Équation irrationnelle simple

Résous : $\sqrt{x} = 6$

Le radical est déjà isolé: $\sqrt{x} = 6$ = Prêt à élever au carré

Élève les deux membres au carré: $(\sqrt{x})^2 = 6^2$ = $x = 36$

Vérifie la solution: $\sqrt{36} = 6$ ✓ = Solution valide

Answer: $x = 36$

Radical avec expression à l'intérieur

Résous : $\sqrt{x + 5} = 4$

Le radical est déjà isolé: $\sqrt{x + 5} = 4$ = Prêt à élever au carré

Élève les deux membres au carré: $(\sqrt{x + 5})^2 = 4^2$ = $x + 5 = 16$

Calcule x: $x = 16 - 5$ = $x = 11$

Vérifie la solution: $\sqrt{11 + 5} = \sqrt{16} = 4$ ✓ = Solution valide

Answer: $x = 11$

Isoler le radical d'abord

Résous : $\sqrt{2x + 3} - 5 = 0$

Isole le radical: $\sqrt{2x + 3} = 5$ = Ajoute 5 aux deux membres

Élève les deux membres au carré: $(\sqrt{2x + 3})^2 = 5^2$ = $2x + 3 = 25$

Calcule x: $2x = 22$, donc $x = 11$ = $x = 11$

Vérifie la solution: $\sqrt{2(11) + 3} - 5 = \sqrt{25} - 5 = 5 - 5 = 0$ ✓ = Solution valide

Answer: $x = 11$

Équation avec solution étrangère

Résous : $\sqrt{x + 3} = x - 3$

Élève les deux membres au carré: $(\sqrt{x + 3})^2 = (x - 3)^2$ = $x + 3 = x^2 - 6x + 9$

Ramène tout dans un membre: $0 = x^2 - 7x + 6$ = Équation du second degré

Factorise le polynôme: $0 = (x - 6)(x - 1)$ = $x = 6$ ou $x = 1$

Vérifie x = 6: $\sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$ et $6 - 3 = 3$ ✓ = Valide

Vérifie x = 1: $\sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ mais $1 - 3 = -2$ ✗ = Étrangère !

Answer: $x = 6$ (seule solution valide ; $x = 1$ est étrangère)

Aucune solution valide

Résous : $\sqrt{x - 2} = -3$

Analyse l'équation: Le symbole $\sqrt{}$ désigne toujours la racine carrée positive ou nulle = Le membre gauche est toujours $\geq 0$

Compare avec le membre droit: Le membre droit est $-3$, qui est négatif = Une valeur $\geq 0$ ne peut jamais valoir $-3$

Conclusion: Une racine carrée ne peut jamais être négative = Aucune solution n'existe

Answer: Aucune solution (la racine carrée d'un nombre réel n'est jamais négative)

Mistake: Oublier de vérifier les solutions étrangères

Why: L'élévation au carré peut introduire de fausses solutions. Par exemple, dans $\sqrt{x} = -3$, l'élévation au carré donne $x = 9$, mais $\sqrt{9} = 3 \neq -3$.

Correct: Remplace toujours x par ta réponse dans l'équation ORIGINALE pour vérifier.

Mistake: Élever au carré avant d'isoler le radical

Why: Si le radical n'est pas seul, l'élévation au carré crée une équation plus complexe. Pour $\sqrt{x} + 2 = 5$, l'élévation au carré donne $x + 4\sqrt{x} + 4 = 25$, plus difficile à résoudre.

Correct: D'abord isoler : $\sqrt{x} = 3$, puis élever au carré : $x = 9$.

Mistake: Élever chaque terme au carré au lieu du membre entier

Why: Un membre qui est une somme ou une différence doit être élevé au carré en entier. Dans $\sqrt{x + 3} = x - 3$, le membre de droite ne devient PAS $x^2 - 9$ ni $x^2 + 9$.

Correct: Élève tout le membre au carré avec l'identité remarquable : $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$

Mistake: Supposer que la racine carrée peut être négative

Why: La racine carrée principale est toujours non négative. $\sqrt{25} = 5$, pas $\pm 5$.

Correct: Si $\sqrt{x} = -k$ où $k > 0$, il n'y a pas de solution.

Période du pendule

La période d'un pendule simple est donnée par $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ où $L$ est la longueur et $g = 9{,}8$ m/s² est l'accélération de la pesanteur.

Si un pendule d'horloge doit avoir une période de 2 secondes, quelle doit être sa longueur ? Résous $2 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9{,}8}}$

Distance de chute libre

La distance parcourue par un objet en chute est liée au temps par $d = \frac{1}{2}gt^2$, ou de manière équivalente $t = \sqrt{\frac{2d}{g}}$.

Combien de temps met une balle pour tomber de 45 mètres ? Résous $t = \sqrt{\frac{2 \times 45}{9{,}8}}$

Q: Pourquoi obtient-on des solutions étrangères ?

A: L'élévation au carré n'est pas une opération réversible - $3^2$ et $(-3)^2$ donnent tous deux 9. Quand on élève les deux membres d'une équation au carré, on introduit potentiellement des solutions du cas négatif qui ne satisfont pas l'originale.

Q: Que faire s'il y a deux radicaux dans l'équation ?

A: Isole un radical, élève au carré, puis isole le radical restant et élève à nouveau au carré. Tu devras peut-être élever au carré deux fois. Vérifie toujours tes solutions !

Q: Une équation irrationnelle peut-elle n'avoir aucune solution ?

A: Oui ! Si l'équation exige qu'une racine carrée soit égale à un nombre négatif, il n'y a pas de solution réelle. De plus, toutes les solutions potentielles pourraient être étrangères.