre la direction d'ouverture de la parabole

Why: Les élèves pensent parfois que $a$ affecte la direction horizontale plutôt que verticale.

Correct: $a > 0$ signifie s'ouvre vers le HAUT (comme un sourire). $a < 0$ signifie s'ouvre vers le BAS (comme une grimace).

Mistake: Oublier que le sommet est un minimum quand $a > 0$ et un maximum quand $a < 0$

Why: Le sommet est toujours un point extrême, mais son type dépend de la direction.

Correct: Ouverture vers le haut = vallée = minimum. Ouverture vers le bas = colline = maximum.

Mouvement projectile

Quand un objet est lancé, sa hauteur au fil du temps suit une parabole. La forme canonique révèle la hauteur maximale.

La hauteur d'une balle est $h(t) = -5(t - 2)^2 + 25$ mètres. Le sommet $(2, 25)$ nous dit que la balle atteint 25 mètres à $t = 2$ secondes.

Optimisation commerciale

Les entreprises utilisent des fonctions quadratiques pour modéliser le profit. Le sommet montre le prix qui maximise le profit.

La fonction de profit $P(x) = -2(x - 50)^2 + 5000$ a pour sommet $(50, 5000)$. Vendre à 50 euros donne un profit maximum de 5000 euros.

Architecture - Arches paraboliques

Les architectes conçoivent des arches en utilisant des paraboles. Le sommet détermine le point le plus haut de l'arche.

Une arche modélisée par $y = -0,1(x - 10)^2 + 10$ a son pic à $(10, 10)$ - le centre est à 10 mètres de haut.

Q: Comment convertir de la forme développée à la forme canonique ?

A: Utilise la complétion du carré. Pour $y = ax^2 + bx + c$, mets $a$ en facteur des deux premiers termes, complète le carré, puis simplifie. Sinon, trouve le sommet avec $h = -\frac{b}{2a}$ et $k = f(h)$.

Q: Est-ce que a peut être une fraction ou un décimal ?

A: Oui ! Si $|a| < 1$ (comme $a = 0,5$ ou $a = \frac{1}{2}$), la parabole est plus large. Si $|a| > 1$, elle est plus étroite.

Q: Et s'il n'y a pas de nombre devant la parenthèse ?

A: Alors $a = 1$. Par exemple, $y = (x - 3)^2 + 2$ a $a = 1$.